From 401325ee8d395ec4de27f4dcede73e860f3e28a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "User-PC\\User" Date: Mon, 31 May 2021 10:47:48 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitung=20und=20Verbesserung=20der=20Kapitel?= =?UTF-8?q?=20Bearbeitung=20Literaturverzeichnis=20(im=20Literaturverzeich?= =?UTF-8?q?nis=20noch=20nicht=20alles=20korrekt)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/spannung/teil3.tex | 107 ++++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 57 insertions(+), 50 deletions(-) (limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex') diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex index e5574b8..438ac31 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil3.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex @@ -1,80 +1,86 @@ -\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}} -\rhead{Invarianten} -Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden. -Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf: +\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}} +\rhead{Die geotechnischen Invarianten} +In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche. +Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$, +wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht. +Folglich gilt: \[ \sigma_{22} = \sigma_{33} -\] . - -Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht. -In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33. -Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe. - -Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein. -Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus: - +\] +Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht. +Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden. +Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung \[ p = \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3} +, \] - -oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ : - +welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist. +Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung +\[ +q += +\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}} +. +\] +Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik}] aufgezeigt. +Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als \[ p = \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3} \] - +vereinfacht werden. +Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als \[ q = \sigma_{11}-\sigma_{33} \] -. - -p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel. -q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3. -Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen. - -Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen. -Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen. -Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt. -Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden. -Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen - -\[ -\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} -= -\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}} -\] +vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten. +Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden. +Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren. +Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten. +So ergibt sich \[ \overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} = -\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}} +\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}} \] - +und \[ -\varepsilon_{s} +\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} = -\text{Hydrostatische Dehnung} [-] +\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}} +. \] - +Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit \[ -\varepsilon_{\nu} +\varepsilon_{v} = -\text{Deviatorische Dehnung} [-] +(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33}) +\qquad +\text{und} +\qquad +\varepsilon_{s} += +\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33}) \] - -werden. - -Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix +eingeführt werden, mit +\begin{align*} + \varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\ + \varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].} +\end{align*} +Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden. +Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$ kann mit einer Verzerrung verglichen werden. + +Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise \[ \begin{pmatrix} q\\ @@ -87,12 +93,13 @@ Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{s}\\ - \varepsilon_{\nu} + \varepsilon_{v} \end{pmatrix} \] -einsetzen. -Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor. +(sollte nummeriert sein) vereinfachen. +Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor. +Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden. -Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen. -Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch. +Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen. +Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch. Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1