From cecdcdb230662af594ce68715c61f1263bff9ace Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 26 Jul 2021 07:57:58 +0200 Subject: add munkres files --- .../papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png | Bin 0 -> 307876 bytes buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png | Bin 0 -> 245951 bytes buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png | Bin 0 -> 246867 bytes buch/papers/munkres/main.tex | 26 +---- buch/papers/munkres/teil0.tex | 27 +++-- buch/papers/munkres/teil1.tex | 62 +++-------- buch/papers/munkres/teil2.tex | 110 ++++++++++++------ buch/papers/munkres/teil3.tex | 124 ++++++++++++++++----- buch/papers/munkres/teil4.tex | 36 ++++++ buch/papers/munkres/teil5.tex | 14 +++ 10 files changed, 255 insertions(+), 144 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png create mode 100644 buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png create mode 100644 buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png create mode 100644 buch/papers/munkres/teil4.tex create mode 100644 buch/papers/munkres/teil5.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png b/buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png new file mode 100644 index 0000000..6c20bf4 Binary files /dev/null and b/buch/papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung.png differ diff --git a/buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png b/buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png new file mode 100644 index 0000000..2303708 Binary files /dev/null and b/buch/papers/munkres/figures/beispiel_munkres.png differ diff --git a/buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png b/buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png new file mode 100644 index 0000000..87c164c Binary files /dev/null and b/buch/papers/munkres/figures/bipartiter_graph.png differ diff --git a/buch/papers/munkres/main.tex b/buch/papers/munkres/main.tex index 4dd20fa..8915a3d 100644 --- a/buch/papers/munkres/main.tex +++ b/buch/papers/munkres/main.tex @@ -3,34 +3,18 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:munkres}} -\lhead{Thema} +\chapter{Munkres-Algorithmus\label{chapter:munkres}} +\lhead{Munkres-Algorithmus} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Marc Kühne} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} \input{papers/munkres/teil0.tex} \input{papers/munkres/teil1.tex} \input{papers/munkres/teil2.tex} \input{papers/munkres/teil3.tex} +\input{papers/munkres/teil4.tex} +\input{papers/munkres/teil5.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/munkres/teil0.tex b/buch/papers/munkres/teil0.tex index de522c7..1ef0538 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil0.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil0.tex @@ -3,20 +3,19 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{munkres:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{munkres:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Geschichte\label{munkres:section:teil0}} +\rhead{Geschichte} +Die Ungarische Methode wurde 1955 von Harold Kuhn entwickelt und veröffentlicht. +Der Name ``Ungarische Methode'' ergab sich, weil der Algorithmus +weitestgehend auf den früheren Arbeiten zweier ungarischer Mathematiker +basierte: Dénes Kőnig und Jenő Egerváry. +James Munkres überprüfte den Algorithmus im Jahr 1957 und stellte fest, +dass der Algorithmus (stark) polynomiell ist. +Seitdem ist der Algorithmus auch als Kuhn-Munkres oder +Munkres-Zuordnungsalgorithmus bekannt. +Die Zeitkomplexität des ursprünglichen Algorithmus war $O(n^4)$, +später wurde zudem festgestellt, dass er modifiziert werden kann, +um eine $O(n^3)$-Laufzeit zu erreichen. