From 401325ee8d395ec4de27f4dcede73e860f3e28a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Mon, 31 May 2021 10:47:48 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitung=20und=20Verbesserung=20der=20Kapitel?=
 =?UTF-8?q?=20Bearbeitung=20Literaturverzeichnis=20(im=20Literaturverzeich?=
 =?UTF-8?q?nis=20noch=20nicht=20alles=20korrekt)?=
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---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 107 ++++++++++++++++++++++-------------------
 1 file changed, 57 insertions(+), 50 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index e5574b8..438ac31 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,80 +1,86 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}}
-\rhead{Invarianten}
-Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden.
-Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
+\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
+\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
+In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
+Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
+wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+Folglich gilt:
 
 \[
 \sigma_{22}
 =
 \sigma_{33}
-\]
 .
-
-Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
-In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
-Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe.
-
-Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein.
-Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus:
-
+\]
+Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
+Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
+Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+,
 \]
-
-oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ :
-
+welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
+Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
+\[
+q
+=
+\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+.
+\]
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik}] aufgezeigt.
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
-
+vereinfacht werden.
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
 \[
 q
 =
 \sigma_{11}-\sigma_{33}
 \]
-.
-
-p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
-q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
-Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen.
-
-Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
-Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
-Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
-Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
-Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen
-
-\[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
-=
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}}
-\]
+vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
+Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
+So ergibt sich
 \[
 \overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
 =
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
 \]
-
+und
 \[
-\varepsilon_{s}
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
 =
-\text{Hydrostatische Dehnung} [-]
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+.
 \]
-
+Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
 \[
-\varepsilon_{\nu}
+\varepsilon_{v}
 =
-\text{Deviatorische Dehnung} [-]
+(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
+\qquad
+\text{und}
+\qquad
+\varepsilon_{s}
+=
+\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
 \]
-
-werden.
-
-Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix
+eingeführt werden, mit
+\begin{align*}
+	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
+	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
+\end{align*}
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
+Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+
+Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \[
 \begin{pmatrix}
 	q\\
@@ -87,12 +93,13 @@ Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{s}\\
-	\varepsilon_{\nu}
+	\varepsilon_{v}
 \end{pmatrix}
 \]
-einsetzen.
-Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
-Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From b70156cbf2d76d1850ddd1fc6f58e79bdc5c5203 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 2 Jun 2021 07:53:42 +0200
Subject: Makefile in clifford, references in spannung

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 438ac31..8d99733 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -28,7 +28,7 @@ q
 \sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
 .
 \]
-Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik}] aufgezeigt.
+Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
 Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
 \[
 p
@@ -102,4 +102,4 @@ Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
 
 Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
-Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
\ No newline at end of file
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
-- 
cgit v1.2.1


From 0359a35136adf760ebaea4d4719e7801532b7e71 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Thu, 24 Jun 2021 10:37:48 +0200
Subject: Diverse Anpassungen, Nummerierung und Referenzierung auf Formeln

---
 buch/papers/spannung/teil3.tex | 25 ++++++++++++++-----------
 1 file changed, 14 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 8d99733..3e456c3 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -14,29 +14,31 @@ Folglich gilt:
 Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
 Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
 Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
-\[
+\begin{equation}
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\label{spannung:Invariante_p}
 ,
-\]
+\end{equation}
 welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
 Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
-\[
+\begin{equation}
 q
 =
 \sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
+\label{spannung:Invariante_q}
 .
-\]
+\end{equation}
 Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
-Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
+Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
 \[
 p
 =
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
 vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
 \[
 q
 =
@@ -44,7 +46,7 @@ q
 \]
 vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
 
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
+Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
 Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
 Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
 So ergibt sich
@@ -81,7 +83,7 @@ Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglich
 Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
 Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
-\[
+\begin{equation}
 \begin{pmatrix}
 	q\\
 	p
@@ -95,11 +97,12 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 	\varepsilon_{s}\\
 	\varepsilon_{v}
 \end{pmatrix}
-\]
-(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
+\label{spannung:Matrixschreibweise}
+\end{equation}
+vereinfachen.
 Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
 Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
-Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
+Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
 Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
-- 
cgit v1.2.1


From 2b0d4d1b98f7bed5fa05e2ab6c30352390f22eef Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Tue, 27 Jul 2021 11:15:54 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Diverse=20=C3=84nderungen=20/=20Korrekturen?=
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 buch/papers/spannung/teil3.tex | 32 +++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 17 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index 3e456c3..a9080ea 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ q
 \label{spannung:Invariante_q}
 .
 \end{equation}
-Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik}] aufgezeigt.
+Diese Zusammenhänge werden im Skript \cite{spannung:Stoffgesetze-und-numerische-Modellierung-in-der-Geotechnik} aufgezeigt.
 Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_p} als
 \[
 p
@@ -38,28 +38,28 @@ p
 \frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
 \]
 vereinfacht werden.
-Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q}als
+Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung \eqref{spannung:Invariante_q} als
 \[
 q
 =
 \sigma_{11}-\sigma_{33}
 \]
-vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.
+vereinfacht. Man kann $p$ als Druck und $q$ als Schub betrachten.
 
-Die Invarianten können mit der Spannungsformel \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
+Die Invarianten $p$ und $q$ können mit der Spannungsgleichung \eqref{spannung:Spannungsgleichung} berechnet werden.
 Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
 Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
 So ergibt sich
 \[
-\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{\displaystyle{p}}
 =
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\displaystyle{{\varepsilon_{v}}}}
 \]
 und
 \[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{\displaystyle{q}}
 =
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\displaystyle{\varepsilon_{s}}}
 .
 \]
 Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
@@ -79,8 +79,8 @@ eingeführt werden, mit
 	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
 	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
 \end{align*}
-Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
-Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression und
+die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  mit einer Verzerrung verglichen werden.
 
 Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \begin{equation}
@@ -90,8 +90,8 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
-	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+	\displaystyle{\frac{3E}{2(1+\nu)}} &                                  0 \\
+	                                 0 & \displaystyle{\frac{E}{3(1-2\nu)}}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{s}\\
@@ -100,9 +100,11 @@ Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
 \label{spannung:Matrixschreibweise}
 \end{equation}
 vereinfachen.
-Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
-Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.
 
+Änderungen des Spannungszustandes können mit diesen Gleichungen vollumfänglich erfasst werden.
+Diese Spannungsgleichung mit den zwei Einträgen ($p$ und $q$) ist gleichwertig
+wie die ursprüngliche Spannungsgleichung mit den neun Einträgen
+($\sigma_{11}$, $\sigma_{12}$, $\sigma_{13}$, $\sigma_{21}$, $\sigma_{22}$, $\sigma_{23}$, $\sigma_{31}$, $\sigma_{32}$, $\sigma_{33}$).
 Mit dieser Formel \eqref{spannung:Matrixschreibweise} lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
-Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
+Ein solcher Versuch, der oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
 Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
-- 
cgit v1.2.1

