From 08ab4d022e3ec5aa8c598deedca5af8448bf7b1e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 08:52:01 +0200
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--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -1,7 +1,5 @@
-\section{Einführung}
 \label{section:verkehr/einfuehrung}
 
-\subsection{Verkehrsnetze}
 Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke.
 Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können.
 Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes.
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cgit v1.2.1


From 6f673d1626cf26d479f22499eaa578a300637a8d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 08:54:49 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Sections=20eine=20Stufe=20einger=C3=BCckt?=
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--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -5,9 +5,9 @@ Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkt
 Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes.
 Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
 
-\subsection{Suchalgorithmen}
+\section{Suchalgorithmen}
 
-\subsubsection{Dijkstra-Algorithmus}
+\subsection{Dijkstra-Algorithmus}
 Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
 Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
 Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
@@ -39,7 +39,7 @@ Iteration
 Diese drei Schritte werden so lange wiederholt bis gilt
 \begin{equation}M=\{\}\end{equation}
 
-\subsubsection{A*-Algorithmus}
+\subsection{A*-Algorithmus}
 Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
 Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben.
 Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
@@ -47,7 +47,7 @@ Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätz
 Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
 Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
 
-\subsubsection{Anwendung A*-Algorithmus}
+\subsection{Anwendung A*-Algorithmus}
 Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch die optimalste Lösung darstellt.\\
 
 Die Kantengewichte werden für jeden Knoten in Form einer Funktion dargestellt
@@ -58,13 +58,13 @@ Somit gilt:
 \begin{equation}f(n)=g(n)+h(n)\end{equation}\\
 Wie auch der Algorithmus von Dijkstra findet der A*-Algorithmus die optimalste Lösung.
 
-\subsubsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
+\subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
 Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus besteht grundsätzlich aus Floyd's Berechnung der kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten und Warshall's Konstruktion der kürzesten Wege. Werden diese beiden Teilgebiete zusammengefügt, ergibt sich der Floyd-Warshall-Algorithmus.
 
-\subsubsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
+\subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
 
 Wie oben erwähnt, besteht der Floyd-Warshall-Algorithmus aus dem Teil von Floyd zur Berechnung der kürzesten Pfade und dem Teil von Warshall zur Konstruktion der kürzesten Pfade.
 
@@ -78,11 +78,11 @@ Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
 \begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
 ermittelt.
 
-\subsubsection{Euklidische Heuristik}
+\subsection{Euklidische Heuristik}
 Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
 Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
 
-\subsection{PageRank-Algorithmus}
+\section{PageRank-Algorithmus}
 Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
 Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird.
 Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat.
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From cf0c08db837b718b2e6844f39886c065e923d2fb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 09:04:15 +0200
Subject: Typo

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index ae13ac5..40c8edf 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -8,7 +8,7 @@ Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
 \section{Suchalgorithmen}
 
 \subsection{Dijkstra-Algorithmus}
-Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
+Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
 Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
 Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
 Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
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From f102e60cf34adc068ccdc717b9c27d4179d208f8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 27 Jul 2021 09:15:21 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Erl=C3=A4uterung=20zu=20A*?=
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index 40c8edf..05c53c5 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -45,7 +45,7 @@ Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram
 Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
 Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert.
 Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
-Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
+Der A*-Algorithmus gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
 
 \subsection{Anwendung A*-Algorithmus}
 Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch die optimalste Lösung darstellt.\\
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From 2bd577326030c895a37d9bacaec84d7d62e6fe8b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 09:16:20 +0200
Subject: Grammatik

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--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -48,7 +48,7 @@ Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vor
 Der A*-Algorithmus gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
 
 \subsection{Anwendung A*-Algorithmus}
-Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch die optimalste Lösung darstellt.\\
+Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch eine optimale Lösung darstellt.\\
 
 Die Kantengewichte werden für jeden Knoten in Form einer Funktion dargestellt
 \begin{equation}f(n)=g(n)\end{equation} mit
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From 3aafc071d7126b38c672047b95c1d584d52a3849 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 27 Jul 2021 09:17:32 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Erl=C3=A4uterung=20Floyd-Warshall?=
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index d18089d..f66896e 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -60,7 +60,7 @@ Wie auch der Algorithmus von Dijkstra findet der A*-Algorithmus die optimalste L
 
 \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
 Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus besteht grundsätzlich aus Floyd's Berechnung der kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten und Warshall's Konstruktion der kürzesten Wege. Werden diese beiden Teilgebiete zusammengefügt, ergibt sich der Floyd-Warshall-Algorithmus.
 
