From a4817013b542cd6aa1a0cd955806c82ac337dca6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Wed, 28 Jul 2021 22:27:27 +0200 Subject: added corrections from prof mueller --- buch/papers/multiplikation/einlteung.tex | 20 +++--- buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf | Bin 24288 -> 26821 bytes buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex | 36 ++++++----- buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf | Bin 15850 -> 19970 bytes buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex | 14 ++--- buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 80 ++++++++++++------------ buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex | 27 ++++---- buch/papers/multiplikation/references.bib | 20 ++++++ 8 files changed, 113 insertions(+), 84 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index bc4bfcf..ea71d91 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -17,14 +17,8 @@ Koeffizienten c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM} \end{equation} -Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $AB=C$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. -\begin{figure} - \center - \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} - \caption{Matrizen Multiplikation} - \label{multiplikation:fig:mm_viz} -\end{figure} -Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ +Grafisch kann die Matrizenmultiplikation $\mathbf{AB}=\mathbf{C}$ wie in \ref{multiplikation:fig:mm_viz} visualisiert werden. +Im Fall einer Matrizengr\"osse von $2\times 2$ kann die Matrixgleichung \begin{equation} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ @@ -40,7 +34,7 @@ C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} \end{equation} -kann die Gleichung der einzelnen Terme +explizt als Gleichung \begin{equation} \label{multiplikation:eq:MM_exp} \begin{split} C_{11} &= A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ @@ -49,4 +43,10 @@ C_{21} &= A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{22} &= A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} \end{split} \end{equation} -explizit geschrieben werden. +der einzelnen Terme geschrieben werden. +\begin{figure} + \center + \includegraphics[]{papers/multiplikation/images/mm_visualisation} + \caption{Matrizen Multiplikation} + \label{multiplikation:fig:mm_viz} +\end{figure} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf index dfa2ba4..a2599fa 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf and b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index e3293e4..71826f5 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -39,67 +39,73 @@ \begin{document} \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ - axis lines = left, + xmode=log, + ymode=log, + log ticks with fixed point, xlabel = $n$ (Data Input), ylabel = {$t$ (time)}, legend pos=north east, very thick, - ymax = 500, + grid=minor, + ymax = 100000, + ymin = 0.5, + xmin = 1, yticklabels=\empty, xticklabels=\empty, scale only axis=true, width=12cm, height=6cm, ] \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=red, ] {1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(1)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=green, ] {x}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=blue, ] {x^2}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^2)$} +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^2\right)$} \addplot [ - domain= 1:10, + domain= 1:50, samples=100, color=purple, ] {x^3}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(n^3)$} +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(n^3\right)$} \addplot [ - domain= 1:10, + domain= 1:50, samples=100, color=black, ] -{exp(x)}; -\addlegendentry{$\mathcal{O}(e^n)$} +{exp(x) - 1.7}; +\addlegendentry{$\mathcal{O}\left(e^n\right)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=orange, ] -{log2(x)}; +{log2(x)+1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(\log n)$} \addplot [ - domain= 1:20, + domain= 1:50, samples=100, color=gray, ] -{x*log2(x)}; +{x*log2(x)+1}; \addlegendentry{$\mathcal{O}(n \log n)$} \end{axis} \end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf index 9899dcb..a30fdaa 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf and b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex index 797772b..5cf39b4 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/strassen.tex @@ -81,13 +81,13 @@ \node at (-3,-10) {$C_{12}=$} ; \node at (-3,-5) {$C_{11}=$} ; - \node at (5,-2) {I}; - \node at (10,-2) {II}; - \node at (15,-2) {III}; - \node at (20,-2) {IV}; - \node at (25,-2) {V}; - \node at (30,-2) {VI}; - \node at (35,-2) {VII}; + \node at (5,-2) {P}; + \node at (10,-2) {Q}; + \node at (15,-2) {R}; + \node at (20,-2) {S}; + \node at (25,-2) {T}; + \node at (30,-2) {U}; + \node at (35,-2) {V}; } diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 83be814..8bdbf2c 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -4,16 +4,16 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{L\"osungsmethoden} -\rhead{L\"osungsmethoden} +\section{Algorithmen} +\rhead{Algorithmen} In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. \subsection{Standard Algorithmus} -Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. +Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden. Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. -Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. +Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. \begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:smm} @@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$ +Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ \subsubsection{Divide and Conquer Methode} -F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten. -Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. +F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten. +Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird. +Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann. Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden. -Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. -Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ +Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden. +Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt. +Das Matrizen produklt \begin{equation} \mathbf{A}\mathbf{B}= \begin{bmatrix} @@ -64,11 +66,9 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} \end{bmatrix} -\end{equation} -aufgeteilt. -Die Berechnung +\end{equation}, \begin{equation} -\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} +\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}. \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird. @@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden. -Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. +Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen. +Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} - \mathcal{T}(n) = - \begin{cases} - 1 & \text{if } n \leq 2\\ - 8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 - \end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3}) + \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right ) \end{equation} zu einer kubischen Laufzeit. Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. @@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung \subsection{Strassen's Algorithmus} -Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen. -Die Grundlegenden Terme +Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen. +Die grundlegenden Terme \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen} \begin{split} -\text{\textbf{P}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\ -\text{\textbf{Q}} &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ -\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\ -\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\ -\text{\textbf{T}} &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ -\text{\textbf{U}} &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\ -\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}) +\text{\textbf{P}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\ +\text{\textbf{Q}} &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\ +\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\ +\text{\textbf{S}} &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\ +\text{\textbf{T}} &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\ +\text{\textbf{U}} &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\ +\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right ) \end{split} \end{equation} -aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$ +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} \begin{split} \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ @@ -144,7 +140,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}} \end{split} \end{equation} -gebraucht. +der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. \begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:strassen} \setlength{\lineskip}{7pt} @@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht. \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} -Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. +Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . +Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. +Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. +Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} @@ -202,17 +202,14 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen. Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen} \mathcal{T}(n) = -\begin{cases} -1 & \text{if } n \leq 2\\ -7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 & \text{if } n > 2 -\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074}) +7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right ) \end{equation} -und ist somit schneller als die Standard Methode. +und ist somit schneller als die Standardmethode. \subsection{Winograd's Algorithmus} -Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. -Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das +Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}. +Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das \begin{equation} \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i \end{equation} @@ -236,6 +233,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte. Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt. + Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} @@ -243,8 +241,8 @@ Dies f\"uhrt zu \end{equation} Multiplikationen. Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt. -Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist. -Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. +Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. +Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. \begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication} \setlength{\lineskip}{7pt} diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index b20a791..fed6a9f 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -6,24 +6,24 @@ \section{Problemstellung} \rhead{Problemstellung} Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. -Das Ziel dieses Papers ist verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. -Wobei gezielt auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen wird. +Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. +Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen. \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation} Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}. -$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt das die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. +$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt \item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear - \item $f \in \mathcal{O}(n^2) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch + \item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch \item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch \item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum - \item $f \in \mathcal{O}(e^n) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell + \item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell \item usw. \end{itemize} -In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. +In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. \begin{figure} \center @@ -33,9 +33,11 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufze \end{figure} \subsubsection{Beispiel Algorithmen} + +Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklassen geh\"oren. \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} -Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. +Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. \begin{algorithm}\caption{} \label{multiplikation:alg:b1} @@ -47,7 +49,7 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu \end{algorithmic} \end{algorithm} -Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. +Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. \begin{algorithm}\caption{} \label{multiplikation:alg:b2} @@ -63,13 +65,14 @@ Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg: \paragraph{Linearer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(n)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. +Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. \begin{algorithm}\caption{} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} \label{multiplikation:alg:l1} - \Function{L}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} \State $ sum \gets 0$ \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ @@ -83,7 +86,9 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}( \paragraph{Quadratischer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches $\mathcal{O}(n^2)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. + \begin{algorithm}[H]\caption{} \label{multiplikation:alg:q1} diff --git a/buch/papers/multiplikation/references.bib b/buch/papers/multiplikation/references.bib index 9d76e8e..63cb976 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/references.bib +++ b/buch/papers/multiplikation/references.bib @@ -63,3 +63,23 @@ month = {7}, day = {27} } + +@online{multiplikation:master_theorem, + title = {Master theorem (analysis of algorithms)}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)}, + date = {2021-07-28}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {28} +} + + +@online{multiplikation:DAC, + title = {Divide-and-conquer algorithm}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Divide-and-conquer_algorithm}, + date = {2021-07-28}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {28} +} + -- cgit v1.2.1 From 31b66acba16f525d41c42094601ade8afb3fd549 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Sat, 31 Jul 2021 21:36:30 +0200 Subject: updare --- buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf | Bin 26821 -> 27173 bytes buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex | 12 +++++------- buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 8 ++++---- buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex | 6 +++--- 4 files changed, 12 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf index a2599fa..c29a891 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf and b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex index 71826f5..a415ccb 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/images/bigo.tex @@ -41,17 +41,15 @@ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ - xmode=log, - ymode=log, - log ticks with fixed point, + xmode=log, ymode=log, + xmin=1e-0, xmax=5e1, + ymin=10e-1, ymax=1e7, + grid=both, + major grid style={black!50}, xlabel = $n$ (Data Input), ylabel = {$t$ (time)}, legend pos=north east, very thick, - grid=minor, - ymax = 100000, - ymin = 0.5, - xmin = 1, yticklabels=\empty, xticklabels=\empty, scale only axis=true, diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 8bdbf2c..7ee0b6e 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -65,13 +65,13 @@ Das Matrizen produklt \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} -\end{bmatrix} -\end{equation}, +\end{bmatrix}, +\end{equation} \begin{equation} -\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}. +\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} -ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird. +ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet. Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index fed6a9f..2688f27 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -34,7 +34,7 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufze \subsubsection{Beispiel Algorithmen} -Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklassen geh\"oren. +Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden kann. \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. @@ -66,7 +66,7 @@ Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\ \paragraph{Linearer Algorithmus} Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. -Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. +Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. \begin{algorithm}\caption{} \setlength{\lineskip}{7pt} @@ -87,7 +87,7 @@ Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\ma \paragraph{Quadratischer Algorithmus} Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. -Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchgef\"hrt und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. \begin{algorithm}[H]\caption{} -- cgit v1.2.1 From 28efadd162ae3d48c04276da8e971155921d5812 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Sun, 1 Aug 2021 22:50:04 +0200 Subject: update --- buch/papers/multiplikation/code/MM.py | 23 +++++----- buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf | Bin 17660 -> 17653 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt | 10 ++--- buch/papers/multiplikation/code/meas_128.pdf | Bin 17961 -> 18120 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_128.txt | 10 ++--- buch/papers/multiplikation/code/meas_256.pdf | Bin 18067 -> 19428 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt | 10 ++--- buch/papers/multiplikation/code/meas_32.pdf | Bin 17078 -> 17964 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_32.txt | 10 ++--- buch/papers/multiplikation/code/meas_64.pdf | Bin 17678 -> 17747 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_64.txt | 10 ++--- buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 53 +++++++++++++++++++++++- buch/papers/multiplikation/main.tex | 22 ++++++++++ buch/papers/multiplikation/references.bib | 17 ++++++++ 14 files changed, 127 insertions(+), 38 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index 626b82d..352771f 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -174,10 +174,11 @@ def test_perfomance(n): plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) + plt.xscale('log', base=2) plt.legend() plt.xlabel("n") plt.ylabel("time (s)") - plt.grid(True) + plt.grid(True, which="both", ls="-") plt.tight_layout() # plt.yscale('log') plt.legend(fontsize=19) @@ -198,7 +199,7 @@ def plot(num): plt.plot(n, t_mm, label='3 For Loops', lw=5) plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and Conquer', lw=5) plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) - # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) + plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) plt.legend() plt.xlabel("n") @@ -275,22 +276,22 @@ def plot_c_res(ave, num): # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - plot_c_res(1, 4096) + # plot_c_res(1, 4096) # plot(8) - # n = np.logspace(1,10,10,base=2,dtype=(np.int)) + n = np.logspace(1,8,8,base=2,dtype=(np.int)) # n = np.arange(1,50,2) - A = np.random.randint(-10, 10, (5,3)) - B = np.random.randint(-10, 10, (3,5)) + # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) + # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) - C = winograd2(A, B) - C_test = A@B - print(C) - print(C_test) + # C = winograd2(A, B) + # C_test = A@B + # print(C) + # print(C_test) # print(np.equal(C, C_test)) - # t_np = test_perfomance(n) + t_np = test_perfomance(n) # C = strassen(A, B) # C_test = A@B diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf index fd0a108..7b7a133 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf and b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt index c5ce619..ab507a2 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.txt @@ -1,6 +1,6 @@ 2.000000000000000000e+00 4.000000000000000000e+00 8.000000000000000000e+00 1.600000000000000000e+01 3.200000000000000000e+01 6.400000000000000000e+01 1.280000000000000000e+02 2.560000000000000000e+02 5.120000000000000000e+02 1.024000000000000000e+03 -1.502037048339843750e-05 6.628036499023437500e-05 4.780292510986328125e-04 2.713203430175781250e-03 2.115225791931152344e-02 1.758832931518554688e-01 1.338865518569946289e+00 1.009106445312500000e+01 8.192077994346618652e+01 7.835870332717895508e+02 -6.675720214843750000e-06 7.200241088867187500e-05 5.540847778320312500e-04 3.144979476928710938e-03 2.545046806335449219e-02 2.083067893981933594e-01 1.659256219863891602e+00 1.319160294532775879e+01 