From 2cad7439d48a67af39b7b5ec03f8874ec9d9a3c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 20:35:18 +0200
Subject: Update section 1 of paper

---
 buch/papers/verkehr/teil0.tex | 69 ++++++++++++++++++++++++++++++-------------
 1 file changed, 49 insertions(+), 20 deletions(-)

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/teil0.tex b/buch/papers/verkehr/teil0.tex
index 5031841..78d9311 100644
--- a/buch/papers/verkehr/teil0.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/teil0.tex
@@ -1,22 +1,51 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{verkehr:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{verkehr:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\section{Versuchsreihe}
+\label{section:verkehr/versuchsreihe}
 
+Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
+Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
+Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
+Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
 
+Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
+
+\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
+\label{verkehr:Knotenzahl}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
+
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr1}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
+Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
+Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
+
+\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
+\label{verkehr:pathDifference}
+\end{wrapfigure}
+
+
+\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr2}
+\end{wrapfigure}
+
+Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
+Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
+\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
+\label{verkehr:Comparison}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
-- 
cgit v1.2.1


From 1d1a334cce74e76b5ae18701b39d379580e07edb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 20:36:50 +0200
Subject: Update section 2 of paper

---
 buch/papers/verkehr/teil1.tex | 102 ++++++++++++++++++++----------------------
 1 file changed, 49 insertions(+), 53 deletions(-)

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/teil1.tex b/buch/papers/verkehr/teil1.tex
index 855aef8..78d9311 100644
--- a/buch/papers/verkehr/teil1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/teil1.tex
@@ -1,55 +1,51 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{verkehr:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{verkehr:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{verkehr:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{verkehr:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\section{Versuchsreihe}
+\label{section:verkehr/versuchsreihe}
 
+Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
+Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
+Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
+Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
 
+Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
+
+\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
+\label{verkehr:Knotenzahl}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
+
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr1}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
+Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
+Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
+
+\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
+\label{verkehr:pathDifference}
+\end{wrapfigure}
+
+
+\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr2}
+\end{wrapfigure}
+
+Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
+Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
+\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
+\label{verkehr:Comparison}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
-- 
cgit v1.2.1


From 61c60ad40387ed1401f6685a152529874c07d63d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 20:37:23 +0200
Subject: Update section 3 of paper

---
 buch/papers/verkehr/teil2.tex | 46 +++++++------------------------------------
 1 file changed, 7 insertions(+), 39 deletions(-)

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/teil2.tex b/buch/papers/verkehr/teil2.tex
index 5170ded..99a0d92 100644
--- a/buch/papers/verkehr/teil2.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/teil2.tex
@@ -1,40 +1,8 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{verkehr:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
+\section{Ausblick}
+\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen}
+Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\
+Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten.  
 
+\subsection{Wahl der Heuristik}
+Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\
+In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden.
-- 
cgit v1.2.1


From 0cd2f753702cc0ce0c74a281c4b7146ca96ae78f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 20:40:11 +0200
Subject: delete 4th section

4th section not needed
---
 buch/papers/verkehr/teil3.tex | 40 ----------------------------------------
 1 file changed, 40 deletions(-)
 delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil3.tex

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/teil3.tex b/buch/papers/verkehr/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 8f79154..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{verkehr:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{verkehr:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
-- 
cgit v1.2.1


From e43c4b251bbed04a843a3b4b13f2c2ae25bc7181 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 20:45:52 +0200
Subject: added /figure folder and figures