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cgit v1.2.1


From fc8e18376f9db8e43a81006a3c7bd00e167d08b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 27 Jul 2021 09:34:00 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Widerspruch=20aufgel=C3=B6st?=
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(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index f66896e..389c78c 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -10,14 +10,13 @@ Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
 \subsection{Dijkstra-Algorithmus}
 Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
 Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
-Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden.
 Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
 Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde.
 Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde.
 
 Gegeben sei ein Netzwerk mit $n$ Knoten und dem Startknoten $a$.
 Alle Kanten sind mit $k(i, j)$ bewertet.
-Gesucht wird der kürzeste Pfad zwischen dem Startknoten und allen übrigen Knoten im Netz.
+Gesucht wird der kürzeste Pfad zwischen dem Startknoten und dem Knoten im Netz.
 $D(i)$ ist die kürzeste Distanz vom Startknoten $a$ zum Knoten $i, V(i)$ ist der unmittelbare Vorgängerknoten vom Knoten $i$ auf dem kürzesten Weg vom Startknoten $a$ zum Konten $i$ und die Menge $M$ ist die Menge einer bestimmten Auswahl an Knoten.
 
 Dabei gilt
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From 46eee95c5d39e99535f3790e40994d0eb1167ffe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 13:56:38 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Erl=C3=A4uterung=20zu=20Suchalgorithmen?=
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 buch/papers/verkehr/section1.tex | 7 +++++++
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(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 389c78c..756f6e1 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -6,6 +6,13 @@ Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufba
 Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
 
 \section{Suchalgorithmen}
+Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eines Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren.
+
+Einerseits wird zwischen optimalen und nicht-optimalen Algorithmen unterschieden. Ein Suchalgorithmus gilt als optimal, falls er einen günstigsten Pfad zwischen zwei Knoten findet. Es gilt zu beachten, dass im Falle des Vorhandenseins von mehrerern Pfaden mit identischer, minimaler Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten, mindestens einer dieser Pfade gefunden wird.
+
+Weiter wird zwischen informierten und uninformierten Algorithmen differenziert. Während uninformierte Suchalgorithmen den Suchraum schematisch auf Basis der Eigenschaften des Graphen absuchen, bis eine günstigste Lösung gefunden wurde, verwenden informierte Suchalgorithmen eine Heuristik zur Abschätzung der Suchrichtung. Oftmals wird bei informierten Algorithmen ein Verlust der Optimalität zugunsten einer verbesserten Rechenzeit in Kauf genommen. Es exisitieren jedoch auch Heurstiken, die eine optimale Lösung gewährleisten.
+
+Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass stets der günstigste Weg verfolgt wird und davon ausgehend der darauffolgende, günstigste Folgezustand ausgewählt wird. Am Beispiel eines Verkehrsnetzes ist somit gewährleistet, dass beim Antreffen des Zielknotens auch der günstigste Pfad gefunden wurde.
 
 \subsection{Dijkstra-Algorithmus}
 Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
-- 
cgit v1.2.1


From dc45d7a57dfcc3ca4b9a97be4a51216c1a6ce4bc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 15:00:00 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Erl=C3=A4uterungen=20zu=20Dijkstra?=
MIME-Version: 1.0
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 buch/papers/verkehr/section1.tex | 34 ++++++----------------------------
 1 file changed, 6 insertions(+), 28 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 756f6e1..4a27737 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -15,35 +15,13 @@ Weiter wird zwischen informierten und uninformierten Algorithmen differenziert.
 Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass stets der günstigste Weg verfolgt wird und davon ausgehend der darauffolgende, günstigste Folgezustand ausgewählt wird. Am Beispiel eines Verkehrsnetzes ist somit gewährleistet, dass beim Antreffen des Zielknotens auch der günstigste Pfad gefunden wurde.
 