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index f4f5e39..7cbbbfd 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -3,53 +3,19 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 +\section{Was ist die ungarische Methode? \label{munkres:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{munkres:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{munkres:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{munkres:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{munkres:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - +Es ist ein kombinatorischer Optimierungsalgorithmus, der das Zuordnungsproblem +in polynomieller Zeit löst. +\begin{itemize} +\item +Polynom = vielgliedrig +\end{itemize} +Der Begriff polynomielle Laufzeit bedeutet, dass die Laufzeit des Programms +wie $n^2$, $n^3$, $n^4$, etc.~wächst und vernünftig skaliert. +Mit der ungarischen Methode können also lineare Optimierungsprobleme gelöst +werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen entstehen. +Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen so +optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der +Gesamtgewinn maximiert werden kann. diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex index 23536b9..29db8d7 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil2.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex @@ -3,38 +3,86 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 +\section{Das Zuordnungsproblem \label{munkres:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum +\rhead{Das Zuordnungsproblem} +Das (lineare) Zuordnungsproblem ist ein diskretes Optimierungsproblem aus +der Graphentheorie. +Es handelt sich um einen Spezialfall eines maximalen Matchings +minimalen Gewichtes in einem bipartiten, gewichteten Graphen + +Vereinfacht gesagt sind Zuordnungsprobleme spezielle Transportprobleme. +Der Unterschied zu klassischen Transportproblemen liegen darin, +dass hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen +Ort transportiert werden sollen, sondern es geht um die kostenminimale +Zuordnung von z.~B.~Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte +Orte, Stellen oder Aufgaben. +Dabei sind alle Angebots- und Bedarfsmenge gleich 1 +\begin{equation} +a_{i}=b_{j}=1 +\end{equation} + +\subsection{Zuordnungsproblem in Netzwerkdarstellung +\label{munkres:subsection:bonorum}} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung} +\caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.} +\label{munkres:Vr2} +\end{figure} + +\subsection{Matrix Formulierung +\label{munkres:subsection:bonorum}} +In der Matrixformulierung ist eine nicht-negative $n\times n$-Matrix +gegeben, wobei das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte +die Kosten für die Zuweisung des $j$-ten Jobs an den $i$-ten Arbeiter +darstellt. +Wir müssen eine Zuordnung der Jobs zu den Arbeitern finden, so dass +jeder Job einem Arbeiter zugewiesen wird und jeder Arbeiter einen +Job zugewiesen bekommt, so dass die Gesamtkosten der Zuordnung +minimal sind. +Dies kann als Permutation der Zeilen und Spalten einer Kostenmatrix +$C$ ausgedrückt werden, um die Spur einer Matrix zu minimieren: +\begin{equation} +\min(L,R)Tr (LCR) +\end{equation} +wobei $L$ und $R$ Permutationsmatrizen sind. +Wenn das Ziel ist, die Zuordnung zu finden, die die maximalen Kosten +ergibt, kann das Problem durch Negieren der Kostenmatrix $C$ gelöst +werden. + +\subsection{Suche der optimalen Lösung +\label{munkres:subsection:bonorum}} +Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht +in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das +zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird +auch als Transversale der Matrix bezeichnet. +Deshalb kann die Problemstellung auch anders formuliert werden: Man +ordne die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so um, dass die Summe +der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. +Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer +$n\times n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- +bzw.~Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen +gibt, also $n!