From d28e9fd86a460384f5f502e529b1e0844ed6262c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 9 Feb 2021 09:06:49 +0100 Subject: Einleitung Wurzeln --- buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex | 53 +++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 48 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index 4925ad4..2f80fb0 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -9,13 +9,55 @@ Im Körper $\mathbb{Q}$ kann man zum Beispiel die Wurzel aus $2$ nicht ziehen. Das Problem haben wir in Abschnitt~\ref{buch:section:reelle-zahlen} -dadurch gelöst, dass wir $\mathbb{Q}$ zu den reellen Zahlen +dadurch gelöst, dass wir $\mathbb{Q}$ zu den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ erweitert haben. Es ist aber auch möglich, nur die Zahl $\sqrt{2}$ hinzuzufügen, so entsteht der Körper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. -In diesem Abschnitt zeigen wir, wie man einem Körper beliebige -Nullstellen $\alpha$ eines Polynoms $f\in\Bbbk[X]$ hinzufügen und -so den Körper $\Bbbk(\alpha)$ konstruieren kann. +Das Problem dabei ist, was denn eigentlich $\sqrt{2}$ überhaupt ist. +Solange man die reellen Zahlen nicht hat, hat man auch $\sqrt{2}$ nicht. +Das Problem wird akut bei den endlichen Körpern wie zum Beispiel +$\mathbb{F}_3$, +da man diese nicht in $\mathbb{R}$ einbetten kann, also keine +bekannte Menge von Zahlen existiert, in der wir die Wurzel $\sqrt{2}$ +finden könnte. + +Im Altertum fiel dieses Problem zunächst den Pythagoreern auf. +Wenn $\sqrt{2}$ kein Bruch ist, was ist es dann? +Im 15.~Jahrhundert stellte sich dieses Problem bei den Versuchen, die +kubische Gleichung allgemein zu lösen, erneut. +Hier war es die Wurzel $\sqrt{-1}$, die den reellen Zahlen hinzuzufügen +war. +In $\mathbb{R}$ hat $\sqrt{-1}$ sicher keinen Platz, also wo existert +es denn überhaupt? +Auch der von Descartes eingeführte, eher unglückliche Begriff +``imaginäre Zahl'' illustriert dieses Dilemma. + +Inzwischen hat man sich daran gewöhnt, dass man einfach ein neues Symbol +wählt, die algebraischen Regeln postuliert, nach denen damit zu rechnen +ist, und dann hofft oder besser beweist, dass keine Widersprüche auftreten. +Auf diese Weise kann man einem Körper $\Bbbk$ eine beliebige +Nullstelle $\alpha$ eines Polynoms $f\in\Bbbk[X]$ mit Koeffizienten +in $\Bbbk$ hinzufügen und so den Körper $\Bbbk(\alpha)$ konstruieren. +Trotzdem bleibt die Frage offen: was {\em ist} denn eigentlich $\alpha$? + +In diesem Abschnitt werden Wurzeln wie folgt konstruiert. +Zunächst wird in Abschnitt~\ref{buch:subsection:koerpererweiterungen} +gezeigt, dass man immer eine Matrix $M_\alpha$ finden kann, welche +genau die algebraischen Eigenschaften einer Nullstelle $\alpha$ eines +Polynoms hat. +Die Frage ``Was ist $\alpha$?'' erhält also die Antwort ``Eine Matrix''. +Mit diesem Bild lassen sich alle Körperoperationen realisieren, die +Inverse kann zum Beispiel als die inverse Matrix mit dem +Gauss-Algorithmus berechnet werden. +In einem zweiten Schritt zeigen wir dann, dass man die Rechnung noch +etwas vereinfachen kann, wenn man in Polynomringen arbeitet. +Schliesslich zeigen wir dann im +Abschnitt~\ref{buch:subsection:zerfaellungskoerper}, wie man +den Prozess iterieren kann und so für beliebige Polynome immer einen +Körper finden kann, der alle Nullstellen enthält. +Wir beginnen in Abschnitt~\ref{buch:subsection:irreduziblepolynome} +damit, die Polynome, die für die Konstruktion in Frage kommen, etwas +genauer zu charakterisieren. \subsection{Irreduzible Polynome \label{buch:subsection:irreduziblepolynome}} @@ -126,7 +168,8 @@ $X^3-1=(X+6)(X+3)(X+5)$. \end{beispiel} -\subsection{Körpererweiterungen} +\subsection{Körpererweiterungen +\label{buch:subsection:koerpererweiterungen}} Nach den Vorbereitungen von Abschnitt~\ref{buch:subsection:irreduziblepolynome} können wir jetzt definieren, wie die Körpererweiterung -- cgit v1.2.1