From 2cad7439d48a67af39b7b5ec03f8874ec9d9a3c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 20:35:18 +0200 Subject: Update section 1 of paper --- buch/papers/verkehr/teil0.tex | 69 ++++++++++++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 49 insertions(+), 20 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/teil0.tex b/buch/papers/verkehr/teil0.tex index 5031841..78d9311 100644 --- a/buch/papers/verkehr/teil0.tex +++ b/buch/papers/verkehr/teil0.tex @@ -1,22 +1,51 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{verkehr:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{verkehr:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +\section{Versuchsreihe} +\label{section:verkehr/versuchsreihe} +Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. +Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. +Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. +Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. +Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. + +\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} +\label{verkehr:Knotenzahl} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} + +\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr1} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. +Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. +Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} + +\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} +\label{verkehr:pathDifference} +\end{wrapfigure} + + +\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ +\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr2} +\end{wrapfigure} + +Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ +Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} +\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} +\label{verkehr:Comparison} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. -- cgit v1.2.1 From 1d1a334cce74e76b5ae18701b39d379580e07edb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 20:36:50 +0200 Subject: Update section 2 of paper --- buch/papers/verkehr/teil1.tex | 102 ++++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 49 insertions(+), 53 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/teil1.tex b/buch/papers/verkehr/teil1.tex index 855aef8..78d9311 100644 --- a/buch/papers/verkehr/teil1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/teil1.tex @@ -1,55 +1,51 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{verkehr:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{verkehr:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{verkehr:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{verkehr:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{verkehr:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +\section{Versuchsreihe} +\label{section:verkehr/versuchsreihe} +Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. +Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. +Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. +Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. +Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. + +\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} +\label{verkehr:Knotenzahl} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} + +\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr1} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. +Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. +Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} + +\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} +\label{verkehr:pathDifference} +\end{wrapfigure} + + +\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ +\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr2} +\end{wrapfigure} + +Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ +Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} +\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} +\label{verkehr:Comparison} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. -- cgit v1.2.1 From 61c60ad40387ed1401f6685a152529874c07d63d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 20:37:23 +0200 Subject: Update section 3 of paper --- buch/papers/verkehr/teil2.tex | 46 +++++++------------------------------------ 1 file changed, 7 insertions(+), 39 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/teil2.tex b/buch/papers/verkehr/teil2.tex index 5170ded..99a0d92 100644 --- a/buch/papers/verkehr/teil2.tex +++ b/buch/papers/verkehr/teil2.tex @@ -1,40 +1,8 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{verkehr:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{verkehr:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - +\section{Ausblick} +\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen} +Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\ +Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten. +\subsection{Wahl der Heuristik} +Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\ +In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden. -- cgit v1.2.1 From 0cd2f753702cc0ce0c74a281c4b7146ca96ae78f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 20:40:11 +0200 Subject: delete 4th section 4th section not needed --- buch/papers/verkehr/teil3.tex | 40 ---------------------------------------- 1 file changed, 40 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil3.tex (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/teil3.tex b/buch/papers/verkehr/teil3.tex deleted file mode 100644 index 8f79154..0000000 --- a/buch/papers/verkehr/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{verkehr:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{verkehr:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - -- cgit v1.2.1 From e43c4b251bbed04a843a3b4b13f2c2ae25bc7181 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 20:45:52 +0200 Subject: added /figure folder and figures --- buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png | Bin 0 -> 74176 bytes buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png | Bin 0 -> 64237 bytes buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png | Bin 0 -> 36673 bytes buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png | Bin 0 -> 399354 bytes buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png | Bin 0 -> 79386 bytes buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png | Bin 0 -> 77108 bytes 6 files changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png new file mode 100644 index 0000000..14d4eca Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png differ diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png new file mode 100644 index 0000000..2d68681 Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png differ diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png new file mode 100644 index 0000000..02bded7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png differ diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png new file mode 100644 index 0000000..3056f43 Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png differ diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png new file mode 100644 index 0000000..5a681bd Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png differ diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png new file mode 100644 index 0000000..d9348d7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png differ -- cgit v1.2.1 From 26ecbb9559558f40e5e05a84ceb8622c5c9bd182 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid Date: Mon, 24 May 2021 20:57:36 +0200 Subject: renamed section files --- buch/papers/verkehr/section1.tex | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/verkehr/section2.tex | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/verkehr/section3.tex | 8 +++++++ buch/papers/verkehr/teil0.tex | 51 ---------------------------------------- buch/papers/verkehr/teil1.tex | 51 ---------------------------------------- buch/papers/verkehr/teil2.tex | 8 ------- 6 files changed, 110 insertions(+), 110 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/verkehr/section1.tex create mode 100644 buch/papers/verkehr/section2.tex create mode 100644 buch/papers/verkehr/section3.tex delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil0.tex delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil2.tex (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex new file mode 100644 index 0000000..78d9311 --- /dev/null +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\section{Versuchsreihe} +\label{section:verkehr/versuchsreihe} + +Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. +Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. +Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. +Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. + +Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. + +\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} +\label{verkehr:Knotenzahl} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} + +\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr1} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. +Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. +Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} + +\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} +\label{verkehr:pathDifference} +\end{wrapfigure} + + +\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ +\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr2} +\end{wrapfigure} + +Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ +Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} +\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} +\label{verkehr:Comparison} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex new file mode 100644 index 0000000..78d9311 --- /dev/null +++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\section{Versuchsreihe} +\label{section:verkehr/versuchsreihe} + +Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. +Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. +Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. +Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. + +Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. + +\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} +\label{verkehr:Knotenzahl} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} + +\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr1} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. +Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. +Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} + +\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} +\label{verkehr:pathDifference} +\end{wrapfigure} + + +\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ +\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} +\label{verkehr:Vr2} +\end{wrapfigure} + +Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ +Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. + +\begin{wrapfigure}{} +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad +\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} +\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} +\label{verkehr:Comparison} +\end{wrapfigure} + +In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. diff --git a/buch/papers/verkehr/section3.tex b/buch/papers/verkehr/section3.tex new file mode 100644 index 0000000..99a0d92 --- /dev/null +++ b/buch/papers/verkehr/section3.