$. +Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale +Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. +Schon bei einer $10\times 10$-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) +zu berücksichtigender Permutationen. + +\subsection{Formulierung Bipartiter Graph \label{munkres:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +Der Algorithmus ist einfacher zu beschreiben, wenn wir das Problem +anhand eines bipartiten Graphen formulieren. +Wir haben einen vollständigen zweistufigen Graphen $G=(S,T;E)$ mit +$n$ Arbeiter-Eckpunkten ($S$) und $n$ Job-Scheitelpunkte ($T$), und +jede Kante hat einen nichtnegativen Preis $c(i,j)$. +Wir wollen ein perfektes Matching mit minimalen Gesamtkosten finden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph} +\caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.} +\label{munkres:Vr2} +\end{figure} diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index b67ad74..806cd83 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -3,38 +3,102 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 +\section{Der Algorithmus in Form von bipartiten Graphen \label{munkres:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? +\rhead{Der Algorithmus in Form von bipartiten Graphen} +Mit der ungarischen Methode können also lineare Optimierungsprobleme +gelöst werden, die bei gewichteten Zuordnungen in bipartiten Graphen +entstehen. -\subsection{De finibus bonorum et malorum +Mit ihr kann die eindeutige Zuordnung von Objekten aus zwei Gruppen +so optimiert werden, dass die Gesamtkosten minimiert werden bzw.~der +Gesamtgewinn maximiert werden kann. + +Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen +zwischen den Elementen zweier Mengen. +Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen» + +\subsection{Beweis, dass der Algorithmus Fortschritte macht +\label{munkres:subsection:malorum}} +Wir müssen zeigen, dass der Algorithmus, solange das Matching nicht +die maximal mögliche Größe hat, immer in der Lage ist, Fortschritte +zu machen --- das heißt, entweder die Anzahl der übereinstimmenden +Kanten zu erhöhen oder mindestens eine Kante zu straffen. +Es genügt zu zeigen, dass bei jedem Schritt mindestens eine der +folgenden Bedingungen erfüllt ist: + +\begin{itemize} +\item +$M$ die maximal mögliche Größe. +\item +$Gy$ enthält einen Erweiterungspfad. +\item +$G$ enthält einen losen Pfad: einen Pfad von einem Knoten in $Rs$ +zu einem Knoten in $T$ / $Z$ die aus einer beliebigen Anzahl von +festen Kanten, gefolgt von einer einzelnen losen Kante, besteht. +Die freie Kante einer freien Bahn ist also $Z$ (beinhaltet $T$), +so garantiert es, dass Delta gut definiert ist. +\end{itemize} +Wenn $M$ die maximal mögliche Größe hat, sind wir natürlich fertig. +Andernfalls muss es nach Berges Lemma im zugrundeliegenden Graphen +$G$ einen Augmentierungspfad $P$ in Bezug auf $M$ geben. +Dieser Pfad darf jedoch nicht in $G_y$ existieren: Obwohl jede +geradzahlige Kante in $P$ durch die Definition von $M$ fest ist, +können ungeradzahlige Kanten lose sein und in $G_y$ fehlen. +Ein Endpunkt von $P$ liegt in $R_{S}$, der andere in $R_T$; w.l.o.g., +nehmen Sie an, es beginnt in $R_{S}$. +Wenn jede Kante von $P$ dicht ist, dann bleibt sie ein augmentierender +Pfad in $G_y$ und wir sind fertig. +Andernfalls sei $uv$ die erste lose Kante auf $P$. +Wenn $v$ kein Element von $Z$ ist, dann haben wir einen losen Pfad +gefunden und sind fertig. +Andernfalls ist $v$ von irgendeinem anderen Pfad $Q$ aus festen +Kanten von einem Knoten in $R_{S}$ erreichbar. +Sei $P_{v}$ der Teilpfad von $P$, der bei $v$ beginnt und bis zum +Ende reicht, und sei $P'$ der Pfad, der gebildet wird, indem man +entlang $Q$ gebildet wird, bis ein Scheitelpunkt auf $P_{v}$ erreicht +wird, und dann weiter bis zum Ende von $P_{v}$. +Beachten Sie, dass $P'$ ein erweiternder Pfad in $G$ mit mindestens +einer losen Kante weniger als $P$ ist. +$P$ kann durch $P'$ ersetzt und dieser Argumentationsprozess iteriert +werden (formal, unter Verwendung von Induktion auf die Anzahl der +losen Kanten), bis entweder ein erweiternder Pfad in $G_y$ oder ein +losender Pfad in $G$ gefunden wird. + +\subsection{Beweis, dass die Anpassung des Potentials $y$ $M$ unverändert lässt \label{munkres:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +Um zu zeigen, dass jede Kante in $M$ nach der Anpassung von $y$ +erhalten bleibt, genügt es zu zeigen, dass für eine beliebige Kante +in $M$ entweder