---
 buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png      | Bin 0 -> 74176 bytes
 buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png      | Bin 0 -> 64237 bytes
 buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png | Bin 0 -> 36673 bytes
 buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png  | Bin 0 -> 399354 bytes
 buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png  | Bin 0 -> 79386 bytes
 buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png    | Bin 0 -> 77108 bytes
 6 files changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-)
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png
new file mode 100644
index 0000000..14d4eca
Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr1.png differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png
new file mode 100644
index 0000000..2d68681
Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/chart_Vr2.png differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png
new file mode 100644
index 0000000..02bded7
Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/chart_pathDiff.png differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png
new file mode 100644
index 0000000..3056f43
Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/dist_display6.png differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png
new file mode 100644
index 0000000..5a681bd
Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/network_aStar.png differ
diff --git a/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png
new file mode 100644
index 0000000..d9348d7
Binary files /dev/null and b/buch/papers/verkehr/figures/network_dij.png differ
-- 
cgit v1.2.1


From 26ecbb9559558f40e5e05a84ceb8622c5c9bd182 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <pascal.schmid@ost.ch>
Date: Mon, 24 May 2021 20:57:36 +0200
Subject: renamed section files

---
 buch/papers/verkehr/section1.tex | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/verkehr/section2.tex | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/verkehr/section3.tex |  8 +++++++
 buch/papers/verkehr/teil0.tex    | 51 ----------------------------------------
 buch/papers/verkehr/teil1.tex    | 51 ----------------------------------------
 buch/papers/verkehr/teil2.tex    |  8 -------
 6 files changed, 110 insertions(+), 110 deletions(-)
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/section1.tex
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/section2.tex
 create mode 100644 buch/papers/verkehr/section3.tex
 delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil0.tex
 delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil1.tex
 delete mode 100644 buch/papers/verkehr/teil2.tex

