From 51dc9a5ccc1b6a238a94e4520082594c4b3b7d26 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "User-PC\\User" <thomas.reichlin@ost.ch>
Date: Wed, 12 May 2021 17:04:05 +0200
Subject: Diverse Anpassungen/Korrekturen

---
 buch/papers/spannung/teil4.tex | 68 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 68 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/spannung/teil4.tex

(limited to 'buch/papers/spannung/teil4.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..f1437b1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}}
+\rhead{Oedometer - Versuch}
+Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden.
+In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt.
+Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet.
+
+Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab.
+Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe.
+Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0.
+Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen.
+Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung.
+Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen.
+Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet.
+
+Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik.
+Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet.
+Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund.
+Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen.
+
+Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren.
+So ist es auch beim Oedometer - Versuch.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg}
+	\caption{Diagramm Oedometer - Versuch}
+	\label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch}
+\end{figure}
+
+Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird.
+Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+
+Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$.
+
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}}
+\]
+
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
+	\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\
+	0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
+\end{bmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{11}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen.
+Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen.
+Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen.
+
+Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.
-- 
cgit v1.2.1

