From 432c3bebedb451bae53eb37e2078eb7de28ece79 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 20 Apr 2021 12:42:49 +0200 Subject: typos --- buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex index 094a07a..0bf3016 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/euklid.tex @@ -681,7 +681,7 @@ Q(q_0)^{-1} Q(q_1)^{-1} \dots Q(q_{n-1})^{-1} -Q(q_n) +Q(q_n)^{-1} \begin{pmatrix}\operatorname{ggT}(a,b)\\0\end{pmatrix}. \] Eine mögliche Lösung für die Matrix $K$ in -- cgit v1.2.1 From 0d8053d944fd7a01ba634fd26fb946ee2f7d4f4e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Reto Date: Sat, 24 Apr 2021 14:11:14 +0200 Subject: added simple code example of mceliece cryptosystem --- .../mceliece/example_code/mceliece_simple.py | 325 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 325 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py new file mode 100644 index 0000000..3f17504 --- /dev/null +++ b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py @@ -0,0 +1,325 @@ +#!/usr/bin/env python3 +# -*- coding: utf-8 -*- +""" +Created on Sun Apr 18 08:58:30 2021 + +@author: terminator +""" +import numpy as np +from numpy.polynomial import Polynomial as Poly + + +def gen_perm_M(n): + ''' + generating random binary permutation matrix: https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix + + Parameters + ---------- + n : int + size of output matrix. + + Returns + ------- + perm_M : np.ndarray + binary permutation matrix. + + ''' + perm_M=np.zeros((n, n), dtype=int) + perm_V=np.random.default_rng().permutation(n) + perm_M[perm_V, np.r_[0:n]]=1 + return perm_M + + + +def create_linear_code_matrix(n, k, g): + ''' + create generator matrix for linear encoding + use this matrix to create code_vector: matrix @ data_vector=code_vector + + Parameters + ---------- + n : int + len of code_vector (matrix @ data_vector). + k : int + len of data_vector. + g : numpy.Polynominal + polynomina wich defines the the constellations of . + + Returns + ------- + np.ndarray + Generator matrix + + ''' + if n != k+len(g)-1: + raise Exception("n, k not compatible with degree of g") + rows=[] + for i in range(k): #create potences of p + row=np.r_[np.zeros(i), g.coef, np.zeros(n-k-i)] + rows.append(row) + return np.array(rows, dtype=int).T + + +def gf2_inv(M, get_full=False): + ''' + create inverse of matrix M in gf2 + + Parameters + ---------- + M : numpy.ndarray + input Matrix. + get_full : Bool, optional + if Ture, return inverse of G with I on the left (if gaussian inversion successful) If True, vaidity is not proven. The default is False. + + Returns + ------- + np.ndarray or None + returns inverse if M was not singular in gf2, else None. + + ''' + size=len(M) + G=np.hstack((M, np.eye(size))) + G=np.array(G, dtype=int) + for n in range(size): #forward reduction + if G[n, n] == 0: #swap line if necessary + for i in range(n+1, size): + if G[i, n]: + G[i, :], G[n, :] = G[n, :].copy(), G[i, :].copy() #swap + + for i in range(n+1, size): #downward reduction + if G[i, n]: + G[i, :] = G[i, :] ^ G[n, :] + #reached buttom_right with pivo + for n in range(size-1, -1, -1): #backwards + for i in range(n): + if G[i, n]: + G[i, :]= G[i, :] ^ G[n, :] + + + + if get_full: + return G + else: + valid=np.sum(np.abs(G[:, :size]-np.eye(size))) == 0 #reduction successfull when eye left on the left of G + if not valid: + return None + else: + return G[:, size:] + +def create_rand_bin_M(n, with_inverse=False): + ''' + create random binary matrix + + Parameters + ---------- + n : int + size. + with_inverse : bool, optional + if False, return only random binary matrix. + if True, return also inverse of random martix. for this purpose, random matrix will not be singular. + The default is False. + + Returns + ------- + M : TYPE + if with_inverse is True: return tuple(random_matrix, inverse_of_random_matrix) + else: return random_matrix + + ''' + inv=None + while type(inv) == type(None): #do it until inversion of m is successful wich means det(M)%2 != 0 + M=np.random.randint(0,2, (n,n)) + inv=gf2_inv(M) + if with_inverse: + return(M, inv) + else: + return M + +def create_syndrome_table(n, g): + ''' + create syndrome table for correcting errors in linear code + + Parameters + ---------- + n : int + len of linear-code code_vector. + g : numpy.Polinominal + generator polynominal used by linear-code-encoder. + + Returns + ------- + list of error_vectors, one per syndrome. + get the corresponding error_vector by using the value represented by your syndrome as index of this list. + + ''' + zeros=np.zeros(n, dtype=int) + syndrome_table=[0 for i in range(n+1)] + syndrome_table[0]=zeros #when syndrome = 0, no bit-error to correct + for i in range(n): + faulty_vector=zeros.copy() + faulty_vector[i]=1 + q, r=divmod(Poly(faulty_vector), g) + r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))] + index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) + syndrome_table[index]=faulty_vector + return np.array(syndrome_table) + + +def decode_linear_code(c, g, syndrome_table): + ''' + function to decode codeword encoded with linear_code + + Parameters + ---------- + c : list or np.ndarray + code_vector. + g : numpy.Polynominal + generator polynominal, used to create code_vector. + syndrome_table : list of error_vectors + if codeword contains an error, syndrome_table is used to correct wrong bit. + + Returns + ------- + numpy.ndarray + data_vector. + + ''' + q, r=divmod(Poly(c), g) + q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)] + r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))] + syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) + while syndrome_index > 0: + c=c ^ syndrome_table[syndrome_index] + q, r=divmod(Poly(c), g) + q=np.r_[q.coef%2, np.zeros(len(c)-len(q)-len(g)+1)] + r=np.r_[r.coef%2, np.zeros(len(g)-len(r))] + syndrome_index=np.sum([int(a*2**i) for i, a in enumerate(r)]) + return np.array(q, dtype=int) + +def encode_linear_code(d, G): + ''' + uses generator matrix G to encode d + + Parameters + ---------- + d : numpy.ndarray + data_vector. + G : numpy.ndarray + generator matrix. + + Returns + ------- + c : numpy.ndarray + G @ d. + + ''' + c=(G @ d)%2 + return c + +def encrypt(d, pub_key, t): + ''' + encrypt data with public key, adding t bit-errors + + Parameters + ---------- + d : numpy.ndarray or list of numpy.ndarray + data_vector or list of data vectors to encrypt. + pub_key : numpy.ndarray + public key matrix used to encrypt data. + t : int + number of random errors to add to code_vector. + + Returns + ------- + numpy.ndarray or list of numpy.ndarray (depending on d) + encrypted data. + + ''' + if type(d) in (list,): + encrypted_list=[encrypt(data, pub_key, t) for data in d] + return encrypted_list + else: + c = np.array((pub_key @ d)%2, dtype=int) + + indexes_of_errors=np.random.default_rng().permutation(pub_key.shape[0])[:t] #add t random errors to codeword + e=np.zeros(pub_key.shape[0], dtype=int) + e[indexes_of_errors]=1 + c=c ^ e + return np.array(c, dtype=int) + +def decrypt(c, P_inv, linear_code_decoder, S_inv): + ''' + decrypt encrypted message + + Parameters + ---------- + c : numpy.ndarray or list of numpy.ndarray + code_vector or list of code_vectors to decrypt. + P_inv : numpy.ndarray + inverted permutation matrix. + linear_code_decoder : function(x) + function to use to decode linear code. + S_inv : numpy.ndarray + inverted random binary matrix. + + Returns + ------- + numpy.ndarray or list of numpy.ndarray (depending on d) + decrypted data. + + ''' + if type(c) in (list,): + decrypted_list=[decrypt(codew, P_inv, linear_code_decoder, S_inv) for codew in c] + return decrypted_list + else: + c=np.array(P_inv @ c, dtype=int)%2 + d=linear_code_decoder(c) + d=(S_inv @ d)%2 + return np.array(d, dtype=int) + +def str_to_blocks4(string): + blocks=[] + for char in string: + bits=[int(value) for value in np.binary_repr(ord(char), 8)[::-1]] #lsb @ index 0 + blocks.append(np.array(bits[:4], dtype=int)) #lower nibble first + blocks.append(np.array(bits[4:], dtype=int)) + return blocks + +def blocks4_to_str(blocks): + string='' + for i in range(0, len(blocks), 2): + char=np.sum([b*2**i for i, b in enumerate(blocks[i])]) + \ + np.sum([b*2**(i+4) for i, b in enumerate(blocks[i+1])]) + string+=chr(char) + return string + +#shared attributes: +n=7 +k=4 +t=1 + +#private key(s): +g=Poly([1,1,0,1]) #generator polynom for 7/4 linear code (from table, 1.0 + 1.0·x¹ + 0.0·x² + 1.0·x³) +P_M=gen_perm_M(n) #create permutation matrix +G_M=create_linear_code_matrix(n, k, g) #linear code generator matrix +S_M, S_inv=create_rand_bin_M(k, True) #random binary matrix and its inverse +P_M_inv=P_M.T #inverse permutation matrix + +syndrome_table=create_syndrome_table(n, g) #part of linear-code decoder +linear_code_decoder=lambda c:decode_linear_code(c, g, syndrome_table) + +#public key: +pub_key=(P_M @ G_M @ S_M)%2 + + +msg_tx='Hello World?' + +blocks_tx=str_to_blocks4(msg_tx) +encrypted=encrypt(blocks_tx, pub_key, t) + +blocks_rx=decrypt(encrypted, P_M_inv, linear_code_decoder, S_inv) +msg_rx=blocks4_to_str(blocks_rx) + +print(f'msg_rx: {msg_rx}') + + \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 1ff0ce6bce1798df6fa7867f37d50e0aeb8afeb0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Reto Date: Sun, 25 Apr 2021 22:15:29 +0200 Subject: restructured mceliece code example --- .../mceliece/example_code/mceliece_simple.py | 56 +++++++++++----------- 1 file changed, 29 insertions(+), 27 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py index 3f17504..bac3b42 100644 --- a/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py +++ b/buch/papers/mceliece/example_code/mceliece_simple.py @@ -293,33 +293,35 @@ def blocks4_to_str(blocks): string+=chr(char) return string -#shared attributes: -n=7 -k=4 -t=1 +if __name__ == '__main__': -#private key(s): -g=Poly([1,1,0,1]) #generator polynom for 7/4 linear code (from table, 1.0 + 1.0·x¹ + 0.0·x² + 1.0·x³) -P_M=gen_perm_M(n) #create permutation matrix -G_M=create_linear_code_matrix(n, k, g) #linear code generator matrix -S_M, S_inv=create_rand_bin_M(k, True) #random binary matrix and its inverse -P_M_inv=P_M.T #inverse permutation matrix - -syndrome_table=create_syndrome_table(n, g) #part of linear-code decoder -linear_code_decoder=lambda c:decode_linear_code(c, g, syndrome_table) - -#public key: -pub_key=(P_M @ G_M @ S_M)%2 - - -msg_tx='Hello World?' - -blocks_tx=str_to_blocks4(msg_tx) -encrypted=encrypt(blocks_tx, pub_key, t) - -blocks_rx=decrypt(encrypted, P_M_inv, linear_code_decoder, S_inv) -msg_rx=blocks4_to_str(blocks_rx) - -print(f'msg_rx: {msg_rx}') + #shared attributes: + n=7 + k=4 + t=1 + + #private key(s): + g=Poly([1,1,0,1]) #generator polynom for 7/4 linear code (from table, 1.0 + 1.0·x¹ + 0.0·x² + 1.0·x³) + P_M=gen_perm_M(n) #create permutation matrix + G_M=create_linear_code_matrix(n, k, g) #linear code generator matrix + S_M, S_inv=create_rand_bin_M(k, True) #random binary matrix and its inverse + P_M_inv=P_M.T #inverse permutation matrix + + syndrome_table=create_syndrome_table(n, g) #part of linear-code decoder + linear_code_decoder=lambda c:decode_linear_code(c, g, syndrome_table) + + #public key: + pub_key=(P_M @ G_M @ S_M)%2 + + + msg_tx='Hello World?' + + blocks_tx=str_to_blocks4(msg_tx) + encrypted=encrypt(blocks_tx, pub_key, t) + + blocks_rx=decrypt(encrypted, P_M_inv, linear_code_decoder, S_inv) + msg_rx=blocks4_to_str(blocks_rx) + + print(f'msg_rx: {msg_rx}') \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 593bc095b1b794cecca3421b4bc9c5d91e12bf1e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lukaszogg <82384106+Lukaszogg@users.noreply.github.com> Date: Thu, 29 Apr 2021 16:15:01 +0200 Subject: Auszug1_Kalman Text nicht abschliessen, Multiplikationszeichen werden angepasst, Graphen werden noch mit Latex gezeichnet --- buch/.DS_Store | Bin 0 -> 6148 bytes buch/papers/.DS_Store | Bin 0 -> 6148 bytes buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg | Bin 0 -> 66346 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux | 17 ++ buch/papers/erdbeben/Auszug1.log | 168 +++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf | Bin 0 -> 276468 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz | Bin 0 -> 47433 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex | 280 ++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg | Bin 0 -> 28088 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg | Bin 0 -> 31448 bytes buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 55 ------- 11 files changed, 465 insertions(+), 55 deletions(-) create mode 100644 buch/.DS_Store create mode 100644 buch/papers/.DS_Store create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.log create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/teil1.