From e95824395ac596ef6f6741df7bb7f439af1e0eb8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 15:33:20 +0200 Subject: =?UTF-8?q?F=C3=BCge=20erdbeben/teil1.tex=20wieder=20zum=20Makefil?= =?UTF-8?q?e=20hinzu?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex | 1 + buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex | 20 ++++++------- .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 33 ++++++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Makefile.inc | 1 + 4 files changed, 45 insertions(+), 10 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 242a5e5..24ea57d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -46,5 +46,6 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. \uebungsaufgabe{4003} \uebungsaufgabe{4004} \uebungsaufgabe{4005} +\uebungsaufgabe{4006} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index ffce61d..9169f65 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -554,16 +554,16 @@ S^* = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{ccccc|ccccc} - 1& & & & &1& & & & \\ --i& & & & &i& & & & \\ - & 1& & & & &1& & & \\ - &-i& & & & &i& & & \\ - & & 1& & & & &1& & \\ - & &-i& & & & &i& & \\ - & & &\dots& & & & &\dots& \\ - & & &\dots& & & & &\dots& \\ - & & & & 1& & & & &1\\ - & & & &-i& & & & &i\\ + 1& & & & & 1& & & & \\ + i& & & & &-i& & & & \\ + & 1& & & & & 1& & & \\ + & i& & & & &-i& & & \\ + & & 1& & & & & 1& & \\ + & & i& & & & &-i& & \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & & & 1& & & & & 1\\ + & & & & i& & & & &-i\\ \end{array}\right). \] Insbesondere folgt jetzt diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex new file mode 100644 index 0000000..63858b7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +Man findet eine Basis, in der die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} + -5& 2& 6& 0\\ +-11& 12& -3& -15\\ + -7& 0& 9& 4\\ + 0& 5& -7& -8 +\end{pmatrix} +\] +die relle Normalform bekommt. + +\begin{loesung} +Das charakteristische Polynom der Matrix ist +\[ +\chi_{A}(\lambda) += +\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169 += +(\lambda^2-4\lambda+13)^2. +\] +Es hat die doppelten Nullstellen +\[ +\lambda += +2\pm \sqrt{4-13} += +2\pm \sqrt{-9} += +2\pm 3i. +\] +Zur Bestimmung +\end{loesung} + diff --git a/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc b/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc index ed32f08..52317c8 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc +++ b/buch/papers/erdbeben/Makefile.inc @@ -8,6 +8,7 @@ dependencies-erdbeben = \ papers/erdbeben/main.tex \ papers/erdbeben/references.bib \ papers/erdbeben/teil0.tex \ + papers/erdbeben/teil1.tex \ papers/erdbeben/teil2.tex \ papers/erdbeben/teil3.tex -- cgit v1.2.1 From 23181dd294a16f4b30ce0531b23a4d0fc1abeca0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:53:09 +0200 Subject: new problem --- .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima | 121 +++++++++++++++++++++ .../40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 68 +++++++++++- 2 files changed, 187 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima new file mode 100644 index 0000000..9c97a2b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima @@ -0,0 +1,121 @@ +/* + * 4006.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +A: matrix([ a+b*%i, 1, 0, 0 ], + [ 0, a+b*%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, a-b*%i, 1 ], + [ 0, 0, 0, a-b*%i ]); + +expand(charpoly(A, x)); + +S: (1/sqrt(2)) * matrix([ 1, -%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, -%i ], + [ 1, %i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, %i ]); + +B: expand(invert(S).A.S); + + +C: subst(2, a, B); +C: subst(3, b, C); +A: subst(2, a, A); +A: subst(3, b, A); + +U: matrix([ 1, 0, 1, 0 ], + [ 0, 1, 1, 2 ], + [ 0, 0, 1, 0 ], + [ 0, 0, 0, 1 ]); +V: matrix([ 1, 0, 0, 0 ], + [ 0, 1, 0, 0 ], + [ 0, 1, 1, 0 ], + [ 1, 0, 0, 1 ]); +T: U.V; +invert(T); + +D: T.C.invert(T); + +p: expand(charpoly(D, x)); + +factor(p); + +lambda: 2+3*%i; + +Dlambda: ratsimp(expand(D - lambda * identfor(D))); +rank(Dlambda); +/* D2: expand(Dlambda.Dlambda); */ +/* rank(D2); */ + +load(functs); + +/* +E: Dlambda; +E[1]: (rational(1/E[1,1]))*E[1]$ +E[2]: E[2] - E[2,1] * E[1]$ +E[3]: E[3] - E[3,1] * E[1]$ +E[4]: E[4] - E[4,1] * E[1]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: (rational(1/E[2,2])) * E[2]$ +E[3]: E[3] - E[3,2] * E[2]$ +E[4]: E[4] - E[4,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[3]: (rational(1/E[3,3])) * E[3]$ +E[4]: E[4] - E[4,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: E[2] - E[2,3] * E[3]$ +E[1]: E[1] - E[1,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[1]: E[1] - E[1,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E; +*/ + +b1: matrix([1+%i],[2+2*%i],[%i],[1]); +ratsimp(D.b1 - lambda*b1); + +G: Dlambda; +G: addcol(G, b1); +G[1]: (rational(1/G[1,1]))*G[1]$ +G[2]: G[2] - G[2,1] * G[1]$ +G[3]: G[3] - G[3,1] * G[1]$ +G[4]: G[4] - G[4,1] * G[1]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: (rational(1/G[2,2])) * G[2]$ +G[3]: G[3] - G[3,2] * G[2]$ +G[4]: G[4] - G[4,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[3]: (rational(1/G[3,3])) * G[3]$ +G[4]: G[4] - G[4,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: G[2] - G[2,3] * G[3]$ +G[1]: G[1] - G[1,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[1]: G[1] - G[1,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G; + +b2: matrix([ G[1,5] ], [ G[2,5] ], [ G[3,5] ], [ G[4,5] ]); + +expand(D.b2 - lambda * b2 - b1); + +c1: 2 * realpart(b1); +d1: 2 * imagpart(b1); +c2: 2 * realpart(b2); +d2: 2 * imagpart(b2); + +D.c1 - 2 * c1 + 3 * d1; +D.d1 - 3 * c1 - 2 * d1; +D.c2 - 2 * c2 + 3 * d2 - c1; +D.d2 - 3 * c2 - 2 * d2 - d1; diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index 63858b7..9152ede 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -20,7 +20,7 @@ Das charakteristische Polynom der Matrix ist \] Es hat die doppelten Nullstellen \[ -\lambda +\lambda_\pm = 2\pm \sqrt{4-13} = @@ -28,6 +28,70 @@ Es hat die doppelten Nullstellen = 2\pm 3i. \] -Zur Bestimmung +Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von +$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus, +man findet +\[ +b_1 += +\begin{pmatrix} +1+i\\ +2+2i\\ +i\\ +1 +\end{pmatrix} +\] +Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der +$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. +Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man +\[ +b_2 += +\begin{pmatrix} +2-i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix} +\qquad\text{und damit weiter}\qquad +\overline{b}_1 += +\begin{pmatrix} +1-i\\ +2-2i\\ +-i\\ +1 +\end{pmatrix},\quad +\overline{b}_2 += +\begin{pmatrix} +2+i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix}. +\] +Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren +\begin{align*} +c_1 +&= +b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},& +d_1 +&= +\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},& +c_2 +&= +b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},& +d_2 +&= +\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}. +\end{align*} +verwenden. +In dieser Basis hat $A$ die Matrix +\[ +A' += +\begin{pmatrix} + 2& 3& 1& 0\\ +-3& 2& 0& 1\\ + 0& 0& 2& 3\\ + 0& 0&-3& 2 +\end{pmatrix}, +\] +wie man einfach nachrechnen kann. \end{loesung} -- cgit v1.2.1 From 07c9ffa51ec328b1a344970bb8b875b5bbe58be2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:56:49 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index 9152ede..b162f0f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -78,7 +78,7 @@ c_2 b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},& d_2 &= -\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}. +\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix} \end{align*} verwenden. In dieser Basis hat $A$ die Matrix -- cgit v1.2.1 From 2140a3c82f6c531a6b2a2f837a03788f519eb0f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:58:07 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index b162f0f..a2fcca1 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -39,7 +39,7 @@ b_1 2+2i\\ i\\ 1 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \] Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der $b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. -- cgit v1.2.1 From 1209527c93f5696af0c5192c89e1736c84a3f54a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 20:59:24 +0200 Subject: typo --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index a2fcca1..d3dd0f6 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -43,7 +43,7 @@ i\\ \] Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der $b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. -Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda b_2=b_1$ findet man +Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man \[ b_2 = -- cgit v1.2.1 From fa40b4ee94125720a16f24f291de941a3f6ca4d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 3 May 2021 21:02:02 +0200 Subject: typos --- buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index d3dd0f6..7ccc065 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -1,11 +1,11 @@ Man findet eine Basis, in der die Matrix \[ -A=\begin{pmatrix} +A=\begin{pmatrix*}[r] -5& 2& 6& 0\\ -11& 12& -3& -15\\ -7& 0& 9& 4\\ 0& 5& -7& -8 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix*} \] die relle Normalform bekommt. @@ -85,12 +85,12 @@ In dieser Basis hat $A$ die Matrix \[ A' = -\begin{pmatrix} +\begin{pmatrix*}[r] 2& 3& 1& 0\\ -3& 2& 0& 1\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0&-3& 2 -\end{pmatrix}, +\end{pmatrix*}, \] wie man einfach nachrechnen kann. \end{loesung} -- cgit v1.2.1 From ba3f083a0f2fc351842f2b5755408cbb8e7d3d81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 5 May 2021 14:54:25 +0200 Subject: Dateipfade korrigiert. --- buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index 460d871..6e6f5ff 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -53,7 +53,7 @@ Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2} \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} \end{center} \end{figure} @@ -79,7 +79,7 @@ Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3} \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} \end{center} \end{figure} @@ -95,7 +95,7 @@ Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bo Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} + \includegraphics[width=10cm]{papers/erdbeben/Apperatur} \caption{System} \end{center} \end{figure} -- cgit v1.2.1