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
new file mode 100644
index 0000000..78d9311
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+\section{Versuchsreihe}
+\label{section:verkehr/versuchsreihe}
+
+Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
+Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
+Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
+Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
+
+Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
+
+\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
+\label{verkehr:Knotenzahl}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
+
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr1}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
+Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
+Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
+
+\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
+\label{verkehr:pathDifference}
+\end{wrapfigure}
+
+
+\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr2}
+\end{wrapfigure}
+
+Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
+Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
+\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
+\label{verkehr:Comparison}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
diff --git a/buch/papers/verkehr/section2.tex b/buch/papers/verkehr/section2.tex
new file mode 100644
index 0000000..78d9311
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+\section{Versuchsreihe}
+\label{section:verkehr/versuchsreihe}
+
+Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
+Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
+Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
+Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
+
+Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
+
+\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
+\label{verkehr:Knotenzahl}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
+
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr1}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
+Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
+Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
+
+\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
+\label{verkehr:pathDifference}
+\end{wrapfigure}
+
+
+\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
+\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
+\label{verkehr:Vr2}
+\end{wrapfigure}
+
+Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
+Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
+
+\begin{wrapfigure}{}
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
+\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
+\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
+\label{verkehr:Comparison}
+\end{wrapfigure}
+
+In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
diff --git a/buch/papers/verkehr/section3.tex b/buch/papers/verkehr/section3.tex
new file mode 100644
index 0000000..99a0d92
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/verkehr/section3.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Ausblick}
+\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen}
+Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\
+Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten.  
+
+\subsection{Wahl der Heuristik}
+Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\
+In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden.
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil0.tex b/buch/papers/verkehr/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 78d9311..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,51 +0,0 @@
-\section{Versuchsreihe}
-\label{section:verkehr/versuchsreihe}
-
-Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
-Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
-Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
-Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
-
-Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
-
-\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
-\label{verkehr:Knotenzahl}
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
-
-\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
-\label{verkehr:Vr1}
-\end{wrapfigure}
-
-In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
-Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
-Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
-
-\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
-\label{verkehr:pathDifference}
-\end{wrapfigure}
-
-
-\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
-\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
-\label{verkehr:Vr2}
-\end{wrapfigure}
-
-Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
-Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
-\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
-\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
-\label{verkehr:Comparison}
-\end{wrapfigure}
-
-In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil1.tex b/buch/papers/verkehr/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 78d9311..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,51 +0,0 @@
-\section{Versuchsreihe}
-\label{section:verkehr/versuchsreihe}
-
-Um zwei der vorgestellten Suchalgorithmen zu vergleichen, wurden zwei Versuchsreihen erstellt. Dazu wurden in einem ersten Schritt zufällige Netzwerke generiert und anschliessend der \emph{Dijkstra}-, sowie der \emph{$A^*$}-Algorithmus auf das Netzwerk angewandt.
-Dieser Vorgang wurde für die zufällig generierten Netzwerke mit einer Knotenzahl von 10, 20 50, 100, 200, 500 und 1000 je zehnmal repetiert.
-Die Anzahl der Knoten im abgesuchten Netzwerk wirkt sich direkt auf die Rechenzeit aus. Der \emph{Dijkstra}-Algorithmus weist eine Zeitkomplexität von $\mathcal{O}(E\log{}V)$ auf, wobei $E$ die Anzahl Kanten (engl. \emph{edges}) und $V$ die Anzahl Knoten (engl. \emph{vertices}) darstellt.
-Für den \emph{A*}-Algorithmus ist die Zeitkomplexität einerseits abhängig von der verwendeten Heuristik, andererseits aber auch vom vorliegenden Netzwerk selbst. Aus diesem Grund lässt sich keine defintive Angabe zu $\mathcal{O}$ machen.
-
-Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start- und Zielknoten bei der ersten Versuchsreihe im Netzwerk diametral gegenüber liegen. Dadurch gehen viele Knoten verloren, welcher \emph{Dijkstra} als uninformierter Suchalgorithmus absuchen würde. In der zweiten Veruschsreihe werden hingegen Start- un Zielpunkt zufällig im Netzwerk ausgewählt. Es wird deshalb erwwartet, dass die Unterschiede in der Rechenzeit der beiden Algorithmen in der zweiten Versuchsreihe deutlich ausgeprägter sind.
-
-\subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
-\label{verkehr:Knotenzahl}
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
-
-\caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
-\label{verkehr:Vr1}
-\end{wrapfigure}
-
-In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
-Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
-Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
-
-\caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
-\label{verkehr:pathDifference}
-\end{wrapfigure}
-
-
-\subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
-\caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
-\label{verkehr:Vr2}
-\end{wrapfigure}
-
-Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
-Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
-
-\begin{wrapfigure}{}
-\includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
-\includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
-\caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
-\label{verkehr:Comparison}
-\end{wrapfigure}
-
-In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
diff --git a/buch/papers/verkehr/teil2.tex b/buch/papers/verkehr/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 99a0d92..0000000
--- a/buch/papers/verkehr/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,8 +0,0 @@
-\section{Ausblick}
-\subsection{Optimierungsprobleme bei Graphen}
-Das Finden eines kürzesten Pfades, sprich die Minimierung der Summe der Kantengewichte, ist nur eines der Optimierungsprobleme, die sich im Bereich von Grafen aufstellen lassen. Verschiedene, ähnliche Problemstellungen lassen sich teilweise mit denselben Algorithmen lösen.\\
-Im Bereich vom Computernetzwerken könnte zum Beispiel die Minimierung der Knotenzahl zur Datenübbertragung von Interesse sein. Dabei lässt sich dieses Problem einfach dadurch lösen, dass dem \emph{Dijkstra}, oder dem \emph{A*}-Algorithmus anstelle der Graph-Matrix (mit Kantengewichten als Einträgen) die Adjazenz-Matrix als Argument übergeben wird. Der gefundene kürzeste Pfad enstpricht der Anzahl benutzter Kanten, bzw. der Anzahl besuchter Knoten.  
-
-\subsection{Wahl der Heuristik}
-Ein grundlegendes Problem bei der Anwendung des \emph{A*} oder ähnlicher informierter Suchalgorithmen ist die Wahl der Heurstik. Bei einem physischen Verkehrsnetz kann bspw. die euklidische Distanz problems ermittelt werde. Bei einem regionalen Netzwerk ist die Annahme eines orthogonalen X-Y-Koordinatenetzes absolut ausreichend. Dies gilt z.B. auch für das Vernessungsnetz der Schweiz\footnote{Die aktuelle Schweizer Referenzsystem LV95 benutzt ein E/N-Koordinatennetz, wobei aufgrund zunehmender Abweichung vom Referenzellipsoid bei grosser Entfernung vom Nullpunkt ein Korrekturfaktor für die Höhe angebracht werden muss.} Bei überregionalen Netzwerken (Beispiel: Flugverbindungen) ist hingegen eine Berechnung im dreidimensionalen Raum, oder vereinfacht als Projektion auf das Geoid notwendig. Anonsten ist der Ablauf bei der Ausführung des Algorithmus allerdings identisch.\\
-In nicht-physischen Netzwerken stellt sich jedoch eine zweite Problematik. Da eine physische Distanz entweder nicht ermittelt werden kann, oder aber nicht ausschlaggebend ist, sind andere Netzwerk-Eigenschaften zur Beurteilung beizuziehen. Die Zuverlässigkeit ist dabei aber in den meisten Fällen nicht vergleichbar hoch, wie bei der euklidischen Heuristik. Oftmals werden deshalb bei derartigen Problem auch Algorithmen angewendet, die eine deutlich optimierte Zeitkomplexität aufweisen, dafür aber nicht mit Sicherheit den effizienstesten Pfad finden.
-- 
cgit v1.2.1