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/.DS_Store b/buch/.DS_Store new file mode 100644 index 0000000..ebd6632 Binary files /dev/null and b/buch/.DS_Store differ diff --git a/buch/papers/.DS_Store b/buch/papers/.DS_Store new file mode 100644 index 0000000..004ad78 Binary files /dev/null and b/buch/papers/.DS_Store differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg new file mode 100644 index 0000000..d25381e Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux new file mode 100644 index 0000000..07bfc0e --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux @@ -0,0 +1,17 @@ +\relax +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Kalman Filter}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Geschichte}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Wahrscheinlichkeit}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Zwei Gauss-Verteilungen}}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Produkt der Gauss-Verteilungen}}{2}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Anwendungsgrenzen}{2}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Aufbau}{2}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces System}}{3}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Optionen}{3}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Systemgleichung}{3}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Kalman Filter}{4}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Anfangsbedingungen}{4}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Fiter Algorithmus}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Anfügen der Schwingung}{6}\protected@file@percent } +\newlabel{erdbeben:equation1}{{19}{6}} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6}Erreger-Schwingung}{6}\protected@file@percent } diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log new file mode 100644 index 0000000..46aa28d --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log @@ -0,0 +1,168 @@ +This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020) (preloaded format=pdflatex 2021.2.24) 29 APR 2021 16:12 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + file:line:error style messages enabled. + %&-line parsing enabled. +**Auszug1.tex +(./Auszug1.tex +LaTeX2e <2020-02-02> patch level 5 +L3 programming layer <2020-03-06> +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +Document Class: article 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX document class +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo +File: size11.clo 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count167 +\c@section=\count168 +\c@subsection=\count169 +\c@subsubsection=\count170 +\c@paragraph=\count171 +\c@subparagraph=\count172 +\c@figure=\count173 +\c@table=\count174 +\abovecaptionskip=\skip47 +\belowcaptionskip=\skip48 +\bibindent=\dimen134 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks15 +\inpenc@posthook=\toks16 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 2019/11/30 v1.2a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks17 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2019/11/30 v1.4a Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC) +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105. + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex +)) +\Gin@req@height=\dimen135 +\Gin@req@width=\dimen136 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/generic/german/german.sty +v2.5e 1998-07-08 +Package: german 1998/07/08 v2.5e Support for writing german texts (br) +\grmnU@D=\dimen137 +german -- \language number for Austrian undefined, default 32 used. +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def +File: l3backend-pdfmode.def 2020-03-12 L3 backend support: PDF mode +\l__kernel_color_stack_int=\count175 +\l__pdf_internal_box=\box45 +) +(./Auszug1.aux) +\openout1 = `Auszug1.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count176 +\scratchdimen=\dimen138 +\scratchbox=\box46 +\nofMPsegments=\count177 +\nofMParguments=\count178 +\everyMPshowfont=\toks18 +\MPscratchCnt=\count179 +\MPscratchDim=\dimen139 +\MPnumerator=\count180 +\makeMPintoPDFobject=\count181 +\everyMPtoPDFconversion=\toks19 +) (/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty +Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf +Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 +85. + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg +File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv +e +)) + +File: Gausskurve2.jpg Graphic file (type jpg) + +Package pdftex.def Info: Gausskurve2.jpg used on input line 56. +(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 105.72829pt. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <10.95> on input line 64. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <8> on input line 64. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <6> on input line 64. + +[1 + +{/usr/local/texlive/2020/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map} <./Gauss +kurve2.jpg>] + +File: Gausskurve3.jpg Graphic file (type jpg) + +Package pdftex.def Info: Gausskurve3.jpg used on input line 82. +(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 104.13438pt. + +File: Apperatur.jpg Graphic file (type jpg) + +Package pdftex.def Info: Apperatur.jpg used on input line 98. +(pdftex.def) Requested size: 284.52756pt x 92.32858pt. + + +LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'. + +[2 <./Gausskurve3.jpg>] [3 <./Apperatur.jpg>] [4] [5] [6] [7] (./Auszug1.aux) + +LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right. + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 1379 strings out of 480608 + 19915 string characters out of 5903630 + 261075 words of memory out of 5000000 + 17301 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 536948 words of font info for 39 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 30i,7n,25p,712b,258s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s + +< +/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb> +Output written on Auszug1.pdf (7 pages, 276468 bytes). +PDF statistics: + 79 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 54 compressed objects within 1 object stream + 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) + 16 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf new file mode 100644 index 0000000..1755a09 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz new file mode 100644 index 0000000..b695e08 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex new file mode 100644 index 0000000..aeade0a --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex @@ -0,0 +1,280 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{german} + + +\pagestyle{myheadings} +\pagenumbering{arabic} + +\setlength{\textwidth}{15cm} +\setlength{\textheight}{22cm} +\setlength{\topmargin}{-1cm} +\setlength{\oddsidemargin}{0,5cm} +\setlength{\parindent}{0cm} +\setlength{\headsep}{1,5cm} + + +\begin{titlepage} % Titelseite einrichten +\title{\bf {Beispieldatei}} + +\author{\vspace{2cm} + Autor} + +\date{\vspace{3cm} % Datumsfeld einrichten + letzte Aktualisierung: \today} + +\thispagestyle{empty} % Die Titelseite soll keine Seitenzahl bekommen...[1] +\end{titlepage} + + + +\begin{document} + + + +\section{Kalman Filter} +\subsection{Geschichte} +Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. + +\subsection{Wahrscheinlichkeit} +Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. + +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} + \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} + \end{center} +\end{figure} +Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normal-Verteilungen entsteht eine neue Normal-Verteilung. + +Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: + +\begin{equation} +{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} +\end{equation} +und für die Messung: + +\begin{equation} +{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. +\end{equation} + +Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: +\begin{equation} +{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} *\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,} +\end{equation} + +Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} + \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} + \end{center} +\end{figure} +Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. + +\subsection{Anwendungsgrenzen} +Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig + + +\section{Aufbau} +Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. +Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerat ein, bleibt die gekoppelte Masse in der Regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} + \caption{System} + \end{center} +\end{figure} + + +\subsection{Optionen} +Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! + +\section{Systemgleichung} +Da der Kalman Filter zum schätzen des nächsten Zustand verwendet werden kann, wird eine Gleichung welche das System beschreibt. Im Fall unseres Seismographen kann der die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer Erzwungene Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: +\begin{equation} +m* \ddot x + 2k *\dot x + D*x = f +\end{equation} +mit den Konstanten m = Masse, k = Dämpfungskonstante und D = Federkonstante. +Um diese nun die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: + +\begin{equation} +{x_1}=x, +{x_2}=\dot x, +{x_3}=\ddot x \mid Substitution +\end{equation} + + +\begin{equation} +m* {x_3}+ 2k*{x_2} + D*{x_1} = f \mid DGL \:1. Ordnung +\end{equation} + +\begin{equation} +{x_3}=-\frac{D}{m} *{x_1} -\frac{2*k}{m} *{x_2} + \frac{f} {m} \mid Nach \: {x_3} +\end{equation} + +Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung abgeleitet in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äusseren Beschleunigung). In unserem Fall wird die äussere Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right). +\end{equation} + +Durch die Rücksubstituion ergibt sich: +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). +\end{equation} + + +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Teile mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. + +\section{Kalman Filter} +Um den Kalman Filter zu starten müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, für was sie nützlich sind. +\subsection{Anfangsbedingungen} +\subsubsection*{Anfangszustand x} +Der Filter muss wissen wie das System startet. in unserem Fall is es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. + +\begin{equation} +{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) +\end{equation} + +\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix} +Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovarianzmatrix eingeführt. In unserem Fall ist der Anfangszustand gut Bekannt und die Matrix kann mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix +\begin{equation} +{P_0 }= +\left( +\begin{array}{ccc} +0 & 0 &0 \\ +0 &0 & 0 \\ +0 & 0 &0 \\ +\end{array} +\right). +\end{equation} +Wäre auch der Initialzustand fehlerhaft, könnte über die Diagonale die Kovarianz angegeben werden. +Diese Matrix geht am häufigsten durch den Filter. Sie wird für die Vorhersage und für den Korrekturschritt verwendet und verändert. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Bei grossen Werten wird dem Filter die Möglichkeit gegeben, sich schnell einzupendeln. + +\subsubsection*{Dynamikmatrix A} +Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. +Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, können wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. +Die System Vektor-Gleichung lautet daher: + + +\begin{equation} +A = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ +0 & 0& 0\\ +\end{array}\right) +\end{equation} + +\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix Q} +Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie der Systemzustand vom aktuellen zum nächsten Schritt gehen kann. Dabei wird wieder ein Fehler/Rauschen dazu gerechnet. Bei unserem Modell könnte das Beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. für uns wäre dies: +\begin{equation} +Q = \left( + \begin{array}{ccc} +{\sigma_x }^2& 0& 0 \\ +0 & {\sigma_v }^2& 0\\ +0 & 0& {\sigma_f }^2\\ +\end{array}\right) +\end{equation} + +Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. + +\subsubsection*{Messmatrix H} +Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. in unsrem Fall ist es nur die Position der Masse. +\begin{equation} +H= ( \: \: 1 \: \:0 \: \:0 \: \:) +\end{equation} + +\subsubsection*{Messrauschkovarianz R} +Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Messesensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben, welche etwas messen kürzt sich diese einfach zu +\begin{equation} +R= ({\sigma_x }^2)\: \: ab. +\end{equation} +Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. + +\subsection{Fiter Algorithmus} +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und Versucht nun den Zustand der Feder Vorherzusagen, die Messung zu Präzisieren und laufend zu Aktualisieren. Dank der fortlaufender Messung Bleibt die Schätzung des Filters immer relativ genau. In diesem Abschnitt werden alle Rechenschritte, welche über die ganze Zeitdauer läuft und stetig aktualisiert wird, aufgezeigt und Aktualisiert. + + +\subsubsection*{Vorhersage} +Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt: +\begin{equation} +{x_{t+1}}=A*{x_t}. +\end{equation} + + +Die Kovarianz $P_{pred}$ wird im nächsten Schritt ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im $Vorhersage$ grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein Mehrdimensionales System haben kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung + + +\begin{equation} +{P_{pred}}=A*P*A`+Q. +\end{equation} + +wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner gewählt, ist der Unterschied gross, wird der Filter auch die Kovarianz grösser wählen. Er passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. + +\subsubsection*{Messen} +Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $Z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. +Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ +\begin{equation} +w=Z-(H*x) +\end{equation} +Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. + +\subsubsection*{Korrigieren} +Udpdate +\section{Anfügen der Schwingung} + +Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung. +Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort. +Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist. +Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen. + +\begin{equation} +\int_a^b x^2\, dx += +\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b += +\frac{b^3-a^3}3. +\label{erdbeben:equation1} +\end{equation} + +\section{Erreger-Schwingung} +Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird. +Die Gleichung lautet + +\begin{equation} +x(t)=A*e^{t/2}*sin(t). +\end{equation} + +Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt. +Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert. + +Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten. + + + + + +\end{document} diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg new file mode 100644 index 0000000..5c0f441 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg new file mode 100644 index 0000000..ee6b339 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex deleted file mode 100644 index a89f303..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{erdbeben:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{erdbeben:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{erdbeben:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{erdbeben:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{erdbeben:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - -- cgit v1.2.1 From 819b9256e65a2775f44904fc25711bbc4a47435b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Fri, 30 Apr 2021 18:33:43 +0200 Subject: Dateien entfernt und ignoriert, die nicht im Git sein sollten. --- buch/.DS_Store | Bin 6148 -> 0 bytes buch/.gitignore | 26 ++--- buch/papers/.DS_Store | Bin 6148 -> 0 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux | 17 ---- buch/papers/erdbeben/Auszug1.log | 168 -------------------------------- buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz | Bin 47433 -> 0 bytes 6 files changed, 15 insertions(+), 196 deletions(-) delete mode 100644 buch/.DS_Store delete mode 100644 buch/papers/.DS_Store delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.log delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz (limited to 'buch') diff --git a/buch/.DS_Store b/buch/.DS_Store deleted file mode 100644 index ebd6632..0000000 Binary files a/buch/.DS_Store and /dev/null differ diff --git a/buch/.gitignore b/buch/.gitignore index 4600c1a..5d8a46e 100644 --- a/buch/.gitignore +++ b/buch/.gitignore @@ -1,12 +1,16 @@ -buch*.aux -buch*.bbl -buch*.bib -buch*.blg -buch*.idx -buch*.ilg -buch*.ind -buch*.log -buch*.out +*.aux +*.bbl +*.bib +*.blg +*.idx +*.ilg +*.ind +*.log +*.out +*.rpt buch*.pdf -buch*.run.xml -buch*.toc +*.run.xml +*.toc +.build/ +*.synctex.gz +*.DS_Store diff --git a/buch/papers/.DS_Store b/buch/papers/.DS_Store deleted file mode 100644 index 004ad78..0000000 Binary files a/buch/papers/.DS_Store and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux deleted file mode 100644 index 07bfc0e..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\relax -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Kalman Filter}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Geschichte}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Wahrscheinlichkeit}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Zwei Gauss-Verteilungen}}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Produkt der Gauss-Verteilungen}}{2}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Anwendungsgrenzen}{2}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Aufbau}{2}\protected@file@percent } -\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces System}}{3}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Optionen}{3}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Systemgleichung}{3}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Kalman Filter}{4}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Anfangsbedingungen}{4}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Fiter Algorithmus}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Anfügen der Schwingung}{6}\protected@file@percent } -\newlabel{erdbeben:equation1}{{19}{6}} -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6}Erreger-Schwingung}{6}\protected@file@percent } diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log deleted file mode 100644 index 46aa28d..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log +++ /dev/null @@ -1,168 +0,0 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020) (preloaded format=pdflatex 2021.2.24) 29 APR 2021 16:12 -entering extended mode - restricted \write18 enabled. - file:line:error style messages enabled. - %&-line parsing enabled. -**Auszug1.tex -(./Auszug1.tex -LaTeX2e <2020-02-02> patch level 5 -L3 programming layer <2020-03-06> -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls -Document Class: article 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX document class -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo -File: size11.clo 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX file (size option) -) -\c@part=\count167 -\c@section=\count168 -\c@subsection=\count169 -\c@subsubsection=\count170 -\c@paragraph=\count171 -\c@subparagraph=\count172 -\c@figure=\count173 -\c@table=\count174 -\abovecaptionskip=\skip47 -\belowcaptionskip=\skip48 -\bibindent=\dimen134 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty -Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file -\inpenc@prehook=\toks15 -\inpenc@posthook=\toks16 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty -Package: graphicx 2019/11/30 v1.2a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty -Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) -\KV@toks@=\toks17 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty -Package: graphics 2019/11/30 v1.4a Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty -Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC) -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg -File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration -) -Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105. - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def -File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex -)) -\Gin@req@height=\dimen135 -\Gin@req@width=\dimen136 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/generic/german/german.sty -v2.5e 1998-07-08 -Package: german 1998/07/08 v2.5e Support for writing german texts (br) -\grmnU@D=\dimen137 -german -- \language number for Austrian undefined, default 32 used. -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def -File: l3backend-pdfmode.def 2020-03-12 