1.046767003536224365e+02 9.679818902015686035e+02 -1.668930053710937500e-05 1.628398895263671875e-04 7.648468017578125000e-04 4.426956176757812500e-03 2.922415733337402344e-02 1.800994873046875000e-01 1.286747694015502930e+00 9.412034273147583008e+00 6.263725924491882324e+01 4.427414393424987793e+02 -2.408027648925781250e-05 8.463859558105468750e-05 4.761219024658203125e-04 2.339839935302734375e-03 1.682758331298828125e-02 1.299476623535156250e-01 1.048770904541015625e+00 8.114667415618896484e+00 6.373566389083862305e+01 6.489995403289794922e+02 -1.573562622070312500e-05 7.152557373046875000e-06 7.152557373046875000e-06 2.074241638183593750e-05 5.388259887695312500e-05 6.365776062011718750e-05 3.257751464843750000e-03 1.396179199218750000e-03 3.274917602539062500e-03 2.186250686645507812e-02 +1.859664916992187500e-05 8.296966552734375000e-05 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6.400000000000000000e+01 -1.645088195800781250e-05 7.295608520507812500e-05 3.807544708251953125e-04 2.672195434570312500e-03 2.010774612426757812e-02 1.662156581878662109e-01 -7.390975952148437500e-06 7.843971252441406250e-05 4.265308380126953125e-04 3.107070922851562500e-03 2.457642555236816406e-02 2.122807502746582031e-01 -1.931190490722656250e-05 1.568794250488281250e-04 7.593631744384765625e-04 3.937005996704101562e-03 3.596329689025878906e-02 2.131938934326171875e-01 -2.622604370117187500e-05 9.226799011230468750e-05 3.504753112792968750e-04 2.469539642333984375e-03 1.652932167053222656e-02 1.281068325042724609e-01 -1.788139343261718750e-05 7.152557373046875000e-06 6.914138793945312500e-06 1.120567321777343750e-05 2.884864807128906250e-05 6.914138793945312500e-05 +2.145767211914062500e-05 6.175041198730468750e-05 4.422664642333984375e-04 3.235816955566406250e-03 2.289748191833496094e-02 1.855163574218750000e-01 +1.025199890136718750e-05 6.341934204101562500e-05 5.202293395996093750e-04 3.566026687622070312e-03 3.026723861694335938e-02 2.312932014465332031e-01 +2.384185791015625000e-05 1.807212829589843750e-04 6.821155548095703125e-04 4.796504974365234375e-03 2.968001365661621094e-02 2.291278839111328125e-01 +3.504753112792968750e-05 1.106262207031250000e-04 4.322528839111328125e-04 2.696514129638671875e-03 2.188420295715332031e-02 1.477701663970947266e-01 +3.218650817871093750e-05 1.144409179687500000e-05 7.390975952148437500e-06 4.625320434570312500e-05 3.814697265625000000e-05 5.435943603515625000e-05 diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 7ee0b6e..0f6aa6b 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -295,9 +295,58 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen \end{algorithmic} \end{algorithm} -\subsection{Weitere Algorithmen} +\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} + +die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. +Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. + +\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. + +\begin{itemize} + \item Level 1 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik + \end{itemize} + \item Level 2 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta \mathbf{y}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik + \end{itemize} + \item Level 3 + \begin{itemize} + \item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$ + \item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik + \end{itemize} +\end{itemize} + +Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren. + + +\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)} + +Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als: + +\textit{DGEMM performs one of the matrix-matrix operations} +$$ + C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C, + $$ + \textit{where op( X ) is one of} +$$ +op( X ) = X \quad \text{ or } \quad op( X ) = X^T, +$$ + \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A ) + an m by k matrix, op( B ) a k by n matrix and C an m by n matrix. + } + +Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als +\begin{lstlisting}[style=multiplikationC] +cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, + m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m); +\end{lstlisting} +definiert. + -\textcolor{red}{TODO: BLAS} \section{Implementation} \rhead{Implementation} diff --git a/buch/papers/multiplikation/main.tex b/buch/papers/multiplikation/main.tex index 8d0a8df..fb1908e 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/main.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/main.tex @@ -4,6 +4,28 @@ % % (c) 2021 Hochschule Rapperswil % +\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue +\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241} +\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92} +\lstdefinestyle{multiplikationC}{ + numbers=left, + belowcaptionskip=1\baselineskip, + breaklines=true, + frame=l, + framerule=0pt, + framesep=-1pt, + xleftmargin=1em, + language=C, + showstringspaces=false, + basicstyle=\ttfamily, + keywordstyle=\bfseries\color{green!40!black}, + commentstyle=\itshape\color{purple!40!black}, + identifierstyle=\color{blue}, + stringstyle=\color{red}, + numberstyle=\ttfamily\tiny, + backgroundcolor=\color{backcolour} +} + \chapter{Schnelle Matrizen Multiplikation\label{chapter:multiplikation}} \lhead{FMM} \begin{refsection} diff --git a/buch/papers/multiplikation/references.bib b/buch/papers/multiplikation/references.bib index 63cb976..8815386 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/references.bib +++ b/buch/papers/multiplikation/references.bib @@ -83,3 +83,20 @@ day = {28} } +@online{multiplikation:BLAS, + title = {BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms)}, + url = {http://www.netlib.org/blas/}, + date = {2021-08-01}, + year = {2021}, + month = {8}, + day = {01} +} + +@online{multiplikation:DGEMM, + title = {DGEMM}, + url = {http://www.netlib.org/lapack/explore-html/d1/d54/group__double__blas__level3_gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1.html#gaeda3cbd99c8fb834a60a6412878226e1}, + date = {2021-08-01}, + year = {2021}, + month = {8}, + day = {01} +} -- cgit v1.2.1 From 11264adfdeba52738aa6ee7a96958936a20d4984 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Mon, 2 Aug 2021 08:14:39 +0200 Subject: update --- buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 24 +++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 21 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 7ee0b6e..8e3369d 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -131,7 +131,7 @@ Die grundlegenden Terme \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right ) \end{split} \end{equation} -aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} \begin{split} \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ @@ -187,10 +187,10 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. \end{algorithmic} \end{algorithm} Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. -Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . +Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. -Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. +Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} @@ -303,5 +303,23 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen \rhead{Implementation} \textcolor{red}{TODO: messresultate} +Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. +\begin{itemize} + \item Standard Matrizenmultiplikation + \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation + \item Strassen's Matrizenmultiplikation + \item Winograd's Matrizenmultiplikation + \item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} + \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} +\end{itemize} + \section{Fazit} \rhead{Fazit} + +Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. + +Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. +Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. +Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. +Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. -- cgit v1.2.1 From f96b0b2b66fe215a9e471eec44c58f4de11c7c0b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Mon, 2 Aug 2021 22:49:09 +0200 Subject: update --- buch/papers/multiplikation/code/MM | Bin 26848 -> 26848 bytes buch/papers/multiplikation/code/MM.c | 2 +- buch/papers/multiplikation/code/MM.py | 23 ++--- buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h | 114 +++++++++++----------- buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf | Bin 15865 -> 17400 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt | 20 ++-- buch/papers/multiplikation/code/meas/MM_dc.txt | 24 ++--- buch/papers/multiplikation/code/meas/blas.txt | 16 +-- buch/papers/multiplikation/code/meas/strassen.txt | 18 ++-- buch/papers/multiplikation/code/meas/winograd.txt | 15 +-- buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf | Bin 17653 -> 18813 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_256.pdf | Bin 19428 -> 17715 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_256.txt | 10 +- buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf | Bin 0 -> 15865 bytes buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf | Bin 0 -> 18813 bytes buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 16 +++ 16 files changed, 138 insertions(+), 120 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf create mode 100644 buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM b/buch/papers/multiplikation/code/MM index f07985f..d52dda4 100755 Binary files a/buch/papers/multiplikation/code/MM and b/buch/papers/multiplikation/code/MM differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c index 04c4dab..a897d4f 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.c +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.c @@ -31,7 +31,7 @@ int main() { run_algo(strassen, "strassen",0); run_algo(MM, "MM", 0); - // run_algo(winograd, "winograd", 0); + run_algo(winograd, "winograd", 0); run_algo_cblas(0); return 0; diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index 352771f..ee6f598 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -174,7 +174,7 @@ def test_perfomance(n): plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) - plt.xscale('log', base=2) + # plt.xscale('log', base=2) plt.legend() plt.xlabel("n") plt.ylabel("time (s)") @@ -203,6 +203,7 @@ def plot(num): plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) plt.legend() plt.xlabel("n") + # plt.yscale('log', base=10) plt.ylabel("time (s)") plt.grid(True) plt.tight_layout() @@ -213,7 +214,7 @@ def plot(num): def plot_c_res(ave, num): MM = np.loadtxt("meas/MM.txt", delimiter=',') - # winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',') + winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',') blas = np.loadtxt("meas/blas.txt", delimiter=',') MM_dc = np.loadtxt("meas/MM_dc.txt", delimiter=',') strassen = np.loadtxt("meas/strassen.txt", delimiter=',') @@ -233,10 +234,10 @@ def plot_c_res(ave, num): strassen_t = np.mean(strassen_t.reshape(-1,ave),axis=1) strassen_n = np.mean(strassen_n.reshape(-1,ave),axis=1) - # winograd_t = winograd[:,0] - # winograd_n = winograd[:,1] - # winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1) - # winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1) + winograd_t = winograd[:,0] + winograd_n = winograd[:,1] + winograd_t = np.mean(winograd_t.reshape(-1,ave),axis=1) + winograd_n = np.mean(winograd_n.reshape(-1,ave),axis=1) blas_t = blas[:,0] blas_n = blas[:,1] @@ -256,7 +257,7 @@ def plot_c_res(ave, num): plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) plt.plot(MM_n, MM_t, label='3 For Loops', lw=5) - # plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) + plt.plot(winograd_n, winograd_t, label='Winograd MM', lw=5) plt.plot(blas_n, blas_t, label='Blas', lw=5) plt.plot(strassen_n, strassen_t, label='Strassen', lw=5) plt.plot(MM_dc_n, MM_dc_t, label='Divide and Conquer', lw=5) @@ -276,11 +277,11 @@ def plot_c_res(ave, num): # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - # plot_c_res(1, 4096) + plot_c_res(1, 4096) - # plot(8) - n = np.logspace(1,8,8,base=2,dtype=(np.int)) + # plot(1024) + # n = np.logspace(1,10,10,base=2,dtype=(np.int)) # n = np.arange(1,50,2) # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) @@ -291,7 +292,7 @@ if __name__ == '__main__': # print(C_test) # print(np.equal(C, C_test)) - t_np = test_perfomance(n) + # t_np = test_perfomance(n) # C = strassen(A, B) # C_test = A@B diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h index 13df55d..14389fc 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h +++ b/buch/papers/multiplikation/code/c_matrix.h @@ -1,97 +1,97 @@ -/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 30/05/2021, 22:00:57 */ +/* Seminar Matrizen, autogenerated File, Michael Schmid, 02/08/2021, 22:48:43 */ #include const int A0[][2] 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{80,42,3,-16,6,55,87,16}, - {-99,-14,21,-1,-94,-56,91,10}, - {-47,-55,-59,62,12,-53,87,-65}, - {-60,94,-67,23,-62,33,-63,-72}, - {12,-75,16,21,22,-37,1,16}, - {-100,-99,82,-66,2,64,-13,44}, - {59,-100,-90,8,36,-24,18,88}, - {73,-58,75,-100,-19,-29,85,-19} + {-54,-87,87,69,52,-21,-86,55}, + {19,-75,-61,-50,-55,-23,66,-92}, + {-73,-67,-36,19,84,-11,24,46}, + {-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51}, + {62,46,1,-64,42,-9,85,-12}, + {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74}, + {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96}, + {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13} }; const int B2[][8] = { - {-61,88,69,49,-53,47,73,45}, - {16,14,-88,-11,-67,-73,-20,43}, - {-60,-63,26,32,-29,18,-44,-69}, - {1,21,21,38,7,-100,-61,-76}, - {-90,95,-99,88,49,-80,27,-36}, - {24,-12,-47,-7,29,15,52,37}, - {-98,-76,29,76,-41,-75,97,79}, - {62,-90,-35,-14,-30,-42,-95,52} + {-71,-82,-80,-78,83,-97,48,-24}, + {15,75,15,-60,-63,-53,1,-50}, + {-84,63,67,-2,78,93,-13,95}, + {61,-26,-88,56,56,27,26,1}, + {2,54,21,36,9,-41,53,53}, + {85,-11,42,-51,-6,3,27,97}, + 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{-98,62,-76,57,-100,6,-23,-51}, + {62,46,1,-64,42,-9,85,-12}, + {35,-59,-17,-47,78,86,-50,74}, + {-15,45,33,-59,-9,-81,49,96}, + {-57,22,-43,7,-30,-45,-5,13} }; const int *Ap[3] = {(int*) A0,(int*) A1,(int*) A2}; const int *Bp[3] = {(int*) B0,(int*) B1,(int*) B2}; diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf index 547d794..304015a 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf and b/buch/papers/multiplikation/code/c_meas_4096.