From f5ac886bcfec175d61bbcb9fef9dd56c394bbf03 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 20:59:00 +0200
Subject: adjusted input-section names

---
 buch/papers/verkehr/main.tex | 7 +++----
 1 file changed, 3 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/main.tex b/buch/papers/verkehr/main.tex
index 332ee7e..01de182 100644
--- a/buch/papers/verkehr/main.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/main.tex
@@ -27,10 +27,9 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
 Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
 \end{itemize}
 
-\input{papers/verkehr/teil0.tex}
-\input{papers/verkehr/teil1.tex}
-\input{papers/verkehr/teil2.tex}
-\input{papers/verkehr/teil3.tex}
+\input{papers/verkehr/section1.tex}
+\input{papers/verkehr/section2.tex}
+\input{papers/verkehr/section3.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
-- 
cgit v1.2.1


From 50995d1062d097f67afc8a11f9d7808539aa1e82 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 21:18:46 +0200
Subject: added chapter title, author

---
 buch/papers/verkehr/main.tex | 23 ++---------------------
 1 file changed, 2 insertions(+), 21 deletions(-)

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/main.tex b/buch/papers/verkehr/main.tex
index 01de182..6348993 100644
--- a/buch/papers/verkehr/main.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/main.tex
@@ -4,28 +4,9 @@
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Thema\label{chapter:verkehr}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Verkehrsfluss und Verkehrsnetze}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
-
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+\chapterauthor{Pascal Andreas Schmid und Robine Luchsinger}
 
 \input{papers/verkehr/section1.tex}
 \input{papers/verkehr/section2.tex}
-- 
cgit v1.2.1


From c639d259a74ab2fae3a85bc861e0bc5070800b13 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 21:24:56 +0200
Subject: adjusted figures in section 1

---
 buch/papers/verkehr/section1.tex | 20 ++++++++++++--------
 1 file changed, 12 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers')

diff --git a/buch/papers/verkehr/section1.tex b/buch/papers/verkehr/section1.tex
index 78d9311..9e40553 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section1.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section1.tex
@@ -11,41 +11,45 @@ Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start-
 \subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
 \label{verkehr:Knotenzahl}
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
 
 \caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
 \label{verkehr:Vr1}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
 Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
 Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
 