L3 backend support: PDF mode -\l__kernel_color_stack_int=\count175 -\l__pdf_internal_box=\box45 -) -(./Auszug1.aux) -\openout1 = `Auszug1.aux'. - -LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii -[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] -\scratchcounter=\count176 -\scratchdimen=\dimen138 -\scratchbox=\box46 -\nofMPsegments=\count177 -\nofMParguments=\count178 -\everyMPshowfont=\toks18 -\MPscratchCnt=\count179 -\MPscratchDim=\dimen139 -\MPnumerator=\count180 -\makeMPintoPDFobject=\count181 -\everyMPtoPDFconversion=\toks19 -) (/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty -Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf -Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 -85. - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg -File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv -e -)) - -File: Gausskurve2.jpg Graphic file (type jpg) - -Package pdftex.def Info: Gausskurve2.jpg used on input line 56. -(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 105.72829pt. -LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size -(Font) <10.95> on input line 64. -LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size -(Font) <8> on input line 64. -LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size -(Font) <6> on input line 64. - -[1 - -{/usr/local/texlive/2020/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map} <./Gauss -kurve2.jpg>] - -File: Gausskurve3.jpg Graphic file (type jpg) - -Package pdftex.def Info: Gausskurve3.jpg used on input line 82. -(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 104.13438pt. - -File: Apperatur.jpg Graphic file (type jpg) - -Package pdftex.def Info: Apperatur.jpg used on input line 98. -(pdftex.def) Requested size: 284.52756pt x 92.32858pt. - - -LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'. - -[2 <./Gausskurve3.jpg>] [3 <./Apperatur.jpg>] [4] [5] [6] [7] (./Auszug1.aux) - -LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right. - - ) -Here is how much of TeX's memory you used: - 1379 strings out of 480608 - 19915 string characters out of 5903630 - 261075 words of memory out of 5000000 - 17301 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 536948 words of font info for 39 fonts, out of 8000000 for 9000 - 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 30i,7n,25p,712b,258s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s - -< -/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb> -Output written on Auszug1.pdf (7 pages, 276468 bytes). -PDF statistics: - 79 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 54 compressed objects within 1 object stream - 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) - 16 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) - diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz deleted file mode 100644 index b695e08..0000000 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz and /dev/null differ -- cgit v1.2.1 From cc8f0ed8ae04a2814f2564f723262416bb15b4b2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 11:21:37 +0200 Subject: reelle Normalform --- buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex | 254 ++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 252 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index c21c403..ffce61d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -330,9 +330,259 @@ Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt. \subsection{Reelle Normalform \label{buch:subsection:reelle-normalform}} +Wenn eine reelle Matrix $A$ komplexe Eigenwerte hat, ist die Jordansche +Normalform zwar möglich, aber die zugehörigen Basisvektoren werden ebenfalls +komplexe Komponenten haben. +Für eine rein reelle Rechnung ist dies nachteilig, da der Speicheraufwand +dadurch verdoppelt und der Rechenaufwand für Multiplikationen vervierfacht +wird. -\subsection{Obere Hessenberg-Form -\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}} +Die nicht reellen Eigenwerte von $A$ treten in konjugiert komplexen Paaren +$\lambda_i$ und $\overline{\lambda}_i$ auf. +Wir betrachten im Folgenden nur ein einziges Paar $\lambda=a+ib$ und +$\overline{\lambda}=a-ib$ von konjugiert komplexen Eigenwerten mit +nur je einem einzigen $n\times n$-Jordan-Block $J$ und $\overline{J}$. +Ist $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ die Basis für den Jordan-Block $J$, +dann kann man die Vektoren +$\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$ als Basis für +$\overline{J}$ verwenden. +Die vereinigte Basis +$\mathcal{C} = \mathcal{B}\cup\overline{\mathcal{B}} += \{b_1,\dots,b_n,\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$ +erzeugen einen $2n$-dimensionalen Vektorraum, +der direkte Summe der beiden von $\mathcal{B}$ und $\overline{\mathcal{B}}$ +erzeugen Vektorräume $V=\langle\mathcal{B}\rangle$ und +$\overline{V}=\langle\overline{\mathcal{B}}\rangle$ ist. +Es ist also +\[ +U=\langle \mathcal{C}\rangle += +V\oplus \overline{V}. +\] +Wir bezeichnen die lineare Abbildung mit den Jordan-Blöcken +$J$ und $\overline{J}$ wieder mit $A$. + +Auf dem Vektorraum $U$ hat die lineare Abbildung in der Basis +$\mathcal{C}$ die Matrix +\[ +A= +\begin{pmatrix} +J&0\\ +0&\overline{J} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\lambda& 1 & & & &&&&&\\ + &\lambda& 1 & & &&&&&\\ + & &\lambda&\ddots& &&&&&\\ + & & &\ddots& 1 &&&&&\\ + & & & &\lambda&&&&&\\ +&&&& &\overline{\lambda}&1&& & \\ +&&&& &&\overline{\lambda}&1& & \\ +&&&& &&&\overline{\lambda} &\dots& \\ +&&&& &&& &\dots&1\\ +&&&& &&& &&\overline{\lambda}\\ +\end{pmatrix}. +\] + +Die Jordan-Normalform bedeutet, dass +\[ +\begin{aligned} +Ab_1&=\lambda b_1 & + A\overline{b}_1 &= \overline{\lambda} \overline{b}_1 \\ +Ab_2&=\lambda b_2 + b_1 & + A\overline{b}_2 &= \overline{\lambda} \overline{b}_2 +\overline{b_1}\\ +Ab_3&=\lambda b_3 + b_2 & + A\overline{b}_3 &= \overline{\lambda} \overline{b}_3 +\overline{b_2}\\ + &\;\vdots & + &\;\vdots \\ +Ab_n&=\lambda b_n + b_{n-1} & + A\overline{b}_n &= \overline{\lambda} \overline{b}_n +\overline{b_{n-1}} +\end{aligned} +\] +Für die Linearkombinationen +\begin{equation} +\begin{aligned} +c_i &= \frac{b_i+\overline{b}_i}{\sqrt{2}}, +& +d_i &= \frac{b_i-\overline{b}_i}{i\sqrt{2}} +\end{aligned} +\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung} +\end{equation} +folgt dann für $k>1$ +\begin{align*} +Ac_k +&= +\frac{Ab_k+A\overline{b}_k}{2} +& +Ad_k +&= +\frac{Ab_k-A\overline{b}_k}{2i} +\\ +&= +\frac1{\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1} ++ \overline{\lambda}\overline{b}_k + \overline{b}_{k-1}) +& +&= +\frac1{i\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1} +- \overline{\lambda}\overline{b}_k - \overline{b}_{k-1}) +\\ +&= +\frac1{\sqrt{2}}(\alpha b_k + i\beta b_k + \alpha \overline{b}_k -i\beta \overline{b}_k) ++ +c_{k-1} +& +&= +\frac1{i\sqrt{2}}( +\alpha b_k + i\beta b_k - \alpha \overline{b}_k +i\beta \overline{b}_k) ++ +d_{k-1} +\\ +&= +\alpha +\frac{b_k+\overline{b}_k}{\sqrt{2}} ++ +i \beta \frac{b_k-\overline{b}_k}{\sqrt{2}} ++ +c_{k-1} +& +&= +\alpha +\frac{b_k-\overline{b}_k}{i\sqrt{2}} ++ +i \beta \frac{b_k+\overline{b}_k}{i\sqrt{2}} ++ +d_{k-1} +\\ +&= \alpha c_k -\beta d_k ++ +c_{k-1} +& +&= \alpha d_k + \beta c_k ++ +d_{k-1}. +\end{align*} +Für $k=1$ fallen die Terme $c_{k-1}$ und $d_{k-1}$ weg. +In der Basis $\mathcal{D}=\{c_1,d_1,\dots,c_n,d_n\}$ hat die Matrix +also die {\em reelle Normalform} +\begin{equation} +\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{#1\mathstrut}} +\def\semp#1{\multicolumn{1}{c|}{#1\mathstrut}} +A_{\text{reell}} += +\left( +\begin{array}{cccccccccccc} +\cline{1-4} +\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}& 0&\temp{} & & & & & &&\\ +\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}& 1&\temp{} & & & & & &&\\ +\cline{1-6} + & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}& 0&\temp{} & & & &&\\ + & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}& 1&\temp{} & & & &&\\ +\cline{3-6} + & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{} & & & &&\\ + & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{} & & & &&\\ +\cline{5-8} + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ + & & & & & &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{ }& &&\\ +\cline{7-12} + & & & & & & & &\temp{\alpha}& \beta&\temp{ 1}&\semp{ 0}\\ + & & & & & & & &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{ 0}&\semp{ 1}\\ +\cline{9-12} + & & & & & & & & & &\temp{\alpha}&\semp{ \beta}\\ + & & & & & & & & & &\temp{-\beta}&\semp{\alpha}\\ +\cline{11-12} +\end{array}\right). +\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalform} +\end{equation} + +Wir bestimmen noch die Transformationsmatrix, die $A$ in die reelle +Normalform bringt. +Dazu beachten wir, dass die Vektoren $c_k$ und $d_k$ in der Basis +$\mathcal{B}$ nur in den Komponenten $k$ und $n+k$ von $0$ verschiedene +Koordinaten haben, nämlich +\[ +c_k += +\frac1{\sqrt{2}} +\left( +\begin{array}{c} +\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline \vdots\\ 1\\\vdots +\end{array}\right) +\qquad\text{und}\qquad +d_k += +\frac1{i\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{c} +\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline\vdots\\-1\\\vdots +\end{array}\right) += +\frac1{\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{c} +\vdots\\-i \\ \vdots\\\hline \vdots\\ i\\\vdots +\end{array}\right) +\] +gemäss \eqref{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung}. +Die Umrechnung der Koordinaten von der Basis $\mathcal{B}$ in die Basis +$\mathcal{D}$ +wird daher durch die Matrix +\[ +S += +\frac{1}{\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{cccccccccc} +1&-i& & & & & & & & \\ + & &1&-i& & & & & & \\ + & & & &1&-i& & & & \\ + & & & & & &\dots&\dots& & \\ + & & & & & & & &1&-i\\ +\hline +1& i& & & & & & & & \\ + & &1& i& & & & & & \\ + & & & &1& i& & & & \\ + & & & & & &\dots&\dots& & \\ + & & & & & & & &1& i\\ +\end{array}\right) +\] +vermittelt. +Der Nenner $\sqrt{2}$ wurde so gewählt, dass die +Zeilenvektoren der Matrix $S$ als komplexe Vektoren orthonormiert sind, +die Matrix $S$ ist daher unitär und hat die Inverse +\[ +S^{-1} += +S^* += +\frac{1}{\sqrt{2}} +\left(\begin{array}{ccccc|ccccc} + 1& & & & &1& & & & \\ +-i& & & & &i& & & & \\ + & 1& & & & &1& & & \\ + &-i& & & & &i& & & \\ + & & 1& & & & &1& & \\ + & &-i& & & & &i& & \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & & & 1& & & & &1\\ + & & & &-i& & & & &i\\ +\end{array}\right). +\] +Insbesondere folgt jetzt +\[ +A += +S^{-1}A_{\text{reell}}S += +S^*A_{\text{reell}}S +\qquad\text{und}\qquad +A_{\text{reell}} += +SAS^{-1} += +SAS^*. +\] + +%\subsection{Obere Hessenberg-Form +%\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}} -- cgit v1.2.1 From d9f3811cb2b6c0b73d4b4b712bd713f5eab77007 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 11:23:21 +0200 Subject: fix problem with missing file --- buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex | 12 ++++++------ buch/papers/erdbeben/Makefile.inc | 1 - 2 files changed, 6 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex index 604e010..748b2e9 100644 --- a/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex +++ b/buch/chapters/50-permutationen/transpositionen.tex @@ -111,7 +111,7 @@ Permutationen. \end{definition} Die alternierende Gruppe $A_n$ ist tatsächlich eine Untergruppe. -Zunächst ist $\operatorname{sign}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$. +Zunächst ist $\operatorname{sgn}(e)=(-1)^0=1$, also ist $e\in A_n$. Es wurde schon gezeigt, dass mit jedem Element $\sigma\in A_n$ auch das inverse Element $\sigma^{-1}\in A_n$ ist. Es muss aber noch sichergestellt werden, dass das Produkt von zwei @@ -120,17 +120,17 @@ geraden Transpositionen wieder gerade ist: \begin{aligned} \sigma_1,\sigma_2&\in A_n &\Rightarrow&& -\operatorname{sign}(\sigma_1) +\operatorname{sgn}(\sigma_1) &= -\operatorname{sign}(\sigma_2) +\operatorname{sgn}(\sigma_2) = 1 \\ &&\Rightarrow&& -\operatorname{sign}(\sigma_1\sigma_2) +\operatorname{sgn}(\sigma_1\sigma_2) &= -\operatorname{sign}(\sigma_1) -\operatorname{sign}(\sigma_2) +\operatorname{sgn}(\sigma_1) +\operatorname{sgn}(\sigma_2) = 1\cdot 1=1 &&\Rightarrow& diff --git a/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc b/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc index 52317c8..ed32f08 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc +++ b/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc @@ -8,7 +8,6 @@ dependencies-erdbeben = \ papers/erdbeben/main.tex \ papers/erdbeben/references.bib \ papers/erdbeben/teil0.tex \ - papers/erdbeben/teil1.tex \ papers/erdbeben/teil2.tex \ papers/erdbeben/teil3.tex -- cgit v1.2.1 From bad5ac1ab2ed83ade1830745b9ff6dbdbb350633 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lukaszogg <82384106+Lukaszogg@users.noreply.github.com> Date: Mon, 3 May 2021 15:13:13 +0200 Subject: Update teil1.tex --- buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex | 280 --------------------------------------- buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 280 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 280 insertions(+), 280 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex create mode 100644 buch/papers/erdbeben/teil1.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex deleted file mode 100644 index aeade0a..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex +++ /dev/null @@ -1,280 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\documentclass[11pt,a4paper]{article} - -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{german} - - -\pagestyle{myheadings} -\pagenumbering{arabic} - -\setlength{\textwidth}{15cm} -\setlength{\textheight}{22cm} -\setlength{\topmargin}{-1cm} -\setlength{\oddsidemargin}{0,5cm} -\setlength{\parindent}{0cm} -\setlength{\headsep}{1,5cm} - - -\begin{titlepage} % Titelseite einrichten -\title{\bf {Beispieldatei}} - -\author{\vspace{2cm} - Autor} - -\date{\vspace{3cm} % Datumsfeld einrichten - letzte Aktualisierung: \today} - -\thispagestyle{empty} % Die Titelseite soll keine Seitenzahl bekommen...[1] -\end{titlepage} - - - -\begin{document} - - - -\section{Kalman Filter} -\subsection{Geschichte} -Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. - -\subsection{Wahrscheinlichkeit} -Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. - -\begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} - \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} - \end{center} -\end{figure} -Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normal-Verteilungen entsteht eine neue Normal-Verteilung. - -Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: - -\begin{equation} -{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} -\end{equation} -und für die Messung: - -\begin{equation} -{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. -\end{equation} - -Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: -\begin{equation} -{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} *\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,} -\end{equation} - -Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. - - \begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} - \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} - \end{center} -\end{figure} -Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. - -\subsection{Anwendungsgrenzen} -Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig - - -\section{Aufbau} -Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. -Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerat ein, bleibt die gekoppelte Masse in der Regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. -Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. -\begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} - \caption{System} - \end{center} -\end{figure} - - -\subsection{Optionen} -Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! - -\section{Systemgleichung} -Da der Kalman Filter zum schätzen des nächsten Zustand verwendet werden kann, wird eine Gleichung welche das System beschreibt. Im Fall unseres Seismographen kann der die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer Erzwungene Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: -\begin{equation} -m* \ddot x + 2k *\dot x + D*x = f -\end{equation} -mit den Konstanten m = Masse, k = Dämpfungskonstante und D = Federkonstante. -Um diese nun die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: - -\begin{equation} -{x_1}=x, -{x_2}=\dot x, -{x_3}=\ddot x \mid Substitution -\end{equation} - - -\begin{equation} -m* {x_3}+ 2k*{x_2} + D*{x_1} = f \mid DGL \:1. Ordnung -\end{equation} - -\begin{equation} -{x_3}=-\frac{D}{m} *{x_1} -\frac{2*k}{m} *{x_2} + \frac{f} {m} \mid Nach \: {x_3} -\end{equation} - -Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung abgeleitet in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äusseren Beschleunigung). In unserem Fall wird die äussere Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. -\begin{equation} -\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left( - \begin{array}{ccc} -0 & 1& 0 \\ -- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ -\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right). -\end{equation} - -Durch die Rücksubstituion ergibt sich: -\begin{equation} -\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( - \begin{array}{ccc} -0 & 1& 0 \\ -- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ -\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). -\end{equation} - - -Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Teile mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. - -\section{Kalman Filter} -Um den Kalman Filter zu starten müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, für was sie nützlich sind. -\subsection{Anfangsbedingungen} -\subsubsection*{Anfangszustand x} -Der Filter muss wissen wie das System startet. in unserem Fall is es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. - -\begin{equation} -{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) -\end{equation} - -\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix} -Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovarianzmatrix eingeführt. In unserem Fall ist der Anfangszustand gut Bekannt und die Matrix kann mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix -\begin{equation} -{P_0 }= -\left( -\begin{array}{ccc} -0 & 0 &0 \\ -0 &0 & 0 \\ -0 & 0 &0 \\ -\end{array} -\right). -\end{equation} -Wäre auch der Initialzustand fehlerhaft, könnte über die Diagonale die Kovarianz angegeben werden. -Diese Matrix geht am häufigsten durch den Filter. Sie wird für die Vorhersage und für den Korrekturschritt verwendet und verändert. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Bei grossen Werten wird dem Filter die Möglichkeit gegeben, sich schnell einzupendeln. - -\subsubsection*{Dynamikmatrix A} -Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. -Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, können wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. -Die System Vektor-Gleichung lautet daher: - - -\begin{equation} -A = \left( - \begin{array}{ccc} -0 & 1& 0 \\ -- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ -0 & 0& 0\\ -\end{array}\right) -\end{equation} - -\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix Q} -Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie der Systemzustand vom aktuellen zum nächsten Schritt gehen kann. Dabei wird wieder ein Fehler/Rauschen dazu gerechnet. Bei unserem Modell könnte das Beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. für uns wäre dies: -\begin{equation} -Q = \left( - \begin{array}{ccc} -{\sigma_x }^2& 0& 0 \\ -0 & {\sigma_v }^2& 0\\ -0 & 0& {\sigma_f }^2\\ -\end{array}\right) -\end{equation} - -Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. - -\subsubsection*{Messmatrix H} -Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. in unsrem Fall ist es nur die Position der Masse. -\begin{equation} -H= ( \: \: 1 \: \:0 \: \:0 \: \:) -\end{equation} - -\subsubsection*{Messrauschkovarianz R} -Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Messesensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben, welche etwas messen kürzt sich diese einfach zu -\begin{equation} -R= ({\sigma_x }^2)\: \: ab. -\end{equation} -Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. - -\subsection{Fiter Algorithmus} -Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und Versucht nun den Zustand der Feder Vorherzusagen, die Messung zu Präzisieren und laufend zu Aktualisieren. Dank der fortlaufender Messung Bleibt die Schätzung des Filters immer relativ genau. In diesem Abschnitt werden alle Rechenschritte, welche über die ganze Zeitdauer läuft und stetig aktualisiert wird, aufgezeigt und Aktualisiert. - - -\subsubsection*{Vorhersage} -Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt: -\begin{equation} -{x_{t+1}}=A*{x_t}. -\end{equation} - - -Die Kovarianz $P_{pred}$ wird im nächsten Schritt ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im $Vorhersage$ grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein Mehrdimensionales System haben kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung - - -\begin{equation} -{P_{pred}}=A*P*A`+Q. -\end{equation} - -wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner gewählt, ist der Unterschied gross, wird der Filter auch die Kovarianz grösser wählen. Er passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. - -\subsubsection*{Messen} -Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $Z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. -Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ -\begin{equation} -w=Z-(H*x) -\end{equation} -Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. - -\subsubsection*{Korrigieren} -Udpdate -\section{Anfügen der Schwingung} - -Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung. -Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort. -Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist. -Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen. - -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{erdbeben:equation1} -\end{equation} - -\section{Erreger-Schwingung} -Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird. -Die Gleichung lautet - -\begin{equation} -x(t)=A*e^{t/2}*sin(t). -\end{equation} - -Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt. -Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert. - -Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten. - - - - - -\end{document} diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex new file mode 100644 index 0000000..460d871 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -0,0 +1,280 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{german} + +\usepackage{amsmath} +\pagestyle{myheadings} +\pagenumbering{arabic} + +\setlength{\textwidth}{15cm} +\setlength{\textheight}{22cm} +\setlength{\topmargin}{-1cm} +\setlength{\oddsidemargin}{0,5cm} +\setlength{\parindent}{0cm} +\setlength{\headsep}{1,5cm} + + +\begin{titlepage} % Titelseite einrichten +\title{\bf {Beispieldatei}} + +\author{\vspace{2cm} + Autor} + +\date{\vspace{3cm} % Datumsfeld einrichten + letzte Aktualisierung: \today} + +\thispagestyle{empty} % Die Titelseite soll keine Seitenzahl bekommen...