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt index 1a0cd5d..13b6312 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt +++ b/buch/papers/multiplikation/code/meas/MM.txt @@ -1,12 +1,12 @@ 0.000000,2 0.000000,4 -0.000002,8 -0.000011,16 -0.000080,32 -0.000653,64 -0.005397,128 -0.045147,256 -0.487710,512 -3.964180,1024 -128.863544,2048 -996.370209,4096 +0.000001,8 +0.000010,16 +0.000081,32 +0.000654,64 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2.403974533081054688e-03 1.725149154663085938e-02 1.314754486083984375e-01 1.121860027313232422e+00 8.884316682815551758e+00 -3.147125244140625000e-05 6.675720214843750000e-06 4.768371582031250000e-06 7.867813110351562500e-06 2.574920654296875000e-05 5.888938903808593750e-05 2.071857452392578125e-04 6.518363952636718750e-04 +1.144409179687500000e-05 5.507469177246093750e-05 3.774166107177734375e-04 3.177404403686523438e-03 2.508044242858886719e-02 2.120554447174072266e-01 1.431464910507202148e+00 1.076412820816040039e+01 +5.722045898437500000e-06 5.745887756347656250e-05 4.494190216064453125e-04 3.611087799072265625e-03 3.317713737487792969e-02 2.292332649230957031e-01 2.090558290481567383e+00 1.306217479705810547e+01 +1.788139343261718750e-05 1.168251037597656250e-04 5.981922149658203125e-04 4.416465759277343750e-03 3.002405166625976562e-02 2.104022502899169922e-01 1.488269329071044922e+00 9.164114713668823242e+00 +1.955032348632812500e-05 7.224082946777343750e-05 3.829002380371093750e-04 2.558946609497070312e-03 2.043128013610839844e-02 1.361320018768310547e-01 1.089214324951171875e+00 8.553364753723144531e+00 +2.384185791015625000e-05 5.245208740234375000e-06 6.437301635742187500e-06 2.455711364746093750e-05 4.148483276367187500e-05 8.702278137207031250e-05 3.793239593505859375e-04 6.709098815917968750e-04 diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf new file mode 100644 index 0000000..547d794 Binary files /dev/null and b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf new file mode 100644 index 0000000..70c7ec1 Binary files /dev/null and b/buch/papers/multiplikation/images/meas_1024.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index b25462a..8a95dd5 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -362,6 +362,22 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} \end{itemize} + +\begin{figure} + \center + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096} + \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}} + \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} +\end{figure} + + +\begin{figure} + \center + \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024} + \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}} + \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} +\end{figure} + \section{Fazit} \rhead{Fazit} -- cgit v1.2.1 From e5da5157fb61cdb006f3f50a2b3bd3b922644f1f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Tue, 3 Aug 2021 22:08:02 +0200 Subject: update --- buch/papers/multiplikation/code/MM.py | 53 +++++++++------- buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf | Bin 18813 -> 18813 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf | Bin 0 -> 12952 bytes buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt | 0 buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf | Bin 15865 -> 17400 bytes buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 73 +++++++++++++++++++++- 6 files changed, 101 insertions(+), 25 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf create mode 100644 buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py index ee6f598..47bd6ab 100644 --- a/buch/papers/multiplikation/code/MM.py +++ b/buch/papers/multiplikation/code/MM.py @@ -132,6 +132,10 @@ def winograd2(A, B): return C def test_perfomance(n): + + import mkl + mkl.set_num_threads(1) + t_mm = [] t_mm_dc = [] t_mm_strassen = [] @@ -144,21 +148,21 @@ def test_perfomance(n): # A = np.random.randint(-100, 100,(i, i)) # B = np.random.randint(-100, 100,(i, i)) - start = time.time() - C3 = strassen(A, B) - t_mm_strassen.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C3 = strassen(A, B) + # t_mm_strassen.append(time.time() - start) - start = time.time() - C1 = MM(A, B) - t_mm.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C1 = MM(A, B) + # t_mm.append(time.time() - start) - start = time.time() - C2 = MM_dc(A, B) - t_mm_dc.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C2 = MM_dc(A, B) + # t_mm_dc.append(time.time() - start) - start = time.time() - C4 = winograd2(A, B) - t_wino.append(time.time() - start) + # start = time.time() + # C4 = winograd2(A, B) + # t_wino.append(time.time() - start) start = time.time() C = A@B @@ -169,10 +173,10 @@ def test_perfomance(n): plt.rc('axes', labelsize=23) plt.rc('xtick', labelsize=23) plt.rc('ytick', labelsize=23) - plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5) - plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5) - plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) - plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) + # plt.plot(n, t_mm, label='Standard', lw=5) + # plt.plot(n, t_mm_dc, label='Divide and conquer', lw=5) + # plt.plot(n, t_mm_strassen, label='Strassen', lw=5) + # plt.plot(n, t_wino, label='Winograd', lw=5) plt.plot(n, t_np, label='NumPy A@B', lw=5) # plt.xscale('log', base=2) plt.legend() @@ -182,10 +186,10 @@ def test_perfomance(n): plt.tight_layout() # plt.yscale('log') plt.legend(fontsize=19) - plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf') - arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np]) - np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr) - return arr + # plt.savefig('meas_' + str(max(n))+ '.pdf') + # arr = np.array([n, t_mm, t_mm_dc, t_mm_strassen, t_wino, t_np]) + # np.savetxt('meas_' + str(max(n))+ '.txt',arr) + return t_np def plot(num): @@ -213,6 +217,7 @@ def plot(num): return arr def plot_c_res(ave, num): + MM = np.loadtxt("meas/MM.txt", delimiter=',') winograd = np.loadtxt("meas/winograd.txt", delimiter=',') blas = np.loadtxt("meas/blas.txt", delimiter=',') @@ -277,11 +282,11 @@ def plot_c_res(ave, num): # test%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if __name__ == '__main__': - plot_c_res(1, 4096) + # plot_c_res(1, 4096) - # plot(1024) - # n = np.logspace(1,10,10,base=2,dtype=(np.int)) + # arr = plot(1024) + n = np.logspace(1,12,12,base=2,dtype=(np.int)) # n = np.arange(1,50,2) # A = np.random.randint(-10, 6, (5,3)) # B = np.random.randint(-10, 6, (3,5)) @@ -292,7 +297,7 @@ if __name__ == '__main__': # print(C_test) # print(np.equal(C, C_test)) - # t_np = test_perfomance(n) + t_np = test_perfomance(n) # C = strassen(A, B) # C_test = A@B diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf index 70c7ec1..3312420 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf and b/buch/papers/multiplikation/code/meas_1024.