From 24a2f790949c8602701e049018295fb03acc99ca Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 4 Dec 2020 22:01:14 +0100 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cbungsaufgabe=201001=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc | 1 + buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex | 7 ++ .../10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex | 117 +++++++++++++++++++++ 3 files changed, 125 insertions(+) create mode 100644 buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc index 0da8431..87e82e4 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc @@ -9,4 +9,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/10-matrizenvektoren/gruppen.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/ringe.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/algebren.tex \ + chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1001.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex index 6a2e13d..b889d9b 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex @@ -11,3 +11,10 @@ \input{chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex} \input{chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex} \input{chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex} + +\section*{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{1001} +\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex new file mode 100644 index 0000000..dab4d3c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben/1001.tex @@ -0,0 +1,117 @@ +Gegeben ist die Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix} +0&0&0&\dots&0&a_{1n}\\ +1&0&0&\dots&0&a_{2n}\\ +0&1&0&\dots&0&a_{3n}\\ +0&0&1&\dots&0&a_{4n}\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&1&a_{nn} +\end{pmatrix} +\] +\begin{teilaufgaben} +\item Berechnen Sie $\det A$ +\item Finden Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ +\item Nehmen Sie an, dass $a_{in}\in\mathbb{Z}$. +Formulieren Sie eine Bedingung an die Koeffizienten $a_{in}$, die garantiert, +dass $A^{-1}$ eine Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten ist. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Determinante ist am einfachsten mit Hilfe des Entwicklungssatzes durch +Entwicklung nach der ersten Zeile zu bestimmen: +\[ +\det A += +\left| +\begin{matrix} +0&0&0&\dots&0&a_{1n}\\ +1&0&0&\dots&0&a_{2n}\\ +0&1&0&\dots&0&a_{3n}\\ +0&0&1&\dots&0&a_{4n}\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&1&a_{nn} +\end{matrix} +\right| += +(-1)^{n+1} +a_{1n} \det E_n += +-1^{n+1} +a_{1n}. +\] +\item +Die inverse Matrix kann am einfachsten mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +gefunden werden. +Dazu schreiben wir die Matrix $A$ in die linke Hälfte eines Tableaus +und die Einheitsmatrix in die rechte Hälfte und führen den Gauss-Algorithmus +durch. +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +0&0&0&\dots&a_{1n}&1&0&0&\dots&0\\ +1&0&0&\dots&a_{2n}&0&1&0&\dots&0\\ +0&1&0&\dots&a_{3n}&0&0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&a_{nn}&0&0&0&\dots&1\\ +\hline +\end{tabular} +\] +Die Arbeit wird wesentlich vereinfacht, wenn wir zunächst die erste Zeile +ganz nach unten schieben: +\[ +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1&0&\dots&0&a_{2n}&0&1&0&\dots&0\\ +0&1&\dots&0&a_{3n}&0&0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&\dots&1&a_{nn}&0&0&0&\dots&1\\ +0&0&\dots&0&a_{1n}&1&0&0&\dots&0\\ +\hline +\end{tabular} +\] +Mit einer einzigen Gauss-Operationen kann man jetzt die inverse Matrix +finden. +Dazu muss man zunächst durch das Pivot-Elemente $a_{1n}$ dividieren, +und dann in der Zeile $k$ das $a_{k+1,n}$-fache der letzten Zeile +subtrahieren. +Dies hat nur eine Auswirkung auf die erste Spalte in der rechten Hälfte: +\[ +\renewcommand\arraystretch{1.2} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1&0&\dots&0&0&-\frac{a_{2n}}{a_{1n}}&1&0&\dots&0\\ +0&1&\dots&0&0&-\frac{a_{3n}}{a_{1n}}&0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&\dots&1&0&-\frac{a_{nn}}{a_{1n}}&0&0&\dots&1\\ +0&0&\dots&0&1&\frac{1}{a_{1n}}&0&0&\dots&0\\ +\hline +\end{tabular} +\] +Die inverse Matrix von $A$ ist also +\begin{align} +A^{-1} += +\renewcommand\arraystretch{1.2} +\begin{pmatrix} +-\frac{a_{2n}}{a_{1n}}&1&0&\dots&0\\ +-\frac{a_{3n}}{a_{1n}}&0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +-\frac{a_{nn}}{a_{1n}}&0&0&\dots&1\\ +\frac{1}{a_{1n}}&0&0&\dots&0\\ +\end{pmatrix} +\label{buch:1001:inverse} +\end{align} +\item +Aus der Darstellung \eqref{buch:1001:inverse} der Inversen $A^{-1}$ +können wir ablesen, dass $A^{-1}$ nur dann eine ganzzahlige Matrix sein +kann, wenn $a_{1n}$ invertierbar ist, also $a_{1n}=\pm1$. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} -- cgit v1.2.1