[1] +\end{titlepage} + + + +\begin{document} + + + +\section{Kalman Filter} +\subsection{Geschichte} +Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Somit unterscheidet er sich von anderen Filtern, seine Schätzungen basieren auf statistischen Grundlagen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. + +\subsection{Wahrscheinlichkeit} +Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. + +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} + \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} + \end{center} +\end{figure} +Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normal-Verteilungen entsteht eine neue Normal-Verteilung. + +Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: + +\begin{equation} +{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} +\end{equation} +und für die Messung: + +\begin{equation} +{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. +\end{equation} + +Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: +\begin{equation} +{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,} +\end{equation} + +Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung. + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} + \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} + \end{center} +\end{figure} +Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. + +\subsection{Anwendungsgrenzen} +Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig + + +\section{Aufbau} +Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. +Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerat ein, bleibt die gekoppelte Masse in der Regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} + \caption{System} + \end{center} +\end{figure} + + +\subsection{Optionen} +Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! + +\section{Systemgleichung} +Da der Kalman Filter zum schätzen des nächsten Zustand verwendet werden kann, wird eine Gleichung welche das System beschreibt. Im Fall unseres Seismographen kann der die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer Erzwungene Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: +\begin{equation} +m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f +\end{equation} +mit den Konstanten m = Masse, k = Dämpfungskonstante und D = Federkonstante. +Um diese nun die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: + +\begin{equation} +{x_1}=x, \qquad +{x_2}=\dot x, \qquad +{x_3}=\ddot x\qquad \mid \quad \text {Substitution} +\end{equation} + + +\begin{equation} +m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung} +\end{equation} + +\begin{equation} +{x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \qquad \mid \quad \text {nach} \quad{x_3} +\end{equation} + +Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung abgeleitet in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äusseren Beschleunigung). In unserem Fall wird die äussere Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right). +\end{equation} + +Durch die Rücksubstituion ergibt sich: +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). +\end{equation} + + +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Teile mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. + +\section{Kalman Filter} +Um den Kalman Filter zu starten müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, für was sie nützlich sind. +\subsection{Anfangsbedingungen} +\subsubsection*{Anfangszustand $x$} +Der Filter muss wissen wie das System startet. in unserem Fall is es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. + +\begin{equation} +{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) +\end{equation} + +\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$} +Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovarianzmatrix eingeführt. In unserem Fall ist der Anfangszustand gut Bekannt und die Matrix kann mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix +\begin{equation} +{P_0 }= +\left( +\begin{array}{ccc} +0 & 0 &0 \\ +0 &0 & 0 \\ +0 & 0 &0 \\ +\end{array} +\right). +\end{equation} +Wäre auch der Initialzustand fehlerhaft, könnte über die Diagonale die Kovarianz angegeben werden. +Diese Matrix geht am häufigsten durch den Filter. Sie wird für die Vorhersage und für den Korrekturschritt verwendet und verändert. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Bei grossen Werten wird dem Filter die Möglichkeit gegeben, sich schnell einzupendeln. + +\subsubsection*{Dynamikmatrix $A$} +Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. +Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, können wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. +Die System Vektor-Gleichung lautet daher: + + +\begin{equation} +A = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ +0 & 0& 0\\ +\end{array}\right) +\end{equation} + +\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$} +Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie der Systemzustand vom aktuellen zum nächsten Schritt gehen kann. Dabei wird wieder ein Fehler/Rauschen dazu gerechnet. Bei unserem Modell könnte das Beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. für uns wäre dies: +\begin{equation} +Q = \left( + \begin{array}{ccc} +{\sigma_x }^2& 0& 0 \\ +0 & {\sigma_v }^2& 0\\ +0 & 0& {\sigma_f }^2\\ +\end{array}\right) +\end{equation} + +Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. + +\subsubsection*{Messmatrix $H$} +Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. in unsrem Fall ist es nur die Position der Masse. +\begin{equation} +H= ( \: \: 1 \: \:0 \: \:0 \: \:) +\end{equation} + +\subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$} +Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Messesensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben, welche etwas messen kürzt sich diese einfach zu +\begin{equation} +R= ({\sigma_x}^2)\: \: ab. +\end{equation} +Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. + +\subsection{Fiter Algorithmus} +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und Versucht nun den Zustand der Feder Vorherzusagen, die Messung zu Präzisieren und laufend zu Aktualisieren. Dank der fortlaufender Messung Bleibt die Schätzung des Filters immer relativ genau. In diesem Abschnitt werden alle Rechenschritte, welche über die ganze Zeitdauer läuft und stetig aktualisiert wird, aufgezeigt und Aktualisiert. + + +\subsubsection*{Vorhersage} +Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt: +\begin{equation} +{x_{t+1}}=A\cdot{x_t}. +\end{equation} + + +Die Kovarianz $P_{pred}$ wird im nächsten Schritt ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im $Vorhersage$ grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein Mehrdimensionales System haben kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung + + +\begin{equation} +{P_{pred}}=A\cdot P\cdot A^{\prime}+Q. +\end{equation} + +wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner gewählt, ist der Unterschied gross, wird der Filter auch die Kovarianz grösser wählen. Er passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. + +\subsubsection*{Messen} +Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $Z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. +Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ +\begin{equation} +w=Z-(H\cdot x) +\end{equation} +Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. + +\subsubsection*{Korrigieren} +Udpdate +\section{Anfügen der Schwingung} + +Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung. +Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort. +Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist. +Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen. + +\begin{equation} +\int_a^b x^2\, dx += +\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b += +\frac{b^3-a^3}3. +\label{erdbeben:equation1} +\end{equation} + +\section{Erreger-Schwingung} +Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird. +Die Gleichung lautet + +\begin{equation} +x(t)=Ae^{t/2}sin(t). +\end{equation} + +Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt. +Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert. + +Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten. + + + + + +\end{document} -- cgit v1.2.1 From e95824395ac596ef6f6741df7bb7f439af1e0eb8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 15:33:20 +0200 Subject: =?UTF-8?q?F=C3=BCge=20erdbeben/teil1.tex=20wieder=20zum=20Makefil?= =?UTF-8?q?e=20hinzu?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex | 1 + buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex | 20 ++++++------- .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 33 ++++++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Makefile.inc | 1 + 4 files changed, 45 insertions(+), 10 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 242a5e5..24ea57d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -46,5 +46,6 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. \uebungsaufgabe{4003} \uebungsaufgabe{4004} \uebungsaufgabe{4005} +\uebungsaufgabe{4006} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index ffce61d..9169f65 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -554,16 +554,16 @@ S^* = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{ccccc|ccccc} - 1& & & & &1& & & & \\ --i& & & & &i& & & & \\ - & 1& & & & &1& & & \\ - &-i& & & & &i& & & \\ - & & 1& & & & &1& & \\ - & &-i& & & & &i& & \\ - & & &\dots& & & & &\dots& \\ - & & &\dots& & & & &\dots& \\ - & & & & 1& & & & &1\\ - & & & &-i& & & & &i\\ + 1& & & & & 1& & & & \\ + i& & & & &-i& & & & \\ + & 1& & & & & 1& & & \\ + & i& & & & &-i& & & \\ + & & 1& & & & & 1& & \\ + & & i& & & & &-i& & \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & & & 1& & & & & 1\\ + & & & & i& & & & &-i\\ \end{array}\right). \] Insbesondere folgt jetzt diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex new file mode 100644 index 0000000..63858b7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +Man findet eine Basis, in der die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} + -5& 2& 6& 0\\ +-11& 12& -3& -15\\ + -7& 0& 9& 4\\ + 0& 5& -7& -8 +\end{pmatrix} +\] +die relle Normalform bekommt. + +\begin{loesung} +Das charakteristische Polynom der Matrix ist +\[ +\chi_{A}(\lambda) += +\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169 += +(\lambda^2-4\lambda+13)^2. +\] +Es hat die doppelten Nullstellen +\[ +\lambda += +2\pm \sqrt{4-13} += +2\pm \sqrt{-9} += +2\pm 3i. +\] +Zur Bestimmung +\end{loesung} + diff --git a/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc b/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc index ed32f08..52317c8 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc +++ b/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc @@ -8,6 +8,7 @@ dependencies-erdbeben = \ papers/erdbeben/main.tex \ papers/erdbeben/references.bib \ papers/erdbeben/teil0.tex \ + papers/erdbeben/teil1.tex \ papers/erdbeben/teil2.tex \ papers/erdbeben/teil3.tex -- cgit v1.2.1 From 23181dd294a16f4b30ce0531b23a4d0fc1abeca0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:53:09 +0200 Subject: new problem --- .