 \caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
 \label{verkehr:pathDifference}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 
 \subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
 \caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
 \label{verkehr:Vr2}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
 Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
 \includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
 \caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
 \label{verkehr:Comparison}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
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cgit v1.2.1


From b5bdeb425d4e8d509ba4d786fab3b167ff48d767 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pascal Schmid <81317360+paschost@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 21:25:54 +0200
Subject: adjusted figures in section 2

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 buch/papers/verkehr/section2.tex | 20 ++++++++++++--------
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(limited to 'buch/papers')

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index 78d9311..9e40553 100644
--- a/buch/papers/verkehr/section2.tex
+++ b/buch/papers/verkehr/section2.tex
@@ -11,41 +11,45 @@ Die beiden Versuchsreihen unterscheiden sich zudem dahingehend, dass der Start-
 \subsection{Einfluss der Knotenzahl auf die Rechenzeit}
 \label{verkehr:Knotenzahl}
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr1.png}
 
 \caption{Gemessene Rechenzeiten der ersten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
 \label{verkehr:Vr1}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 In \ref{verkehr:Vr1} ist ersichtlich, dass der Unterschied in der Rechenzeit zwischen \emph{Dijkstra} und \emph{A*} erst aber einer Knotenzahl von ca. $n=500$ merklich ansteigt. Dieses etwas überraschende Resultat ist darauf zurückzuführen, dass bei steigender Knotenzahl die Abweichung des effektiven kürzesten Pfades von der Distanz der Luftlinie abnimmt.
 Die Effektivität von \emph{A*} mit euklidischer Heuristik ist wiederum grösser, wenn die Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie minimal ist.
 Bei Betrachtung von \ref{verkehr:pathDifference} wird dies ersichtlich, wobei die relative Abweichung erstaunlicherweise bei einer Knotenzahl von $n=100$ maximal ist und nach $n=500$ nur noch marginal abnimmt.
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_pathDiff.png}
 
 \caption{Relative Abweichung des kürzesten Pfads von der Luftlinie.}
 \label{verkehr:pathDifference}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 
 \subsection{Einfluss der Position der Start- und Zielknoten auf die Rechenzeit}
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=12cm]{figures/chart_Vr2.png}\\
 \caption{Gemessene Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe in Abhängigkeit der Knotenzahl.}
 \label{verkehr:Vr2}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 Zum Vergleich der Resultate in \ref{verkehr:Knotenzahl} zeigt \ref{verkehr:Vr2} die Rechenzeiten der zweiten Versuchsreihe, in welcher die Start- und Zielknoten zufällig im Netzwerk ausgewählt wurden. Einerseits ist eine reduzierte durchschnittliche Rechenzeit festzustellen, was schlicht daran liegt, dass die zufällige Wahl der Knoten dazu führt, dass diese tendenziell weniger weit auseinander liegen.\\
 Des weiteren ist festzustellen, dass sich die Unterschiede der Rechenzeiten zwischen  \emph{Dijkstra} und \emph{A*} deutlich früher abzeichnen. Dieses Phänomen lässt sich leicht durch die zielgerichtete Suche des \emph{A*}-Algorithmus erklären.
 
-\begin{wrapfigure}{}
+\begin{figure}
+\centering
 \includegraphics[width=6cm]{figures/network_dij.png}\qquad
 \includegraphics[width=6cm]{figures/network_aStar.png}
 \caption{Suchpfad in grün mit \emph{Dijkstra} (links), und \emph{A*} (rechts). Besuchte Knoten sind in blau, resp. rot markiert.}
 \label{verkehr:Comparison}
-\end{wrapfigure}
+\end{figure}
 
 In \ref{verkehr:Comparison} ist ersichtlich, dass bei einem im Netzwerk liegenden Startknoten die zielgerichtete Suche von \emph{A*} deutlich ausgeprägter zum Zuge kommt, als wenn dieser am Rand des Netzwerks liegen würde.
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cgit v1.2.1