From 51dc9a5ccc1b6a238a94e4520082594c4b3b7d26 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "User-PC\\User" Date: Wed, 12 May 2021 17:04:05 +0200 Subject: Diverse Anpassungen/Korrekturen --- buch/papers/spannung/teil4.tex | 68 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 68 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/spannung/teil4.tex (limited to 'buch/papers/spannung/teil4.tex') diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..f1437b1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}} +\rhead{Oedometer - Versuch} +Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden. +In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt. +Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet. + +Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab. +Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe. +Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0. +Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen. +Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung. +Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen. +Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet. + +Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik. +Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet. +Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund. +Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen. + +Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren. +So ist es auch beim Oedometer - Versuch. +Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg} + \caption{Diagramm Oedometer - Versuch} + \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch} +\end{figure} + +Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird. +Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. + +Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$. + +\[ +\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} += +\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}} +\] + +\[ +\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} += +\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}} +\] + +\[ +\begin{pmatrix} + \sigma_{11}-\sigma_{33} \\ + \sigma_{11}+2\sigma_{33} +\end{pmatrix} += +\begin{bmatrix} + \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ + 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} +\end{bmatrix} +\begin{pmatrix} + \varepsilon_{11}\\ + \varepsilon_{11} +\end{pmatrix} +\] + +An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen. +Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen. +Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen. + +Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. -- cgit v1.2.1 From 8c0f3f0193804f257bc6646aef8c3be0f9c9166b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "User-PC\\User" Date: Sat, 15 May 2021 17:29:20 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/spannung/teil4.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/spannung/teil4.tex') diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index f1437b1..85e9b1b 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -23,7 +23,7 @@ Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg} + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} \caption{Diagramm Oedometer - Versuch} \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch} \end{figure} @@ -52,8 +52,8 @@ Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetz \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ - 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} + \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ + 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ -- cgit v1.2.1 From 46340ee2972d7f59bf87665fd93298a6a937f797 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "User-PC\\User" Date: Fri, 28 May 2021 15:06:26 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitungen=20/=20Verbesserungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/spannung/teil4.tex | 95 +++++++++++++++++++++--------------------- 1 file changed, 48 insertions(+), 47 deletions(-) (limited to 'buch/papers/spannung/teil4.tex') diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index 85e9b1b..60f2518 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -1,68 +1,69 @@ -\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}} -\rhead{Oedometer - Versuch} -Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden. -In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt. -Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet. - -Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab. -Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe. -Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0. -Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen. -Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung. -Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen. -Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet. - -Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik. -Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet. -Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund. -Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen. - -Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren. -So ist es auch beim Oedometer - Versuch. -Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen. - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} - \caption{Diagramm Oedometer - Versuch} - \label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch} -\end{figure} - -Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird. -Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. - -Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$. +\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}} +\rhead{Oedometer-Versuch} +Mit dem Oedometer-Versuch kann der Oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden. +Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen. +Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$. +Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken. +Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert. +Die Probe wird sich so steig verdichten. +Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu. +Unter diesen Bedingungen wird das Oedometrische E-Modul mit steigender Dehnung zunehmen. +Da im Boden das umgebende Material ähnliche eine seitliche Verformung verhindert, +gibt dieser Oedometrische E-Modul die Realität besser als der gewöhnliche E-Modul wieder. +Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist \[ -\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q} +\varepsilon_{22} = -\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}} +\varepsilon_{33} += +0 \] - +aber auch \[ -\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p} +\sigma_{22} = -\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}} +\sigma_{33} +\neq 0 \] - +Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch durch die aufgebrachte Kraft mit +\[ +\sigma_{11} += +\frac{F}{A} +\] +und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet. +Diese Randbedingen können in die vereinfachte Gleichung eingesetzt. +Diese lautet nun: \[ \begin{pmatrix} \sigma_{11}-\sigma_{33} \\ \sigma_{11}+2\sigma_{33} \end{pmatrix} = -\begin{bmatrix} +\begin{pmatrix} \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ - 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} -\end{bmatrix} + 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} +\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{11} \end{pmatrix} \] +. -An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen. -Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen. -Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen. +Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad das Oedometrische E-Modul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen -Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. +GLEICHUNGEN... + +berechnen. +Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7). +Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. +Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} + \caption{Diagramm Oedometer-Versuch} + \label{fig:Diagramm Oedometer-Versuch} +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 401325ee8d395ec4de27f4dcede73e860f3e28a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "User-PC\\User" Date: Mon, 31 May 2021 10:47:48 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitung=20und=20Verbesserung=20der=20Kapitel?= =?UTF-8?q?=20Bearbeitung=20Literaturverzeichnis=20(im=20Literaturverzeich?= =?UTF-8?q?nis=20noch=20nicht=20alles=20korrekt)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/spannung/teil4.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 27 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/spannung/teil4.tex') diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex index 60f2518..d524f13 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil4.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex @@ -1,16 +1,16 @@ \section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}} \rhead{Oedometer-Versuch} -Mit dem Oedometer-Versuch kann der Oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden. +Mit dem Oedometer-Versuch kann der oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden. Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen. Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$. Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken. Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert. -Die Probe wird sich so steig verdichten. +Die Probe wird sich so stetig verdichten. Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu. -Unter diesen Bedingungen wird das Oedometrische E-Modul mit steigender Dehnung zunehmen. +Unter diesen Bedingungen wird der oedometrische Elastizitätsmodul mit steigender Dehnung zunehmen. -Da im Boden das umgebende Material ähnliche eine seitliche Verformung verhindert, -gibt dieser Oedometrische E-Modul die Realität besser als der gewöhnliche E-Modul wieder. +Da im Boden das umgebende Material ähnlich eine seitliche Verformung verhindert, +bildet dieser oedometrische Elastizitätsmodul die Realität besser ab, als der gewöhnliche Elastizitätsmodul. Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist \[ \varepsilon_{22} @@ -25,15 +25,16 @@ aber auch = \sigma_{33} \neq 0 +. \] -Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch durch die aufgebrachte Kraft mit +Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch die aufgebrachte Kraft mit \[ \sigma_{11} = \frac{F}{A} \] und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet. -Diese Randbedingen können in die vereinfachte Gleichung eingesetzt. +Diese Randbedingungen können in die vereinfachte Gleichung (Nrxxx) eingesetzt werden. Diese lautet nun: \[ \begin{pmatrix} @@ -42,21 +43,30 @@ Diese lautet nun: \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ - 0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)} + \frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\ + 0 & \frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{11} \end{pmatrix} -\] . - -Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad das Oedometrische E-Modul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen - -GLEICHUNGEN... - +\] +Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad der oedometrische Elastitzitätsmodul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen +\[ +\sigma_{11}-\sigma_{33} += +\frac{E_{OED}}{(1+\nu)}\cdot\varepsilon_{11} +\] +und +\[ +\sigma_{11}+2\sigma_{33} += +\frac{E_{OED}}{3(1-2\nu)}\cdot\varepsilon_{11} +\] berechnen. +Mit diesen Gleichungen hat man das Gleichungssystem um $E_{OED}$ und $\sigma_{33}$ zu berechnen. +Die Poisson-Zahl muss als Kennwert gemäss der Bodenklasse gewählt werden. Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7). Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark. Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen. @@ -64,6 +74,6 @@ Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geot \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png} - \caption{Diagramm Oedometer-Versuch} - \label{fig:Diagramm Oedometer-Versuch} + \caption{Diagramm Charakteristik verschiedener Elastizitätsmodule bei gleichem Material} + \label{fig:DiagrammOedometer-Versuch} \end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1