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima | 121 +++++++++++++++++++++ .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 68 +++++++++++- 2 files changed, 187 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima new file mode 100644 index 0000000..9c97a2b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima @@ -0,0 +1,121 @@ +/* + * 4006.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +A: matrix([ a+b*%i, 1, 0, 0 ], + [ 0, a+b*%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, a-b*%i, 1 ], + [ 0, 0, 0, a-b*%i ]); + +expand(charpoly(A, x)); + +S: (1/sqrt(2)) * matrix([ 1, -%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, -%i ], + [ 1, %i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, %i ]); + +B: expand(invert(S).A.S); + + +C: subst(2, a, B); +C: subst(3, b, C); +A: subst(2, a, A); +A: subst(3, b, A); + +U: matrix([ 1, 0, 1, 0 ], + [ 0, 1, 1, 2 ], + [ 0, 0, 1, 0 ], + [ 0, 0, 0, 1 ]); +V: matrix([ 1, 0, 0, 0 ], + [ 0, 1, 0, 0 ], + [ 0, 1, 1, 0 ], + [ 1, 0, 0, 1 ]); +T: U.V; +invert(T); + +D: T.C.invert(T); + +p: expand(charpoly(D, x)); + +factor(p); + +lambda: 2+3*%i; + +Dlambda: ratsimp(expand(D - lambda * identfor(D))); +rank(Dlambda); +/* D2: expand(Dlambda.Dlambda); */ +/* rank(D2); */ + +load(functs); + +/* +E: Dlambda; +E[1]: (rational(1/E[1,1]))*E[1]$ +E[2]: E[2] - E[2,1] * E[1]$ +E[3]: E[3] - E[3,1] * E[1]$ +E[4]: E[4] - E[4,1] * E[1]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: (rational(1/E[2,2])) * E[2]$ +E[3]: E[3] - E[3,2] * E[2]$ +E[4]: E[4] - E[4,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[3]: (rational(1/E[3,3])) * E[3]$ +E[4]: E[4] - E[4,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: E[2] - E[2,3] * E[3]$ +E[1]: E[1] - E[1,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[1]: E[1] - E[1,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E; +*/ + +b1: matrix([1+%i],[2+2*%i],[%i],[1]); +ratsimp(D.b1 - lambda*b1); + +G: Dlambda; +G: addcol(G, b1); +G[1]: (rational(1/G[1,1]))*G[1]$ +G[2]: G[2] - G[2,1] * G[1]$ +G[3]: G[3] - G[3,1] * G[1]$ +G[4]: G[4] - G[4,1] * G[1]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: (rational(1/G[2,2])) * G[2]$ +G[3]: G[3] - G[3,2] * G[2]$ +G[4]: G[4] - G[4,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[3]: (rational(1/G[3,3])) * G[3]$ +G[4]: G[4] - G[4,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: G[2] - G[2,3] * G[3]$ +G[1]: G[1] - G[1,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[1]: G[1] - G[1,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G; + +b2: matrix([ G[1,5] ], [ G[2,5] ], [ G[3,5] ], [ G[4,5] ]); + +expand(D.b2 - lambda * b2 - b1); + +c1: 2 * realpart(b1); +d1: 2 * imagpart(b1); +c2: 2 * realpart(b2); +d2: 2 * imagpart(b2); + +D.c1 - 2 * c1 + 3 * d1; +D.d1 - 3 * c1 - 2 * d1; +D.c2 - 2 * c2 + 3 * d2 - c1; +D.d2 - 3 * c2 - 2 * d2 - d1; diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index 63858b7..9152ede 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -20,7 +20,7 @@ Das charakteristische Polynom der Matrix ist \] Es hat die doppelten Nullstellen \[ -\lambda +\lambda_\pm = 2\pm \sqrt{4-13} = @@ -28,6 +28,70 @@ Es hat die doppelten Nullstellen = 2\pm 3i. \] -Zur Bestimmung +Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von +$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus, +man findet +\[ +b_1 += +\begin{pmatrix} +1+i\\ +2+2i\\ +i\\ +1 +\end{pmatrix} +\] +Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der +$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. +Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man +\[ +b_2 += +\begin{pmatrix} +2-i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix} +\qquad\text{und damit weiter}\qquad +\overline{b}_1 += +\begin{pmatrix} +1-i\\ +2-2i\\ +-i\\ +1 +\end{pmatrix},\quad +\overline{b}_2 += +\begin{pmatrix} +2+i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix}. +\] +Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren +\begin{align*} +c_1 +&= +b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},& +d_1 +&= +\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},& +c_2 +&= +b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},& +d_2 +&= +\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}. +\end{align*} +verwenden. +In dieser Basis hat $A$ die Matrix +\[ +A' += +\begin{pmatrix} + 2& 3& 1& 0\\ +-3& 2& 0& 1\\ + 0& 0& 2& 3\\ + 0& 0&-3& 2 +\end{pmatrix}, +\] +wie man einfach nachrechnen kann. \end{loesung} -- cgit v1.2.1 From 07c9ffa51ec328b1a344970bb8b875b5bbe58be2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:56:49 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index 9152ede..b162f0f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -78,7 +78,7 @@ c_2 b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},& d_2 &= -\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}. +\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix} \end{align*} verwenden. In dieser Basis hat $A$ die Matrix -- cgit v1.2.1 From 2140a3c82f6c531a6b2a2f837a03788f519eb0f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:58:07 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index b162f0f..a2fcca1 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -39,7 +39,7 @@ b_1 2+2i\\ i\\ 1 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der $b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. -- cgit v1.2.1 From 1209527c93f5696af0c5192c89e1736c84a3f54a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:59:24 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index a2fcca1..d3dd0f6 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -43,7 +43,7 @@ i\\ \] Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der $b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. -Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man +Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man \[ b_2 = -- cgit v1.2.1 From fa40b4ee94125720a16f24f291de941a3f6ca4d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 21:02:02 +0200 Subject: typos --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index d3dd0f6..7ccc065 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -1,11 +1,11 @@ Man findet eine Basis, in der die Matrix \[ -A=\begin{pmatrix} +A=\begin{pmatrix*}[r] -5& 2& 6& 0\\ -11& 12& -3& -15\\ -7& 0& 9& 4\\ 0& 5& -7& -8 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix*} \] die relle Normalform bekommt. @@ -85,12 +85,12 @@ In dieser Basis hat $A$ die Matrix \[ A' = -\begin{pmatrix} +\begin{pmatrix*}[r] 2& 3& 1& 0\\ -3& 2& 0& 1\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0&-3& 2 -\end{pmatrix}, +\end{pmatrix*}, \] wie man einfach nachrechnen kann. \end{loesung} -- cgit v1.2.1 From ba3f083a0f2fc351842f2b5755408cbb8e7d3d81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 5 May 2021 14:54:25 +0200 Subject: Dateipfade korrigiert. --- buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index 460d871..6e6f5ff 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -53,7 +53,7 @@ Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2} \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} \end{center} \end{figure} @@ -79,7 +79,7 @@ Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3} \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} \end{center} \end{figure} @@ -95,7 +95,7 @@ Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bo Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} + \includegraphics[width=10cm]{papers/erdbeben/Apperatur} \caption{System} \end{center} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 7e0ff2bb2c5bff80e4eb92104011b18a7e99b844 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lukaszogg <82384106+Lukaszogg@users.noreply.github.com> Date: Wed, 5 May 2021 15:19:45 +0200 Subject: Neue Version --- buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf | Bin 276468 -> 0 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg | Bin 28088 -> 0 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf | Bin 0 -> 26978 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex | 39 ++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg | Bin 31448 -> 0 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf | Bin 0 -> 27445 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex | 47 +++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 96 +++++++++++++++++++++-------------- 8 files changed, 143 insertions(+), 39 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf deleted file mode 100644 index 1755a09..0000000 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg deleted file mode 100644 index 5c0f441..0000000 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf new file mode 100644 index 0000000..bee3bc0 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex new file mode 100644 index 0000000..44319c3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +\documentclass{standalone} + +\usepackage{pgfplots} + +\pgfplotsset{compat = newest} + +\begin{document} + + +\begin{tikzpicture} + + +\begin{axis}[ + xmin = -1, xmax = 4, + ymin = -0.5, ymax = 2.50, + axis lines = center, + xlabel = $\sigma$, + ylabel = {$\mu$}, +] + +\addplot [ + domain=-2:5, + samples=200, + color=orange, +] +{(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2))}; + +\addplot [ + domain=-2:5, + samples=200, + color=blue, + ] + {1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))}; + +\end{axis} +\end{tikzpicture} + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg deleted file mode 100644 index ee6b339..0000000 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf new file mode 100644 index 0000000..e86a403 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex new file mode 100644 index 0000000..85455ef --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +\documentclass{standalone} + +\usepackage{pgfplots} + +\pgfplotsset{compat = newest} + +\begin{document} + + +\begin{tikzpicture} + + +\begin{axis}[ + xmin = -1, xmax = 4, + ymin = -0.5, ymax = 2.50, + axis lines = center, + xlabel = $\sigma$, + ylabel = {$\mu$}, +] + +\addplot [ + domain=-2:5, + samples=200, + color=orange, +] +{(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2))}; + +\addplot [ + domain=-2:5, + samples=200, + color=blue, + ] + {1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))}; + +\addplot [ + domain=-2:5, + samples=200, + color=red, + ] + {((1/(2*pi*0.5^2)^0.5)*exp(-(x-0.9)^2/(2*0.5^2))*(1/(2*pi*0.2^2)^0.2)*exp(-(x-2)^2/(2*0.2^2)))/0.1}; + + +\end{axis} +\end{tikzpicture} + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index 460d871..71f29e8 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -46,21 +46,25 @@ \section{Kalman