From a8faa798746828b3c131fd5d8a7a3278d5d342d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 19 Oct 2021 16:24:47 +0200 Subject: review of chapter 8 --- buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex | 6 +++--- buch/chapters/70-graphen/spektral.tex | 2 +- buch/chapters/70-graphen/waerme.tex | 2 +- buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex | 8 ++++---- 4 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex index f39428a..d066a4e 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex @@ -150,7 +150,7 @@ Eine naheliegende Beschreibung eines Graphen mit Hilfe einer Matrix kann man wie folgt erhalten. Zunächst werden die Knoten aus der Menge $V$ durch die Zahlen $1,\dots,n$ mit $n=|V|$ ersetzt. -Diese Zahlen werden dann als Zeilen- uns Spaltenindizes interpretiert. +Diese Zahlen werden dann als Zeilen- und Spaltenindizes interpretiert. Die zum Graphen gehörige sogenannte {\em Adjazenzmatrix} $A(G)$ enthält die Einträge \begin{equation} @@ -180,7 +180,7 @@ von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:adjazenzu} hervor. \label{buch:graphen:fig:adjazenzd}} \end{figure} Die Adjazenzmatrix kann auch für einen gerichteten Graphen definiert -werden wie dies in in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:adjazenzd} +werden wie dies in Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:adjazenzd} illustriert ist. Ihre Einträge sind in diesem Fall definiert mit Hilfe der gerichteten Kanten als @@ -243,7 +243,7 @@ Ob es eine solche Kante gibt, zeigt das Matrixelement $a_{k\!j}$ an. Das Element in Zeile $j$ und Spalte $i$ der Matrix $A^{(n-1)}$ gibt die Anzahl der Wege von $i$ nach $j$ an. Es gibt also $a_{k\!j}\cdot a_{ji}^{(n-1)}$ Wege der Länge $n$, die von $i$ -nach $k$ führen, aber als zweitletzten Knoten über den Knoten $j$ führen. +nach $k$ führen, und als zweitletzten Knoten über den Knoten $j$ führen. Die Gesamtzahl der Wege der Länge $n$ von $i$ nach $k$ ist daher \[ a_{ki}^{(n)} diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex index 9767c71..7b62258 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex @@ -33,7 +33,7 @@ nötig sind, sodass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben. \begin{definition} Eine Menge von Knoten eines Graphen heisst {\em unabhängig}, wenn -keine zwei Knoten im Graphen verbunden sind. +keine zwei Knoten der Menge im Graphen verbunden sind. Die {\em Unabhängigkeitszahl} $\operatorname{ind}G$ eines Graphen $G$ ist die maximale Anzahl Knoten einer unabhängigen Menge. \index{Unabhängigkeitszahl} diff --git a/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex b/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex index ac49880..f627eb4 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/waerme.tex @@ -50,7 +50,7 @@ statt. \label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}} Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, -die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden. +die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden kann. \index{Matrixexponentialfunktion}% Die Lösung ist \[ diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex index e259512..ec76d24 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex @@ -18,8 +18,8 @@ Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$ als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung, die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$ konzentriert hat. -Es werden daher mit der Zeit immer stärkere benachbarte Standardbasisvektoren -in der Lösung auftreten. +Es werden daher mit der Zeit benachbarte Standardbasisvektoren +immer stärker in der Lösung vertreten sein. Auch die Eigenbasis hilft nicht, dieses Lösungsverhalten aufzuzeigen: sie sind im Definitionsgebiet stark delokalisiert und daher die allmählich abnehmende Lokalisierung der Lösung nicht wiedergeben. @@ -28,7 +28,7 @@ abnehmende Lokalisierung der Lösung nicht wiedergeben. Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss der partiellen Differentialgleichung \[ -\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}. +\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}. \] Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung @@ -257,7 +257,7 @@ für $\lambda\to \infty$ der Wert $h(\lambda)$ genügend rasch gegen $0$ geht. Die Matrix $h(L)$ bildet daher den konstanten Vektor nicht auf $0$ ab, sondern lokalisiert ihn im Ortsraum. -Wir erhalten daher in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die +Wir erhalten so in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die einzelnen Knoten lokalisiert sind. \subsubsection{Rekonstruktion} -- cgit v1.2.1