 \subsection{Dijkstra-Algorithmus}
-Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden.
-Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann.
-Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden.
-Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde.
-Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde.
-
-Gegeben sei ein Netzwerk mit $n$ Knoten und dem Startknoten $a$.
-Alle Kanten sind mit $k(i, j)$ bewertet.
-Gesucht wird der kürzeste Pfad zwischen dem Startknoten und dem Knoten im Netz.
-$D(i)$ ist die kürzeste Distanz vom Startknoten $a$ zum Knoten $i, V(i)$ ist der unmittelbare Vorgängerknoten vom Knoten $i$ auf dem kürzesten Weg vom Startknoten $a$ zum Konten $i$ und die Menge $M$ ist die Menge einer bestimmten Auswahl an Knoten.
-
-Dabei gilt
-\begin{equation}M={a}\end{equation}
-\begin{equation}D(a)=0\end{equation} wobei
-\begin{equation}D(i)=\infty\end{equation} und
-\begin{equation}i \neq a \end{equation}
-Ausserdem gilt \begin{equation}V(i)=(-) \text{für alle Knoten $i$}\end{equation}\\
+Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikter Positivität des Graphen gewährleistet.
+Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. Die für dieses Paper verwendete Funktion verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt:
+Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ weist das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades.
+Zudem werden zwei Hilfs-Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{b}$ der Länge $n$ eingeführt, wobei $n$ die Anzahl Knoten des Graphen ist. Im Vektoreintrag $\vec{d}(i)$ wird das kummulierte Kantengewicht zur Erreichung von Knoten $i$ vom Startknoten $a$ gespeichert. Der Eintrag $\vec{d}(a)$ beträgt somit $0$. Im Vektor $\vec{b}$ wird zudem vermerkt, falls ein Knoten bereits als Ziel eines kürzesten Pfads gefunden wurde und somit für die weitere Suche nicht mehr berücksichtigt werden muss ($\vec{b}(i)=1$, sonst $\vec{b}(i)=0$).
 
-%THEORIE...
-Iteration
-
-1. Auswahl eines Knotens \begin{equation} K\in M \text{mit} D(K)=D(i);i\in M\end{equation}
-
-2. Für alle Nachfolger $N(j)$ vom Knoten $K$ gilt:
-\begin{equation}D(K) + k_Kj < D(j)\end{equation} dann wird \begin{equation}D(j) = D(K) + k_Kj, V(j) = K\end{equation} gesetzt und somit wird der Knoten $j$ in die Menge $M$ aufgenommen.
-
-3. Der ausgewählte Knoten \begin{equation}K\in M\text{wird aus der Menge herausgelöscht}\end{equation}\\
-Diese drei Schritte werden so lange wiederholt bis gilt
-\begin{equation}M=\{\}\end{equation}
+Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$.
+Diese Iteration wird solang durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht.
 
 \subsection{A*-Algorithmus}
 Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
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Date: Tue, 27 Jul 2021 15:20:52 +0200
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diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 4a27737..6f8f2b7 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -20,27 +20,19 @@ Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprac
 Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ weist das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades.
 Zudem werden zwei Hilfs-Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{b}$ der Länge $n$ eingeführt, wobei $n$ die Anzahl Knoten des Graphen ist. Im Vektoreintrag $\vec{d}(i)$ wird das kummulierte Kantengewicht zur Erreichung von Knoten $i$ vom Startknoten $a$ gespeichert. Der Eintrag $\vec{d}(a)$ beträgt somit $0$. Im Vektor $\vec{b}$ wird zudem vermerkt, falls ein Knoten bereits als Ziel eines kürzesten Pfads gefunden wurde und somit für die weitere Suche nicht mehr berücksichtigt werden muss ($\vec{b}(i)=1$, sonst $\vec{b}(i)=0$).
 
-Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$.
+Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$. Ausschlaggebend für die folgende Auswahl ist die Summe der kummulierten Kantengewichte und des Kantengewichts des nächsten Knotens. Als Beispiel zur Erreichung von Knoten $k$ über Knoten $j$:
+\begin{equation}
+\vec{d}(k)=\vec{d}(j)+A(k,j)
+\end{equation}
 Diese Iteration wird solang durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht.
 
 \subsection{A*-Algorithmus}
-Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein.
-Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben.
-Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet.
-Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert.
-Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist.
-Der A*-Algorithmus gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus.
+Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine Heuristik zur Abschätzung der günstigsten Suchrichtung. Somit handelt es sich um einen informierten Greedy-Algorithmus, der abhängig von der verwendeten Heuristik auch optimal sein kann. Er wurde von Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael entwickelt.
 
 \subsection{Anwendung A*-Algorithmus}
 Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch eine optimale Lösung darstellt.\\
 
-Die Kantengewichte werden für jeden Knoten in Form einer Funktion dargestellt
-\begin{equation}f(n)=g(n)\end{equation} mit
-\begin{equation}g(n)=\text{Summe aller Kantengewichte vom Startknoten bis n}\end{equation}\\
-Der A*-Algorithmus erweitert die Vorgehensweise des Algorithmus von Dijkstra um die Heuristik $h(n)$, die für jeden Knoten $n$ die geschätzte Entfernung zum Zielknoten beschreibt.
-Somit gilt:
-\begin{equation}f(n)=g(n)+h(n)\end{equation}\\
-Wie auch der Algorithmus von Dijkstra findet der A*-Algorithmus die optimalste Lösung.
+Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht.
 
 \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
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Date: Tue, 27 Jul 2021 15:21:30 +0200
Subject: subsection "Euklidische Heurstik" verschoben

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(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6f8f2b7..1a4ecbb 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -34,6 +34,10 @@ Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus v
 
 Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht.
 
+\subsection{Euklidische Heuristik}
+Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
+Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
+
 \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
@@ -54,9 +58,7 @@ Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
 \begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
 ermittelt.
 
-\subsection{Euklidische Heuristik}
-Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
-Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
+
 
 \section{PageRank-Algorithmus}
 Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
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cgit v1.2.1


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From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 15:35:28 +0200
Subject: Anpassungen Folyd-Warshall-Algorithmus

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 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 1a4ecbb..d34d31e 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -35,24 +35,22 @@ Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus v
 Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht.
 
 \subsection{Euklidische Heuristik}
-Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar.
-Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant.
+Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. Unter Verwendung dieser Heuristik gilt der A*-Algorithmus als optimal.
+
+Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant. Hier können hingegen andere Eigenschaften des Netzwerks verwendet werden, auf welche in diesem Paper nicht weiter eingegangen wird.
 
 \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
 Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus besteht grundsätzlich aus Floyd's Berechnung der kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten und Warshall's Konstruktion der kürzesten Wege. Werden diese beiden Teilgebiete zusammengefügt, ergibt sich der Floyd-Warshall-Algorithmus.
 
 \subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
 
-Wie oben erwähnt, besteht der Floyd-Warshall-Algorithmus aus dem Teil von Floyd zur Berechnung der kürzesten Pfade und dem Teil von Warshall zur Konstruktion der kürzesten Pfade.
-
 %THEORIE...
-Als erstes wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W[i, j]$ erstellt.
+In einem ersten Schritt wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W[i, j]$ erstellt.
 Der Algorithmus berechnet danach in einer Hauptschleife alle Knoten $k$ von 1 bis $n$.
 Dabei versucht er in jeder Iteration alle Wege von $i$ nach $j$ durch die Wege $(i, k)$ und $(k, j)$ zu verbessern.
-Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der Algorithmus aktualisiert.
+Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der entsprechende Eintrag aktualisiert.
 
 Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
 \begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
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cgit v1.2.1


From 04e2c97e5885542ee0beda05da749964a44cf1e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 15:39:06 +0200
Subject: Anpassungen PageRank-Algorithmus

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 buch/papers/verkehr/section1.tex | 8 +++-----
 1 file changed, 3 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index d34d31e..5abd107 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -59,11 +59,9 @@ ermittelt.
 
 
 \section{PageRank-Algorithmus}
-Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc..
-Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird.
-Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat.
-Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur.
-Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
+Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc.
+Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich nicht um einen Suchalgorithmus, stattdessen werden Knoten aufgrund der Vernetzung des vorliegenden Graphen bewertet.
+Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
 Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt.
 
 %THEORIE...
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cgit v1.2.1


From a23ef813e263ac2d0f06d734c711517806fa1437 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 20:48:34 +0200
Subject: diverse Anpassungen

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 1 file changed, 24 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 5abd107..6d05dc0 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -6,25 +6,27 @@ Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim Aufba
 Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz.
 
 \section{Suchalgorithmen}
-Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eines Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren.
+Inbesondere bei Graphen in Form von Verkehrsnetzen ist das Finden eines kürzesten Weges von Interesse. Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein Optimierungsproblem, bei dem die Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten minimiert werden soll. Zu diesem Zweck existieren verschiedene Suchalgorithmen. In den folgenden Abschnitten wird auf eine Auswahl davon eingegangen. Zuvor ist es jedoch notwendig, einige Begriffe und Eigenschaften von Suchalgorithmen zu definieren.
 
 Einerseits wird zwischen optimalen und nicht-optimalen Algorithmen unterschieden. Ein Suchalgorithmus gilt als optimal, falls er einen günstigsten Pfad zwischen zwei Knoten findet. Es gilt zu beachten, dass im Falle des Vorhandenseins von mehrerern Pfaden mit identischer, minimaler Summe der Kantengewichte zwischen zwei Knoten, mindestens einer dieser Pfade gefunden wird.
 
 Weiter wird zwischen informierten und uninformierten Algorithmen differenziert. Während uninformierte Suchalgorithmen den Suchraum schematisch auf Basis der Eigenschaften des Graphen absuchen, bis eine günstigste Lösung gefunden wurde, verwenden informierte Suchalgorithmen eine Heuristik zur Abschätzung der Suchrichtung. Oftmals wird bei informierten Algorithmen ein Verlust der Optimalität zugunsten einer verbesserten Rechenzeit in Kauf genommen. Es exisitieren jedoch auch Heurstiken, die eine optimale Lösung gewährleisten.
 
-Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass stets der günstigste Weg verfolgt wird und davon ausgehend der darauffolgende, günstigste Folgezustand ausgewählt wird. Am Beispiel eines Verkehrsnetzes ist somit gewährleistet, dass beim Antreffen des Zielknotens auch der günstigste Pfad gefunden wurde.
+Eine besondere Art von Suchalgorithmen stellen die sogenannten Greedy-Algorithmen, zu deutsch gierige Algorithmen, dar. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie stets den zurzeit günstigsten Folgezustand auswählen. Dadurch sind sie in der Regel äusserst effizient, garantieren bei vielen Problemstellungen jedoch keine optimale Lösung.
 
