From 46340ee2972d7f59bf87665fd93298a6a937f797 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Fri, 28 May 2021 15:06:26 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitungen=20/=20Verbesserungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/spannung/teil4.tex | 95 +++++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 48 insertions(+), 47 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
index 85e9b1b..60f2518 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil4.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -1,68 +1,69 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}}
-\rhead{Oedometer - Versuch}
-Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden.
-In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt.
-Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet.
-
-Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab.
-Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe.
-Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0.
-Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen.
-Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung.
-Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen.
-Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet.
-
-Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik.
-Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet.
-Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund.
-Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen.
-
-Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren.
-So ist es auch beim Oedometer - Versuch.
-Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen.
-
-\begin{figure}
-	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
-	\caption{Diagramm Oedometer - Versuch}
-	\label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch}
-\end{figure}
-
-Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird.
-Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
-
-Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$.
+\section{Oedometer-Versuch\label{spannung:section:Oedometer-Versuch}}
+\rhead{Oedometer-Versuch}
+Mit dem Oedometer-Versuch kann der Oedometrische Elastizitätsmodul $E_{OED}$ bestimmt werden.
+Dieser beschreibt ebenfalls das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung, allerdings unter anderen Bedingungen.
+Diese Bedingung ist das Verhindern der seitlichen Verformung, sprich der Dehnung in Richtung $1$ und $2$.
+Es wird ein Probeelement mit immer grösseren Gewichten belastet, welche gleichmässig auf das Material drücken.
+Die seitliche Verschiebung des Materials wird durch einen Stahlring verhindert.
+Die Probe wird sich so steig verdichten.
+Das Volumen nimmt ab und die Dehnung nimmt immer mehr zu.
+Unter diesen Bedingungen wird das Oedometrische E-Modul mit steigender Dehnung zunehmen.
 
+Da im Boden das umgebende Material ähnliche eine seitliche Verformung verhindert,
+gibt dieser Oedometrische E-Modul die Realität besser als der gewöhnliche E-Modul wieder.
+Durch dieses Verhindern des seitlichen Ausbrechens ist
 \[
-\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+\varepsilon_{22}
 =
-\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}}
+\varepsilon_{33}
+=
+0
 \]
-
+aber auch
 \[
-\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+\sigma_{22}
 =
-\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}}
+\sigma_{33}
+\neq 0
 \]
-
+Die Spannung $\sigma_{11}$ wird durch durch die aufgebrachte Kraft mit
+\[
+\sigma_{11}
+=
+\frac{F}{A}
+\]
+und die Dehnung $\varepsilon_{11}$ jeweils mit den entsprechenden Setzungen berechnet.
+Diese Randbedingen können in die vereinfachte Gleichung eingesetzt.
+Diese lautet nun:
 \[
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
 	\sigma_{11}+2\sigma_{33}
 \end{pmatrix}
 =
-\begin{bmatrix}
+\begin{pmatrix}
 	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} &                        0 \\
-	                      0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
-\end{bmatrix}
+                          0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11}\\
 	\varepsilon_{11}
 \end{pmatrix}
 \]
+.
 
-An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen.
-Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen.
-Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen.
+Daraus lässt sich bei jedem Setzungsgrad das Oedometrische E-Modul $E_{OED}$ und die seitlichen Spannungen $\sigma_{33}$ mit den 2 Gleichungen
 
-Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+GLEICHUNGEN...
+
+berechnen.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$-$\varepsilon$-Diagramm abtragen (siehe Abbildung 1.7).
+Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+Mit diesem ermittelten $E_{OED}$ kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.png}
+	\caption{Diagramm Oedometer-Versuch}
+	\label{fig:Diagramm Oedometer-Versuch}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1