Filter} \subsection{Geschichte} -Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Somit unterscheidet er sich von anderen Filtern, seine Schätzungen basieren auf statistischen Grundlagen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. +Das Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. \subsection{Wahrscheinlichkeit} -Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. +Das Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. -\begin{figure}[h] + + +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} - \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf} + \caption{System} \end{center} \end{figure} -Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normal-Verteilungen entsteht eine neue Normal-Verteilung. -Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: + +Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung. + +Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: \begin{equation} {y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \end{equation} @@ -77,12 +81,15 @@ Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung. - \begin{figure}[h] + +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} - \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf} + \caption{System} \end{center} \end{figure} + + Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. \subsection{Anwendungsgrenzen} @@ -91,11 +98,12 @@ Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig \section{Aufbau} Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. -Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerat ein, bleibt die gekoppelte Masse in der Regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. -Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. -\begin{figure}[h] +Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse in der regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. + +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur} \caption{System} \end{center} \end{figure} @@ -105,12 +113,13 @@ Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein M Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! \section{Systemgleichung} -Da der Kalman Filter zum schätzen des nächsten Zustand verwendet werden kann, wird eine Gleichung welche das System beschreibt. Im Fall unseres Seismographen kann der die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer Erzwungene Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: +Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, wird eine Gleichung, welche das System beschreibt. Das Kalman-Filter benötigt eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: \begin{equation} m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f \end{equation} -mit den Konstanten m = Masse, k = Dämpfungskonstante und D = Federkonstante. -Um diese nun die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: +mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante. +Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: + \begin{equation} {x_1}=x, \qquad @@ -126,8 +135,12 @@ m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung} \begin{equation} {x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \qquad \mid \quad \text {nach} \quad{x_3} \end{equation} +auch als Matrix-Vektor-Gleichung schreiben. +Hierbei beschreibt die Matrix $A$ die gesamte Systemdynamik in der Form, wie sie ein Kalman-Filter benötigt. + +Um die lineare Differentialgleichung in das Kalman-Filter zu implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. + -Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung abgeleitet in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äusseren Beschleunigung). In unserem Fall wird die äussere Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. \begin{equation} \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} @@ -146,20 +159,24 @@ Durch die Rücksubstituion ergibt sich: \end{equation} -Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Teile mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile später mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. \section{Kalman Filter} -Um den Kalman Filter zu starten müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, für was sie nützlich sind. +Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, wofür sie nützlich sind. + + \subsection{Anfangsbedingungen} \subsubsection*{Anfangszustand $x$} -Der Filter muss wissen wie das System startet. in unserem Fall is es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. +Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erföhrt die Apparatur keine äussere Kraft. \begin{equation} {x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) \end{equation} \subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$} -Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovarianzmatrix eingeführt. In unserem Fall ist der Anfangszustand gut Bekannt und die Matrix kann mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix +Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter einen Anfangsfehler eingeführt. Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen. +In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix + \begin{equation} {P_0 }= \left( @@ -170,12 +187,12 @@ Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovar \end{array} \right). \end{equation} -Wäre auch der Initialzustand fehlerhaft, könnte über die Diagonale die Kovarianz angegeben werden. -Diese Matrix geht am häufigsten durch den Filter. Sie wird für die Vorhersage und für den Korrekturschritt verwendet und verändert. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Bei grossen Werten wird dem Filter die Möglichkeit gegeben, sich schnell einzupendeln. +Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt. Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert.. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln. + \subsubsection*{Dynamikmatrix $A$} Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. -Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, können wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. +Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. Die System Vektor-Gleichung lautet daher: @@ -189,7 +206,7 @@ A = \left( \end{equation} \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$} -Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie der Systemzustand vom aktuellen zum nächsten Schritt gehen kann. Dabei wird wieder ein Fehler/Rauschen dazu gerechnet. Bei unserem Modell könnte das Beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. für uns wäre dies: +Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Systemzustand verändert. Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. Für uns wäre dies: \begin{equation} Q = \left( \begin{array}{ccc} @@ -199,23 +216,23 @@ Q = \left( \end{array}\right) \end{equation} -Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. +Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die Messung. \subsubsection*{Messmatrix $H$} -Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. in unsrem Fall ist es nur die Position der Masse. -\begin{equation} -H= ( \: \: 1 \: \:0 \: \:0 \: \:) -\end{equation} +Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. In unserem Fall ist es nur die Position der Massen. + +\[ H = (1, 0, 0) \] + \subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$} -Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Messesensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben, welche etwas messen kürzt sich diese einfach zu +Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist dies lediglich: \begin{equation} -R= ({\sigma_x}^2)\: \: ab. +R= ({\sigma_x}^2). \end{equation} Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. \subsection{Fiter Algorithmus} -Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und Versucht nun den Zustand der Feder Vorherzusagen, die Messung zu Präzisieren und laufend zu Aktualisieren. Dank der fortlaufender Messung Bleibt die Schätzung des Filters immer relativ genau. In diesem Abschnitt werden alle Rechenschritte, welche über die ganze Zeitdauer läuft und stetig aktualisiert wird, aufgezeigt und Aktualisiert. +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. \subsubsection*{Vorhersage} @@ -225,21 +242,22 @@ Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand \end{equation} -Die Kovarianz $P_{pred}$ wird im nächsten Schritt ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im $Vorhersage$ grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein Mehrdimensionales System haben kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung - +Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im Vorhersage grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung \begin{equation} -{P_{pred}}=A\cdot P\cdot A^{\prime}+Q. +{P_{pred}}=APA^T+Q. \end{equation} -wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner gewählt, ist der Unterschied gross, wird der Filter auch die Kovarianz grösser wählen. Er passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. +wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. \subsubsection*{Messen} -Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $Z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. +Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ \begin{equation} w=Z-(H\cdot x) \end{equation} +Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. + Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. \subsubsection*{Korrigieren} -- cgit v1.2.1 From 30ce93a22822c6ad6e0087a28bcf5abb6de947e2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lukaszogg <82384106+Lukaszogg@users.noreply.github.com> Date: Wed, 5 May 2021 15:48:48 +0200 Subject: Update teil1.tex --- buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 40 +++------------------------------------- 1 file changed, 3 insertions(+), 37 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index 71f29e8..0d21f84 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -8,39 +8,6 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\documentclass[11pt,a4paper]{article} - -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{german} - -\usepackage{amsmath} -\pagestyle{myheadings} -\pagenumbering{arabic} - -\setlength{\textwidth}{15cm} -\setlength{\textheight}{22cm} -\setlength{\topmargin}{-1cm} -\setlength{\oddsidemargin}{0,5cm} -\setlength{\parindent}{0cm} -\setlength{\headsep}{1,5cm} - - -\begin{titlepage} % Titelseite einrichten -\title{\bf {Beispieldatei}} - -\author{\vspace{2cm} - Autor} - -\date{\vspace{3cm} % Datumsfeld einrichten - letzte Aktualisierung: \today} - -\thispagestyle{empty} % Die Titelseite soll keine Seitenzahl bekommen...[1] -\end{titlepage} - - - -\begin{document} @@ -232,7 +199,7 @@ R= ({\sigma_x}^2). Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. \subsection{Fiter Algorithmus} -Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. \subsubsection*{Vorhersage} @@ -256,7 +223,8 @@ Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix \begin{equation} w=Z-(H\cdot x) \end{equation} -Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. +Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. +Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. @@ -294,5 +262,3 @@ Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können de - -\end{document} -- cgit v1.2.1