beide Endpunkte oder keiner von ihnen in $Z$ liegen. +Zu diesem Zweck sei $vu$ eine Kante in $M$ von $T$ nach $S$. +Es ist leicht zu sehen, dass wenn $v$ in $Z$ ist, dann muss auch +$u$ in $Z$ sein, da jede Kante in $M$ dicht ist. +Nehmen wir nun an, dass $u$ kein Element von $Z$ und auch $v$ kein +Element von $Z$ ist. +$u$ selbst kann nicht in $R_{S}$ sein, da es der Endpunkt einer +angepassten Kante ist, also muss es einen gerichteten Pfad von engen +Kanten von einem Knoten in $R_{S}$ zu $u$ geben. +Dieser Pfad muss $v$ vermeiden, da es per Annahme nicht in $Z$ ist, +also ist der Knoten, der $u$ in diesem Pfad unmittelbar vorausgeht, +ein anderer Knoten $v$ (ein Element von $T$) und $v$ ein Element +von $u$ ist eine enge Kante von $T$ nach $S$ und ist somit in $M$. +Aber dann enthält $M$ zwei Kanten, die den Knoten $u$ teilen, was +der Tatsache widerspricht, dass $M$ ein Matching ist. +Jede Kante in $M$ hat also entweder beide Endpunkte oder keinen +Endpunkt in $Z$. +\subsection{Beweis, dass $y$ ein Potential bleibt +\label{munkres:subsection:malorum}} +Um zu zeigen, dass y nach der Anpassung ein Potenzial bleibt, genügt +es zu zeigen, dass keine Kante ihr Gesamtpotenzial über ihre Kosten +hinaus erhöht. +Dies ist für Kanten in $M$ bereits durch den vorangegangenen Absatz +bewiesen. +Man betrachtet also eine beliebige Kante $uv$ von $S$ nach $T$. +Wenn $y(u)$ erhöht wird um $\Delta$, dann wird entweder $v\in +\mathbb{Z}_n$ in diesem Fall wird $y(v)$ verringert um $\Delta$, +wobei das Gesamtpotenzial der Kante unverändert bleibt, oder $v\in +T\setminus Z$, wobei die Definition von $\Delta$ garantiert, dass +$y(u)+y(v)+\Delta \le c(u,v)$ +Also $y$ bleibt ein Potential. diff --git a/buch/papers/munkres/teil4.tex b/buch/papers/munkres/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..3d76743 --- /dev/null +++ b/buch/papers/munkres/teil4.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +% +% teil4.tex -- Beispiel-File für Teil 4 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Matrix-Interpretation +\label{munkres:section:teil4}} +\rhead{Matrix-Interpretation} +Gegeben ist die quadratische Matrix $C=(c_{ij})$ der Grösse $n\times n$. +Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werden eine Zuordnung $j +\rightarrow s_j$, $j = 1, \dots, n$ mit minimaler Gesamtsumme +$\sum_{j=1}^{n}c_{s_j,j}$ gesucht, wobei die $s_j$ eine Permutation +von $\{1,\ldots ,n\}$ sind. +Soll die Summe maximiert werden, dann kann $C$ durch $-C$ ersetzt werden. +Die Grundlage dieses Verfahrens ist, dass sich die optimale Zuordnung +unter bestimmten Änderungen der Matrix nicht ändert, sondern nur +der Optimalwert. +Diese Änderungen sind durch Knotenpotentiale bzw.~duale Variablen +\begin{equation} +u_1 u_2,{\dots}, u_n +\end{equation} + +für die Zeilen und + +\begin{equation}v_1,v_2,\dots,v_n \end{equation} fuer die Spalten angegeben. +Die modifizierte Matrix hat dann die Komponenten $\tilde{c}_{i,j} += c_{ij} - u_j - v_j$. + +In der Summe über jede kantenmaximale Zuordnung kommt jedes +Knotenpotential genau einmal vor, so dass die Änderung der Zielfunktion +eine Konstante ist. +Sind die Einträge von $C$ nichtnegativ, und sind alle Knotenpotentiale +ebenfalls nichtnegativ, so nennt man die modifizierte Matrix \~{C} +auch eine Reduktion. +Ziel ist, in der reduzierten Matrix möglichst viele Komponenten auf +den Wert Null zu bringen und unter diesen die Zuordnung zu konstruieren. diff --git a/buch/papers/munkres/teil5.tex b/buch/papers/munkres/teil5.tex new file mode 100644 index 0000000..f8138f4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/munkres/teil5.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% teil5.tex -- Beispiel-File für Teil 5 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Ungarische Methode anhand eines Beispiels +\label{munkres:section:teil5}} +\rhead{Ungarische Methode anhand eines Beispiels} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=14cm]{papers/munkres/figures/beispiel_munkres} +\caption{Händisches Beispiel des Munkres Algorithmus.} +\label{munkres:Vr2} +\end{figure} -- cgit v1.2.1