From 51dc9a5ccc1b6a238a94e4520082594c4b3b7d26 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Wed, 12 May 2021 17:04:05 +0200
Subject: Diverse Anpassungen/Korrekturen

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 130 +++++++++++++++++++++++++++++------------
 1 file changed, 92 insertions(+), 38 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index ce7d50f..a3b0b7d 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,40 +1,94 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{spannung:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}}
+\rhead{Invarianten}
+Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden.
+Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
 
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+\]
 
+Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
+Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe.
+
+Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein.
+Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus:
+
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\]
+
+oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ :
+
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
+\]
+
+\[
+q
+=
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+\]
+
+p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
+q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
+Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen.
+
+Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
+Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
+Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
+Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
+
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}}
+\]
+
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\]
+
+\[
+\varepsilon_{s}
+=
+Hydrostatische Dehnung [-]
+\]
+
+\[
+\varepsilon_{\nu}
+=
+Deviatorische Dehnung [-]
+\]
+
+Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen.
+Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	q\\
+	p
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\
+	0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{s}\\
+	\varepsilon_{\nu}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
-- 
cgit v1.2.1


From 8c0f3f0193804f257bc6646aef8c3be0f9c9166b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Sat, 15 May 2021 17:29:20 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index a3b0b7d..4054262 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -80,8 +80,8 @@ Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-	\frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\
-	0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
+	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{s}\\
-- 
cgit v1.2.1


From 17ada1bd9c8f385c037ab5348292c027380e3cde Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 16 May 2021 20:44:40 +0200
Subject: Korrekturen um build zu garantieren

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 4054262..500c404 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -61,13 +61,13 @@ Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
 \[
 \varepsilon_{s}
 =
-Hydrostatische Dehnung [-]
+\text{Hydrostatische Dehnung} [-]
 \]
 
 \[
 \varepsilon_{\nu}
 =
-Deviatorische Dehnung [-]
+\text{Deviatorische Dehnung} [-]
 \]
 
 Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen.
-- 
cgit v1.2.1


From 46340ee2972d7f59bf87665fd93298a6a937f797 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Fri, 28 May 2021 15:06:26 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitungen=20/=20Verbesserungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 12 ++++++++----
 1 file changed, 8 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 500c404..e5574b8 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -8,6 +8,7 @@ Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
 =
 \sigma_{33}
 \]
+.
 
 Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
 In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
@@ -35,6 +36,7 @@ q
 =
 \sigma_{11}-\sigma_{33}
 \]
+.
 
 p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
 q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
@@ -44,7 +46,7 @@ Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
 Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
 Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
 Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
-Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen
 
 \[
 \overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
@@ -70,9 +72,9 @@ Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
 \text{Deviatorische Dehnung} [-]
 \]
 
-Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen.
-Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+werden.
 
+Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix
 \[
 \begin{pmatrix}
 	q\\
@@ -88,7 +90,9 @@ Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor
 	\varepsilon_{\nu}
 \end{pmatrix}
 \]
+einsetzen.
+Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
 
 Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
-Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 401325ee8d395ec4de27f4dcede73e860f3e28a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Mon, 31 May 2021 10:47:48 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitung=20und=20Verbesserung=20der=20Kapitel?=
 =?UTF-8?q?=20Bearbeitung=20Literaturverzeichnis=20(im=20Literaturverzeich?=
 =?UTF-8?q?nis=20noch=20nicht=20alles=20korrekt)?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 107 ++++++++++++++++++++++-------------------
 1 file changed, 57 insertions(+), 50 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index e5574b8..438ac31 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,80 +1,86 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}}
-\rhead{Invarianten}
-Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden.
-Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
+\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
+\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
+In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
+Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
+wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+Folglich gilt:
 
 \[
 \sigma_{22}
 =
 \sigma_{33}
-\]
 .
-
-Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
-In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
-Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe.
-
-Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein.
-Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus:
-
+\]
+Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
+Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
+Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+,
 \]
-
-oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ :
-
+welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
+Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
+\[
+q
+=
+\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+.
+\]
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik}] aufgezeigt.
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
-
+vereinfacht werden.
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
 \[
 q
 =
 \sigma_{11}-\sigma_{33}
 \]
-.
-
-p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
-q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
-Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen.
-
-Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
-Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
-Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
-Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
-Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen
-
-\[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
-=
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}}
-\]
+vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
+Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
+So ergibt sich
 \[
 \overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
 =
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
 \]
-
+und
 \[
-\varepsilon_{s}
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
 =
-\text{Hydrostatische Dehnung} [-]
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+.
 \]
-
+Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
 \[
-\varepsilon_{\nu}
+\varepsilon_{v}
 =
-\text{Deviatorische Dehnung} [-]
+(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\varepsilon_{s}
+=
+\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
 \]
-
-werden.
-
-Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix
+eingeführt werden, mit
+\begin{align*}
+	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
+	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+\end{align*}
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
+Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+
+Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \[
 \begin{pmatrix}
 	q\\
@@ -87,12 +93,13 @@ Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{s}\\
-	\varepsilon_{\nu}
+	\varepsilon_{v}
 \end{pmatrix}
 \]
-einsetzen.
-Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
-Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From b70156cbf2d76d1850ddd1fc6f58e79bdc5c5203 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 2 Jun 2021 07:53:42 +0200
Subject: Makefile in clifford, references in spannung

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 438ac31..8d99733 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -28,7 +28,7 @@ q
 \sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
 .
 \]
-Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik}] aufgezeigt.
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
 Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
 \[
 p
@@ -102,4 +102,4 @@ Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
 
 Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
-Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
\ No newline at end of file
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
-- 
cgit v1.2.1


From 0359a35136adf760ebaea4d4719e7801532b7e71 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Thu, 24 Jun 2021 10:37:48 +0200
Subject: Diverse Anpassungen, Nummerierung und Referenzierung auf Formeln

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 25 ++++++++++++++-----------
 1 file changed, 14 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 8d99733..3e456c3 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -14,29 +14,31 @@ Folglich gilt:
 Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
 Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
 Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
-\[
+\begin{equation}
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\label{spannung:Invariante_p}
 ,
-\]
+\end{equation}
 welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
 Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
-\[
+\begin{equation}
 q
 =
 \sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+\label{spannung:Invariante_q}
 .
-\]
+\end{equation}
 Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
-Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
 vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
 \[
 q
 =
@@ -44,7 +46,7 @@ q
 \]
 vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
 Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
 Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
 So ergibt sich
@@ -81,7 +83,7 @@ Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglich
 Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
 Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
-\[
+\begin{equation}
 \begin{pmatrix}
 	q\\
 	p
@@ -95,11 +97,12 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 	\varepsilon_{s}\\
 	\varepsilon_{v}
 \end{pmatrix}
-\]
-(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+\label{spannung:Matrixschreibweise}
+\end{equation}
+vereinfachen.
 Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
 Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
-- 
cgit v1.2.1