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf new file mode 100644 index 0000000..e889d17 Binary files /dev/null and b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt b/buch/papers/multiplikation/code/meas_4096.txt new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf index 547d794..304015a 100644 Binary files a/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf and b/buch/papers/multiplikation/images/c_meas_4096.pdf differ diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 8a95dd5..780cbf3 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -358,10 +358,81 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation \item Strassen's Matrizenmultiplikation \item Winograd's Matrizenmultiplikation - \item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} + \item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} \end{itemize} +Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden. + +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l l l l l l} + \hline + \hline + \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\ + \hline + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \textbf{32} & 0.000081 &0.000594 & 0.00047& 0.00010 & 0.000022 \\ + \textbf{64} & 0.00065 & 0.0042& 0.0033& 0.00065& 0.00017 \\ + \textbf{128} & 0.0055 & 0.036& 0.024& 0.0052 & 0.0012 \\ + \textbf{256} & 0.054 & 0.32 & 0.17 & 0.057& 0.010 \\ + \textbf{512} & 0.48 & 2.61 & 1.20 & 0.51 & 0.074\\ + \textbf{1024} & 4.16 & 19.92& 8.45 & 4.53 & 0.704 \\ + \textbf{2048} & 125.90 & 159.33& 59.26 & 130.62 & 6.84 \\ + \textbf{4096} & 1111.31 & 1147.10& 414.64 & 1179.26 & 55.84\\ + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \hline + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \caption{Messresultate \texttt{C}} + \label{multiplikation:tab:messung_C} + \end{table} + + + + \begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{l l l l l l} + \hline + \hline + \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\ + \hline + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \textbf{32} & 0.0240 &0.0271 & 0.04852& 0.01871 & 4.26e-05 \\ + \textbf{64} & 0.186 & 0.265& 0.2204& 0.1530& 0.000118 \\ + \textbf{128} & 1.563 & 1.777& 1.447& 1.1947 & 0.000244 \\ + \textbf{256} & 11.006 & 13.27 & 9.938 & 8.298& 0.000695 \\ + \textbf{512} & 85.476 & 105.397 & 63.961 & 68.36 & 0.00221\\ + \textbf{1024} & 750.757 & 847.321& 461.494 & 537.374 & 0.0188 \\ + \textbf{4096} & - & - & - & - & 1.633 \\ + \multicolumn{6}{c}{} \\ + \hline + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \caption{Messresultate \texttt{Python}} + \label{multiplikation:tab:messung_Python} + \end{table} + + \begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{c c c c} + \hline + \hline + \textbf{CPU} & \textbf{OS} & \textbf{GPU } & \textbf{Memory } \\ + \hline + \multicolumn{4}{c}{} \\ + Intel® Core™ i7-4770K CPU & Ubuntu 20.04.2 LTS & Radeon RX 570 & 32 GB 1600 MHz \\ + @ 3.50GHz × 8 & 64-bit & & \\ + \multicolumn{4}{c}{} \\ + \hline + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \caption{Messsystem} + \label{multiplikation:tab:pc_config} + \end{table} \begin{figure} \center -- cgit v1.2.1 From 24a24cb7f6cb0a85bc136bbdb11ad52b7d7917f0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Wed, 4 Aug 2021 10:27:27 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 29 ++++++++++++++++++++++------- buch/papers/munkres/teil3.tex | 4 ++-- 2 files changed, 24 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 363dc06..07489e3 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -35,30 +35,45 @@ In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 a_{i}=b_{j}=1 \end{equation} Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Wege dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. +In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. \begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/MatrixA.png} +\[ +A += +\begin{pmatrix} +a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\ +a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2m}\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm} +\end{pmatrix} +\] \caption{Darstellung einer Matrix $A$} -\label{munkres:Vr2} \end{figure} - +Eine Matrix, wie hier in Abbildung 21.2 ersichtlich, ist ein rechteckiges Schema, dessen Elemente üblicherweise Zahlen, aber auch andere mathematische Elemente wie Variablen oder Funktionen sein können. Sie besteht aus $n$ Zeilen und $m$ Spalten. D.h. die Elemente einer Matrix vom Typ $(n,m)$ mit Namen $A$ sind $a_{ij}$ wobei $i$ = 1,..., $m$ ist und $j$ = 1,...,$n$. $a_{ij}$ ist der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der Matrix . Zum Beispiel ist a21 das Element der 2. Zeile und 1. Spalte. $i$ wird auch der Zeilenindex, $j$ der Spaltenindex genannt. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \begin{equation} Netzwerk \end{equation} +Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.3 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Arbeiter und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jede Tätigkeit. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. \begin{equation} Matrix \end{equation} +Im Bild 21.4 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. \begin{equation} Bitpartiter Graph \end{equation} Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen -zwischen den Elementen zweier Mengen. -Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. +zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. Zwischen zwei Gruppen von Objekten wird hierbei eine eindeutige Zuordnung hergestellt. +\begin{itemize} +\item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge A. +\item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge B. +\end{itemize} + + \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung} diff --git a/buch/papers/munkres/teil3.tex b/buch/papers/munkres/teil3.tex index 0d2c86e..d2e8174 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil3.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil3.tex @@ -45,9 +45,9 @@ Die ungarische Methode kann in einem einfachen händischen Beispiel erläutert w \begin{enumerate} \item Pro Zeile eruiert man die kleinste Zahl. Diese kleinste Zahl wird bei -allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab. +allen anderen Ziffern in der jeweiligen Zeile subtrahiert. Mit dieser Subtraktion zieht man die unvermeidbaren Kosten ab, die man hat, um eine Baustelle zu erreichen. -\item Auch in diesem Schritt werden die unvermeidbaren Kosten abgezogen. Man zieht die kleinste Zahl in jeder Spalte von allen Zahlen in der Spalte ab. +\item Auch in diesem Schritt werden die unvermeidbaren Weg-Kosten abgezogen. Man zieht die kleinste Zahl in jeder Spalte von allen Zahlen in der Spalte ab. \item Bei den nachfolgenden Schritten bleiben dann nur noch die Kosten übrig, die man hat, wenn man eine andere Zuordnung wählt. Hierbei sollen möglichst viele Nullen markiert werden, welche freistehend sind. (Freistehend bedeutet, sowohl in der jeweiligen Zeile und Spalte nur -- cgit v1.2.1 From 1663dd03e22b2ee65a8050f5eb5433c7580028b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Wed, 4 Aug 2021 16:14:15 +0200 Subject: update multiplikation --- buch/papers/multiplikation/einlteung.tex | 2 +- buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 50 +++++++++++++------------ buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex | 11 +++--- 3 files changed, 34 insertions(+), 29 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex index ea71d91..2d0583d 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/einlteung.