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +\section{Ausblick} +\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen} +Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\ +Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten. + +\subsection{Wahl der Heuristik} +Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\ +In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden. diff --git a/buch/papers/verkehr/teil0.tex b/buch/papers/verkehr/teil0.tex deleted file mode 100644 index 78d9311..0000000 --- a/buch/papers/verkehr/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\section{Versuchsreihe} -\label{section:verkehr/versuchsreihe} - -Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. -Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. -Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. -Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. - -Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. - -\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} -\label{verkehr:Knotenzahl} - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} - -\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} -\label{verkehr:Vr1} -\end{wrapfigure} - -In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. -Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. -Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} - -\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} -\label{verkehr:pathDifference} -\end{wrapfigure} - - -\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ -\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} -\label{verkehr:Vr2} -\end{wrapfigure} - -Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ -Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} -\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} -\label{verkehr:Comparison} -\end{wrapfigure} - -In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. diff --git a/buch/papers/verkehr/teil1.tex b/buch/papers/verkehr/teil1.tex deleted file mode 100644 index 78d9311..0000000 --- a/buch/papers/verkehr/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\section{Versuchsreihe} -\label{section:verkehr/versuchsreihe} - -Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. -Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. -Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. -Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. - -Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. - -\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} -\label{verkehr:Knotenzahl} - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} - -\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} -\label{verkehr:Vr1} -\end{wrapfigure} - -In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. -Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. -Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} - -\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} -\label{verkehr:pathDifference} -\end{wrapfigure} - - -\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ -\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} -\label{verkehr:Vr2} -\end{wrapfigure} - -Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ -Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. - -\begin{wrapfigure}{} -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} -\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} -\label{verkehr:Comparison} -\end{wrapfigure} - -In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. diff --git a/buch/papers/verkehr/teil2.tex b/buch/papers/verkehr/teil2.tex deleted file mode 100644 index 99a0d92..0000000 --- a/buch/papers/verkehr/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,8 +0,0 @@ -\section{Ausblick} -\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen} -Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\ -Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten. - -\subsection{Wahl der Heuristik} -Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\ -In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden. -- cgit v1.2.1 From f5ac886bcfec175d61bbcb9fef9dd56c394bbf03 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 20:59:00 +0200 Subject: adjusted input-section names --- buch/papers/verkehr/main.tex | 7 +++---- 1 file changed, 3 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/main.tex b/buch/papers/verkehr/main.tex index 332ee7e..01de182 100644 --- a/buch/papers/verkehr/main.tex +++ b/buch/papers/verkehr/main.tex @@ -27,10 +27,9 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. \end{itemize} -\input{papers/verkehr/teil0.tex} -\input{papers/verkehr/teil1.tex} -\input{papers/verkehr/teil2.tex} -\input{papers/verkehr/teil3.tex} +\input{papers/verkehr/section1.tex} +\input{papers/verkehr/section2.tex} +\input{papers/verkehr/section3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} -- cgit v1.2.1 From 50995d1062d097f67afc8a11f9d7808539aa1e82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 21:18:46 +0200 Subject: added chapter title, author --- buch/papers/verkehr/main.tex | 23 ++--------------------- 1 file changed, 2 insertions(+), 21 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/main.tex b/buch/papers/verkehr/main.tex index 01de182..6348993 100644 --- a/buch/papers/verkehr/main.tex +++ b/buch/papers/verkehr/main.tex @@ -4,28 +4,9 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Thema\label{chapter:verkehr}} -\lhead{Thema} +\lhead{Verkehrsfluss und Verkehrsnetze} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +\chapterauthor{Pascal Andreas Schmid und Robine Luchsinger} \input{papers/verkehr/section1.tex} \input{papers/verkehr/section2.tex} -- cgit v1.2.1 From c639d259a74ab2fae3a85bc861e0bc5070800b13 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 21:24:56 +0200 Subject: adjusted figures in section 1 --- buch/papers/verkehr/section1.tex | 20 ++++++++++++-------- 1 file changed, 12 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 78d9311..9e40553 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -11,41 +11,45 @@ Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- \subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} \label{verkehr:Knotenzahl} -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} \caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr1} -\end{wrapfigure} +\end{figure} In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} \caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} \label{verkehr:pathDifference} -\end{wrapfigure} +\end{figure} \subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ \caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr2} -\end{wrapfigure} +\end{figure} Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad \includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} \caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} \label{verkehr:Comparison} -\end{wrapfigure} +\end{figure} In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. -- cgit v1.2.1 From b5bdeb425d4e8d509ba4d786fab3b167ff48d767 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Mon, 24 May 2021 21:25:54 +0200 Subject: adjusted figures in section 2 --- buch/papers/verkehr/section2.tex | 20 ++++++++++++-------- 1 file changed, 12 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex index 78d9311..9e40553 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section2.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex @@ -11,41 +11,45 @@ Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- \subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} \label{verkehr:Knotenzahl} -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} \caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr1} -\end{wrapfigure} +\end{figure} In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} \caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} \label{verkehr:pathDifference} -\end{wrapfigure} +\end{figure} \subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ \caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr2} -\end{wrapfigure} +\end{figure} Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. -\begin{wrapfigure}{} +\begin{figure} +\centering \includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad \includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} \caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} \label{verkehr:Comparison} -\end{wrapfigure} +\end{figure} In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. -- cgit v1.2.1 From 74e9f65ccf48e09553690d5b9560e1b9c5be84f1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 25 May 2021 07:45:53 +0200 Subject: fix image paths --- buch/papers/verkehr/Makefile.inc | 12 +++++------- buch/papers/verkehr/section1.tex | 10 +++++----- buch/papers/verkehr/section2.tex | 10 +++++----- 3 files changed, 15 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/Makefile.inc b/buch/papers/verkehr/Makefile.inc index 7bd8de1..876d0df 100644 --- a/buch/papers/verkehr/Makefile.inc +++ b/buch/papers/verkehr/Makefile.inc @@ -3,12 +3,10 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -dependencies-verkehr = \ +dependencies-verkehr = \ papers/verkehr/packages.tex \ - papers/verkehr/main.tex \ - papers/verkehr/references.bib \ - papers/verkehr/teil0.tex \ - papers/verkehr/teil1.tex \ - papers/verkehr/teil2.tex \ - papers/verkehr/teil3.tex + papers/verkehr/main.tex \ + papers/verkehr/section1.tex \ + papers/verkehr/section2.tex \ + papers/verkehr/references.bib diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 9e40553..638d9dd 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} +\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png} \caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr1} @@ -25,7 +25,7 @@ Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei di \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} +\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png} \caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} \label{verkehr:pathDifference} @@ -36,7 +36,7 @@ Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei di \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ +\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png}\\ \caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr2} \end{figure} @@ -46,8 +46,8 @@ Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwis \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} +\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_dij.png}\qquad +\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_aStar.png} \caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} \label{verkehr:Comparison} \end{figure} diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex index 9e40553..638d9dd 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section2.