 \subsection{Dijkstra-Algorithmus}
-Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikter Positivität des Graphen gewährleistet.
-Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. Die für dieses Paper verwendete Funktion verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt:
-Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ weist das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades.
+Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Informatikprofessor Edsger Dijkstra. Er gehört zur Klasse der uninformierten Greedy-Algorithmen. Zudem ist die Optimalität bei strikt positiven Kantengewichten gewährleistet.
+Vorteilhaft ist die einfache Implementierung. Abhängig von der Programmiersprache sind zwischen 30 und 40 Zeilen an Code ausreichend, damit er den kürzesten Pfad zwischen einem Startknoten $a$ und Zielknoten $b$ finden kann. 
+
+Die für dieses Paper verwendete programmierte Funktion (MATLAB) verwendet eine abgewandelte Form der gewichteten Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt:
+Der Matrix-Eintrag $A_{i,j}$ enthält das Kantengewicht der Kante von Knoten $j$ nach $i$ auf. Falls keine Kante zwischen $j$ und $i$ vorhanden ist, beträgt der Eintrag $\infty$. Dies vereinfacht die Implementierung zur Bestimmung des nächst-günstigsten Pfades.
 Zudem werden zwei Hilfs-Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{b}$ der Länge $n$ eingeführt, wobei $n$ die Anzahl Knoten des Graphen ist. Im Vektoreintrag $\vec{d}(i)$ wird das kummulierte Kantengewicht zur Erreichung von Knoten $i$ vom Startknoten $a$ gespeichert. Der Eintrag $\vec{d}(a)$ beträgt somit $0$. Im Vektor $\vec{b}$ wird zudem vermerkt, falls ein Knoten bereits als Ziel eines kürzesten Pfads gefunden wurde und somit für die weitere Suche nicht mehr berücksichtigt werden muss ($\vec{b}(i)=1$, sonst $\vec{b}(i)=0$).
 
 Ausgehend vom Startknoten $a$ wird nun anhand der Matrix $A$ in der Spalte $a$ nach dem kleinsten Eintrag gesucht. Somit wird der Folgeknoten $c$ gefunden. Dieser Vorgang wird nun wiederholt, wobei jedoch sämtliche von Knoten $a$ und $c$ erreichbaren Knoten berücksichtigt werden, die noch nicht besucht wurden. In anderen Worten alle nicht verschwindenden Einträge $i$ der Spalten $a$ und $c$ der Matrix $A$, für welche gilt $\vec{b}(i)=0$. Ausschlaggebend für die folgende Auswahl ist die Summe der kummulierten Kantengewichte und des Kantengewichts des nächsten Knotens. Als Beispiel zur Erreichung von Knoten $k$ über Knoten $j$:
 \begin{equation}
 \vec{d}(k)=\vec{d}(j)+A(k,j)
 \end{equation}
-Diese Iteration wird solang durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht.
+Diese Iteration wird solange durchgeführt, bis der Folgeknoten dem Zielknoten entspricht.
 
 \subsection{A*-Algorithmus}
 Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine Heuristik zur Abschätzung der günstigsten Suchrichtung. Somit handelt es sich um einen informierten Greedy-Algorithmus, der abhängig von der verwendeten Heuristik auch optimal sein kann. Er wurde von Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael entwickelt.
@@ -32,17 +34,22 @@ Der A*-Algorithmus basiert auf dem Dijkstra-Algorithmus, verwendet jedoch eine H
 \subsection{Anwendung A*-Algorithmus}
 Wie oben erwähnt basiert der A*-Algorithmus auf dem Shortest-Path-Algorithmus von Dijkstra. Gemäss dem Algorihtmus von Dijkstra werden von einem Startknoten aus die jeweiligen Nachbarknoten, die Nachbarknoten der Nachbarknoten usw. verarbeitet. Die Kantengewichte werden dabei aufsummiert und die Priorität wird auf die Kante gelegt, die das geringste Gewicht aufweist. Mit diesem Verfahren wird sichergestellt, dass die erste gefundene Lösung auch eine optimale Lösung darstellt.\\
 
-Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht.
+Der A*-Algorithmus unterscheidet sich vom Dijkstra-Algorithmus dahingehend, dass bei der Auswahl des Folgeknotens, nicht nur die Summe der Kantengewichte $\vec{d}(j)+A(k,j)$, sondern zusätzlich die für jeden Knoten definierte Abschätzfunktion $f(k)$ hinzuaddiert wird. Dies passiert jedoch nur bei der \emph{Auswahl} des Folgeknotens. Der Wert von $f(k)$ wird nicht im Eintrag $\vec{d}(k)$ gespeichert. Somit wird gewährleistet, dass der gefundene Pfad, der Summe der Kantengewichte entspricht. Ein Beispiel dafür, wie eine Abschätzfunktion gebildet werden kann findet sich in Abschnitt \ref{sec:verkehr/euklidische}
 
 \subsection{Euklidische Heuristik}
+\label{sec:verkehr/euklidische}
 Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. Unter Verwendung dieser Heuristik gilt der A*-Algorithmus als optimal.
 
+Bei der euklidischen Heuristik wird die Abschätzfunktion $f(k)$ für jeden Knoten $k$ durch euklidische Distanz zum Zielknoten $b$ gebildet.
+\begin{equation}
+f(k)=\sqrt{(x_k-x_b)^2+(y_k-y_b)^2}
+\end{equation}
+
 Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant. Hier können hingegen andere Eigenschaften des Netzwerks verwendet werden, auf welche in diesem Paper nicht weiter eingegangen wird.
 
 \subsection{Floyd-Warshall-Algorithmus}
 Der Floyd-Warshall-Algorithmus, auch Tripel-Algorithmus genannt, wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt.
-Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph aber keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
-Ein Kreis (Zyklus) in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird.\\
+Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die günstigsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet. Der Floyd-Warhshall-Algrithmus kann ausserdem mit negativen Kantengewichten umgehen, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. Ein Kreis, sprich ein Weg mit identischem Start- und Zielknoten, ist negativ, falls die Summe der Kantengewichte des Weges kleiner als null ist. Ist dies der Fall, führt der Algorithmus zu einem falschen Ergebnis.
 
 \subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
 
@@ -53,7 +60,7 @@ Dabei versucht er in jeder Iteration alle Wege von $i$ nach $j$ durch die Wege $
 Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der entsprechende Eintrag aktualisiert.
 
 Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
-\begin{equation}d[i, j]=min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
+\begin{equation}d[i, j]=\min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
 ermittelt.
 
 
@@ -62,10 +69,7 @@ ermittelt.
 Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc.
 Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich nicht um einen Suchalgorithmus, stattdessen werden Knoten aufgrund der Vernetzung des vorliegenden Graphen bewertet.
 Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
-Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt.
-
-%THEORIE...
-Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen.
+Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche folgendes gilt:
 
 \begin{equation}
 A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
@@ -75,13 +79,17 @@ A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
 \label{verkehr:Adja}
 \end{equation}
 
+%THEORIE...
+Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen.
+
+
 
-Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1...n\right\}\end{equation}
+Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\}\end{equation}
 Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
 Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt.
 \begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation}
 Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
-\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1...n\right\} \end{equation}
+\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\} \end{equation}
 Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
 Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
 \begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
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From c1d43d16b948505cc25d8eb740a393170a28a7f9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 20:51:44 +0200
Subject: diverse Anpassungen

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 buch/papers/verkehr/section1.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6d05dc0..416e311 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -87,12 +87,12 @@ Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseina
 Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\}\end{equation}
 Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
 Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt.
-\begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation}
+\[ P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \]
 Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
-\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\} \end{equation}
+\[ \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\} \]
 Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
-Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
-\begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
+Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
+\[ \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\]
 somit
 \begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
-Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ und stellt das abschliessende Ranking dar.
+Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ der das abschliessende Ranking darstellt.
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cgit v1.2.1


From 5c9bc9221d54daecf885b8e66286a5f13406e47b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 28 Jul 2021 20:27:50 +0200
Subject: Diverse Anpassungen
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

- Typos
- Integration von Formeln in Sätze
- \dot zu \dots
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 buch/papers/verkehr/section1.tex | 16 ++++++++--------
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diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 416e311..6ac86ad 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -84,15 +84,15 @@ Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseina
 