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \rhead{Einleitung} Die Multiplikation zweier Matrizen ist eine wichtige Operation die in verschiedensten Teilen der Mathematik Anwendung findet. -Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10 (\textcolor{blue} {Kein Hyperlink zu einer Definition?)}: +Die Beschreibung der Multiplikation aus der Definition 2.10: Eine $m\times n$-Matrix $\mathbf{A}\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine $n\times p$-Matrix $\mathbf{B}\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 780cbf3..6f1486c 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \section{Algorithmen} \rhead{Algorithmen} -In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. +In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. \subsection{Standard Algorithmus} @@ -15,7 +15,7 @@ Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen w Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. -\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:smm} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic}[1] @@ -76,7 +76,7 @@ ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplik Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz, Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen. Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt. -\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:devide_mm} \begin{algorithmic} @@ -106,7 +106,7 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ \end{algorithm} Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen. -Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit. +Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit. In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right ) @@ -141,7 +141,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \end{split} \end{equation} der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. -\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication} \label{multiplikation:alg:strassen} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -205,6 +205,7 @@ Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von 7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2 = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right ) \end{equation} und ist somit schneller als die Standardmethode. +Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde. \subsection{Winograd's Algorithmus} @@ -244,7 +245,7 @@ Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\fr Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist. Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. -\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:winograd} \begin{algorithmic} @@ -297,7 +298,7 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} -die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. +die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)} \cite{multiplikation:BLAS}. Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt. @@ -320,12 +321,12 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M \end{itemize} \end{itemize} -Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren. +Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren. \subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)} -Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als: +Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als: \textit{DGEMM performs one of the matrix-matrix operations} $$ @@ -339,20 +340,19 @@ $$ an m by k matrix, op( B ) a k by n matrix and C an m by n matrix. } -Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als -\begin{lstlisting}[style=multiplikationC] -cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, - m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m); -\end{lstlisting} -definiert. +%Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als +%\begin{lstlisting}[style=multiplikationC] +%cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, +% m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m); +%\end{lstlisting} +%definiert. -\section{Implementation} +\section{Implementation}\label{multiplikation:section:Implementation} \rhead{Implementation} -\textcolor{red}{TODO: messresultate} -Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. +Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. \begin{itemize} \item Standard Matrizenmultiplikation \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation @@ -362,7 +362,11 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} \end{itemize} -Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden. +Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden. +Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten. +In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich. +Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet. + \begin{table} \begin{center} @@ -446,16 +450,16 @@ Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden. \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024} \caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}} - \label{multiplikation:fig:c_meas_4096} + \label{multiplikation:fig:python} \end{figure} \section{Fazit} \rhead{Fazit} -Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. -Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. -Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. +Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. +Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index 2688f27..cd5aaaa 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -34,12 +34,12 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufze \subsubsection{Beispiel Algorithmen} -Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden kann. +Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:b1} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -51,7 +51,8 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. -\begin{algorithm}\caption{} + +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:b2} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -68,7 +69,7 @@ Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} \label{multiplikation:alg:l1} @@ -90,7 +91,7 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalte Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. -\begin{algorithm}[H]\caption{} +\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:q1} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} -- cgit v1.2.1