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} +\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png} \caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr1} @@ -25,7 +25,7 @@ Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei di \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} +\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png} \caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} \label{verkehr:pathDifference} @@ -36,7 +36,7 @@ Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei di \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ +\includegraphics[width=12cm]{papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png}\\ \caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} \label{verkehr:Vr2} \end{figure} @@ -46,8 +46,8 @@ Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwis \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} +\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_dij.png}\qquad +\includegraphics[width=6cm]{papers/verkehr/figures/network_aStar.png} \caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} \label{verkehr:Comparison} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From cc0321fcd452279007db89d9d01bf5c970d7fca8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com> Date: Fri, 28 May 2021 11:14:22 +0200 Subject: fixed first section content MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit section was the same as section 2 "Versuchsreihe" instead of "Einführung", fixed that. --- buch/papers/verkehr/section1.tex | 99 +++++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 58 insertions(+), 41 deletions(-) (limited to 'buch/papers/verkehr') diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex index 9e40553..1f7c20e 100644 --- a/buch/papers/verkehr/section1.tex +++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex @@ -1,55 +1,72 @@ -\section{Versuchsreihe} -\label{section:verkehr/versuchsreihe} +\section{Einführung} +\label{section:verkehr/einfuehrung} -Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt. -Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert. -Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt. -Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen. +\subsection{Verkehrsnetze} +Das Verkehrsnetz besteht aus allen Anlagen, auf oder unter der Erdoberfläche, auf denen eine räumliche Fortbewegung von Personen oder auch Gütern stattfindet. Verkehrsnetze sind ein Bestandteil der Verkehrsinfrastruktur, die auf topografischen Karten festgehalten werden. Sie umfassen den Schienenverkehr, alle Strassen und Wege, wie auch Flugplätze und alle dazugehörigen Bauwerke. +Aus verkehrsgeografischer Sicht besteht das Verkehrsnetz aus Kanten, Knotenpunkten und dem Hinterland. Die Knotenpunkte werden auch hier durch die Kanten verbunden, die den Verkehrsstrom aufnehmen, wobei das Hinterland durch einzelne Knoten versorgt wird. Die Aufteilung in Kanten und Knotenpunkte ermöglicht eine Vereinfachung komplexer Verkehrsnetze, damit sie mittels der Graphentheorie untersucht werden können. +Grundsätzlich können kurze Wege zwischen den Knotenpunkten das Ziel beim +Aufbau eines Verkehrsnetzes sein. Es kann aber auch versucht werden, die Bau- und Unterhaltskosten des Verkehrsnetzes in einem gewissen Rahmen zu halten. Aus diesen Vorgaben ergibt sich dann, je nach dem was gewünscht wird, eine grob- oder feinmaschige Struktur des Netzes. +Ziel ist aber ein möglichst wirtschaftliches und optimales Verkehrsnetz. -Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind. +\subsection{Suchalgorithmen} -\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit} -\label{verkehr:Knotenzahl} +\subsubsection{Dijkstra-Algorithmus} +Der Algorithmus von Dijkstra ist benannt nach seinem Erfinder dem Mathematik- und Infomratikprofessor Edsger Dijkstra. Den Algorithmus hat er im Jahr 1959 erfunden. +Der Algorithmus von Dijkstra ist ein Greedy-Algorithmus (gieriger Algorithmus), der schrittweise einen Folgezustand auswählt, damit beim Zeitpunkt der Wahl der grösste Gewinn bzw. das beste Ergebnis erzielt werden kann. +Trotz der Schnelligkeit der Greedy-Algorithmen, können viele Probleme nicht optimal gelöst werden. +Vereinfacht wird beim Dijkstra-Algorithmus, ausgehend von einem Startknoten so lange dem kürzesten Pfad gefolgt, bis der Zielknoten erreicht wird. Dabei muss für jeden besuchten Knoten die Kostenfunktion als auch der Pfad dahin (vorheriger Knoten) gespeichert werden. +Dadurch wird hingegen garantiert, dass, wenn der Zielknoten erreicht wird, auch der kürzeste Pfad gefunden wurde. +Grundlegende Voraussetzung für den Dijkstra-Algorithmus ist die strikte Positivität der Kantengewichte. Andernfalls würde ein wiederholtes Ablaufen einer Kante mit negativem Gewicht zu einer stetigen Reduktion der Kostenfunktion führen, was zu einer unendlichen Schlaufe führen würde. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png} +\subsubsection{A*-Algorithmus} +Suchalgorithmen werden nach einfachen (uninformierte) und heuristischen (informierten) Algorithmen unterschieden. Während einfache Algorithmen den Suchraum intuitiv durchsuchen, beziehen heuristische Algorithmen Wissen über den Suchraum mit ein. +Der A*-Algorithmus geht auf seine Erfinder Peter Hart, Nils Nilsson und Bertram Raphael zurück, die den Algorithmus erstmals im Jahr 1968 beschrieben. +Der A*-Algorithmus ist ein heuristischer Suchalgorithmus, der den kürzesten Pfad zwischen zwei Knoten in einem Graphen mit positiven Kantengewichten berechnet. +Im Gegensatz zu einfachen Suchalgorithmen, wird beim A*-Algorithmus eine Schätzfunktion, die sogenannte Heuristik, verwendet. Dies ermöglicht ein zielgerichtetes Suchen und gleichzeitig wird die Laufzeit verringert. +Ausserdem findet der A*-Algorithmus immer eine optimale Lösung, sofern eine vorhanden ist. +Der A*-Algorithmus wird als Verallgemeinerung gehandhabt und gilt als Erweiterung des Dijkstra-Algorithmus. -\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} -\label{verkehr:Vr1} -\end{figure} +\subsubsection{Floyd-Warshall-Algorithmus} +Der Floyd-Warshall-Algorithmus wurde erstmals im Jahr 1962 von seinen Namensgebern Robert Floyd und Stephen Warshall vorgestellt. +Der Floyd-Warshall-Algorithmus sucht kürzeste Wege innerhalb eines Graphen. Er ermittelt aber nicht nur die Distanz zwischen zwei Knoten, sondern berechnet die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren eines gewichteten Graphen. Somit werden die kürzesten , beziehungsweise die optimalsten Wege zwischen allen Paaren von Knoten berechnet, sofern der Graph keinen negativen Kreis (Zyklus) aufweist. +Ein Kreis in einem Graphen ist ein Weg, bei dem Start- und Endpunkt den gleichen Knoten aufweisen. Dieser wird negativ, wenn die Summe der gewichteten Kanten kleiner als Null wird. -In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt. -Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist. -Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt. +\subsubsection{Euklidische Heuristik} +Bei Verkehrsnetzen ist die euklidische Distanz eine gängige und zuverlässige Heurstik. Dabei wird zu den effektiven Reisekosten zum aktuellen Knoten die euklidische Distanz bis zum Zielknoten hinzuaddiert. Dadurch wird die Kostenfunktion konsequent nie überschätzt. Dies stellt eine Voraussetzung an eine zulässige Heuristik dar. +Was bei einem physischen Verkehrsnetz einfach zu bewältigen ist, da Koordinaten von Verkehrsnetzen zur Berechnung der Distanz verwendet werden können, ist bei virtuellen Netzwerken (z.B. Servernetzen) entweder nicht möglich, oder nicht relevant. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png} -\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.} -\label{verkehr:pathDifference} -\end{figure} +\subsection{PageRank-Algorithmus} +Der PageRank-Algorithmus wurde von den Gründern von Google, Larry Page und Sergey Brin im Jahr 1996 entwickelt und zum Patent angemeldet. Zwei Jahre später gründeten sie ihr Unternehmen Google Inc.. +Beim PageRank-Algorithmus handelt es sich um den Algorithmus von Google, aus dem die Google-Matrix abgeleitet wird. +Die Google-Matrix ist eine immens grosse Matrix mit Millionen Zeilen und Spalten, die für die schnelle und vor allem exakte Bestimmung der PageRanks (Gewichtung) eine grosse Bedeutung hat. +Der PageRank-Algorithmus analysiert und gewichtet beispielsweise die Verlinkungsstruktur verschiedener Websites des World Wide Web anhand ihrer Struktur. +Der PageRank wird umso höher, je mehr hochwertige Links auf eine Webseite verweisen und je höher die Gewichtung einer Webseite ist, desto grösser ist der Effekt.\\ +Dabei handelt es sich um einen iterativen Prozess. Ausgegangen wird von der Adjazenz-Matrix $A$, für welche gilt. -\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit} +%THEORIE... +Grundsätzlich setzt sich der PageRank Algorithmus mit der Fragestellung auseinander, wie eine Suchmaschine wie Google Suchresultate bewertet und somit sortieren soll. Öfters aufgerufene Resultate sollen schliesslich höher gewichtet werden. Dabei wird angenommen, dass eine Website populärer ist, je mehr andere Websites darauf verweisen. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\ -\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.} -\label{verkehr:Vr2} -\end{figure} +\begin{equation} +A_{i,j}=\left\{ \begin{matrix} +1 & \text{Kante von $j$ nach $i$} \\ 0 & \text{keine Kante von $j$ nach $i$} +\end{matrix} + \right. +\label{verkehr:Adja} +\end{equation} -Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\ -Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad -\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png} -\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.} -\label{verkehr:Comparison} -\end{figure} -In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde. +Für ungerichtete Graphen mit $n$ Knoten gilt \begin{equation}A_{i,j}=A_{j,i}\end{equation} und weiter \begin{equation}A_{i,i}=0\quad\forall i\in \left\{1...n\right\}\end{equation} +Beim PageRank-Algorithmus wird eine abgewandelte Form der Adjazenz-Matrix verwendet. +Dabei werden die Matrix-Einträge spaltenweise durch die jeweilige Spaltensumme geteilt. +\begin{equation} P_{i,j}=\frac{A_{i,j}}{\sum_{i=1}^{n}A_{i,j}} \end{equation} +Anschliessend multipliziert man diese Matrix $P$ mit einem Spaltenvektor $\Vec{r_0}$ mit $n$ Einträgen, für welchen gilt: +\begin{equation} \Vec{r_0}(i) = \frac{1}{n} \quad\forall i\in \left\{1...n\right\} \end{equation} +Dieser Vektor stellt ein neutrales Ranking dar. Alle Knoten werden gleich gewichtet. +Dadurch erhält man wiederum einen $n$-zeiligen Spaltenvektor $\Vec{r_1}$, der das "erste" Ranking darstellt. Durch Multiplikation der ursprünglichen Matrix $P$ mit dem 1. Ranking-Vektor $\Vec{r_1}$ wird auf Basis des ersten Rankings ein zweites erstellt. +\begin{equation} \Vec{r_2} = P\cdot\Vec{r_1} = P\cdot(P\cdot\Vec{r_0}) = P^2\cdot\Vec{r_0}\end{equation} +somit +\begin{equation} \Vec{r_i} = P^i\cdot\Vec{r_0}\end{equation} +Der Vektor $\Vec{r_i}$ konvergiert zu einem Eigenvektor von $P$ und stellt das abschliessende Ranking dar. -- cgit v1.2.1