 
 
-Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\}\end{equation}
+Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}\end{equation}
 Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
-Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt.
-\[ P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \]
+Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt:
+\( P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \)
 Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
-\[ \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dot n\right\} \]
+\( \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\} \)
 Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
-Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt.
-\[ \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\]
-somit
-\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation}
+Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das ``erste'' Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt:
+\( \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\)
+und somit allgemein:
+\( \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\)
 Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ der das abschliessende Ranking darstellt.
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cgit v1.2.1


From 960fdcf227a9de8bf5919c56b88e05a0abd0ec0a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 4 Aug 2021 13:51:52 +0200
Subject: Klammern vereinheitlicht

---
 buch/papers/verkehr/section1.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6ac86ad..075649e 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -54,13 +54,13 @@ Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er
 \subsection{Anwendung Floyd-Warshall-Algorithmus}
 
 %THEORIE...
-In einem ersten Schritt wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W[i, j]$ erstellt.
+In einem ersten Schritt wird eine Gewichtsmatrix $W$ mit den Matrixeinträgen $W(i, j)$ erstellt.
 Der Algorithmus berechnet danach in einer Hauptschleife alle Knoten $k$ von 1 bis $n$.
 Dabei versucht er in jeder Iteration alle Wege von $i$ nach $j$ durch die Wege $(i, k)$ und $(k, j)$ zu verbessern.
 Falls dieser mögliche Umweg zu einer Verbesserung führt, wird der entsprechende Eintrag aktualisiert.
 
 Die aktuelle Gewichtung der Pfade wird mit
-\begin{equation}d[i, j]=\min[d[i,j], d[i,k] + d[k,i]]\end{equation}
+\begin{equation}d(i, j)=\min\{d(i,j), d(i,k) + d(k,i)\}\end{equation}
 ermittelt.
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 420405209148acf4bf074369f516d5e73c2b13b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 4 Aug 2021 13:56:09 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Zeilenumbr=C3=BCche?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/verkehr/section1.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6ac86ad..813b28a 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -68,7 +68,7 @@ ermittelt.
 \section{PageRank-Algorithmus}
 Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc.
 Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich nicht um einen Suchalgorithmus, stattdessen werden Knoten aufgrund der Vernetzung des vorliegenden Graphen bewertet.
-Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\
+Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur zu bewerten und relevante Suchergebnisse zu ermittteln. Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.
 Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche folgendes gilt:
 
 \begin{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 062f9b9a2984a3e8cec05adaf5cc9cf83da131e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 4 Aug 2021 13:59:52 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Formel=20mit=20"cases"=20einger=C3=BCckt?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/verkehr/section1.tex | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6ac86ad..4991950 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -72,10 +72,10 @@ Verwendet wird er beispielsweise um die Verlinkungsstruktur verschiedener Websit
 Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche folgendes gilt:
 
 \begin{equation}
-A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix}
-1 & \text{Kante von $j$ nach $i$} \\ 0 & \text{keine Kante von $j$ nach $i$}
-\end{matrix}
- \right.
+A_{i,j} = \begin{cases}
+1&\quad\text{Kante von $j$ nach $i$}\\
+0&\quad\text{keine Kante von $j$ nach $i$}
+\end{cases}
 \label{verkehr:Adja}
 \end{equation}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 87779c4a725f04e31ba27e88dbfd8f639d51bed8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 4 Aug 2021 14:24:55 +0200
Subject: Anpassung Formel

- Korrektur Formel-Syntax
- Integration in Satz
---
 buch/papers/verkehr/section1.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/verkehr/section1.tex')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 6ac86ad..6c5817d 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -86,8 +86,8 @@ Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseina
 
 Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\}\end{equation}
 Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet.
-Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt:
-\( P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \)
+Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt, so entsteht die Link-Matrix
+\[ P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{k=1}^{n}A_{k,j}} \]
 Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt:
 \( \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1\dots n\right\} \)
 Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet.
-- 
cgit v1.2.1

