From 69c5a77e6f008330327f2697f9c77cea6f2e1c3a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 16 Feb 2021 22:05:38 +0100 Subject: chapter 1 slides --- vorlesungen/slides/1/Makefile.inc | 18 ++++++++ vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex | 73 ++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/chapter.tex | 14 ++++++ vorlesungen/slides/1/dreieck.tex | 62 +++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/hadamard.tex | 51 +++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/j.tex | 63 ++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/speziell.tex | 43 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/strukturen.tex | 35 +++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex | 54 ++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex | 46 +++++++++++++++++++ 11 files changed, 536 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/1/Makefile.inc create mode 100644 vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/chapter.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/dreieck.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/hadamard.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/j.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/speziell.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/strukturen.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..3c1b5d4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc @@ -0,0 +1,18 @@ + +# +# Makefile.inc -- additional depencencies +# +# (c) 20920 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +# +chapter1 = \ + ../slides/1/zahlensysteme.tex \ + ../slides/1/strukturen.tex \ + ../slides/1/j.tex \ + ../slides/1/vektorraum.tex \ + ../slides/1/matrixalgebra.tex \ + ../slides/1/algebrastruktur.tex \ + ../slides/1/speziell.tex \ + ../slides/1/dreieck.tex \ + ../slides/1/hadamard.tex \ + ../slides/1/chapter.tex + diff --git a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex new file mode 100644 index 0000000..9647c04 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex @@ -0,0 +1,73 @@ +% +% algebrastruktur.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\begin{frame}[t] +\frametitle{Algebra über $\Bbbk$} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\pgfmathparse{atan(7/4)} +\xdef\a{\pgfmathresult} +\fill[color=red!40,opacity=0.5] + ({-4-2.5},{2+1.0}) + -- + ({-2.5},{-3-1.0}) + -- + ({2.5},{-3-1.0}) + -- + ({-4+2.5},{2+1.0}) + -- cycle; +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] + ({4-2.5},{2+1.0}) + -- + ({-2.5},{-3-1.0}) + -- + ({2.5},{-3-1.0}) + -- + ({4+2.5},{2+1.0}) + -- cycle; +\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] + ({-4-2.5},{2+1.0}) + -- + ({-4-2.5+2*(4/7)},{2-1}) + -- + ({+4+2.5-2*(4/7)},{2-1}) + -- + ({+4+2.5},{2+1}) + -- + cycle; +\node at ({-3-0.5},2) {Skalarmultiplikation}; + +\node at (3.5,2.2) {Multiplikation}; +\node at (3.5,1.8) {\tiny Halbgruppe}; + +\node at (0,-2.8) {Addition}; +\node at (0,-3.2) {\tiny Gruppe}; + +\node[color=blue] at (4.8,-0.5) [rotate=\a] {Ring\strut}; +\node[color=red] at (-4.8,-0.5) [rotate=-\a] {Vektorraum\strut}; + +\node[color=darkgreen] at (0,2.6) {$(\lambda a)b=\lambda(ab)$}; + +\node[color=red] at (-2.5,-0.5) {$\displaystyle +\begin{aligned} +\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b\\ +(\lambda+\mu)a&=\lambda a +\mu a +\end{aligned}$}; + +\node[color=blue] at (2.5,-0.5) {$\displaystyle +\begin{aligned} +a(b+c)&=ab+ac\\ +(a+b)c&=ac+bc +\end{aligned}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} + +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..fec3330 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% chapter.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi +% +\folie{1/zahlensysteme.tex} +\folie{1/strukturen.tex} +\folie{1/j.tex} +\folie{1/vektorraum.tex} +\folie{1/matrixalgebra.tex} +\folie{1/algebrastruktur.tex} +\folie{1/speziell.tex} +\folie{1/dreieck.tex} +\folie{1/hadamard.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..f4909e2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% dreieck.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Dreiecksmatrizen} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.31\textwidth} +\begin{block}{Dreiecksmatrix} +\begin{align*} +R&= +\begin{pmatrix} +*&*&*&\dots&*\\ +0&*&*&\dots&*\\ +0&0&*&\dots&*\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&* +\end{pmatrix} +\\ +U&= +\begin{pmatrix} +1&*&*&\dots&*\\ +0&1&*&\dots&*\\ +0&0&1&\dots&*\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&1 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.31\textwidth} +\begin{block}{Nilpotente Matrix} +\[ +N= +\begin{pmatrix} +*&*&*&\dots&*\\ +0&*&*&\dots&*\\ +0&0&*&\dots&*\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&* +\end{pmatrix} +\] +$\Rightarrow N^n=0$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.31\textwidth} +\begin{block}{Jordan-Matrix} +\[ +J_\lambda=\begin{pmatrix} +\lambda&1&0&\dots&0\\ +0&\lambda&1&\dots&0\\ +0&0&\lambda&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\dots&\lambda +\end{pmatrix} +\] +$\Rightarrow J_\lambda -\lambda I$ ist nilpotent +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/hadamard.tex b/vorlesungen/slides/1/hadamard.tex new file mode 100644 index 0000000..5cb692a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/hadamard.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% hadamard.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Hadamard-Algebra} +\begin{block}{Alternatives Produkt: Hadamard-Produkt} +\[ +\begin{pmatrix} +a_{11}&\dots&a_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots&a_{mn}\\ +\end{pmatrix} +\odot +\begin{pmatrix} +b_{11}&\dots&b_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +b_{m1}&\dots&b_{mn}\\ +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +a_{11}b_{11}&\dots&a_{1n}b_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}b_{m1}&\dots&a_{mn}b_{mn}\\ +\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.58\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Algebra} +\begin{itemize} +\item<3-> $M_{mn}(\Bbbk)$ ist eine Algebra mit +$\odot$ als Produkt +\item<4-> Neutrales Element $U$: Matrix aus lauter Einsen +\item<5-> Anwendung: Wahrscheinlichkeitsmatrizen +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.38\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Nicht so interessant} +Die Hadamard-Algebra ist kommutativ +\uncover<7->{$\Rightarrow$ +kann ``keine'' interessanten algebraischen Relationen darstellen} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/j.tex b/vorlesungen/slides/1/j.tex new file mode 100644 index 0000000..132f1d0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/j.tex @@ -0,0 +1,63 @@ +% +% j.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Beispiele} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Imaginäre Einheit $i$} +Gibt es eine Zahl $i$ mit $i^2=-1$? +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Matrixlösung} +Die Matrix +\[ +J += +\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} +\] +erfüllt +\[ +J^2 += +%\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} +%\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} +%= +\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix} += +-I +\] +$\Rightarrow$ $J$ ist eine Matrixdarstellung von $i$ + +Drehmatrix mit Winkel $90^\circ$ +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Quadratwurzel $\sqrt{2}$} +Gibt es eine Zahl $\sqrt{2}$ derart, dass $(\sqrt{2})^2=2$? +\end{block}} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Matrixlösung} +%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +Die Matrix +\[ +W += +\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix} +\] +erfüllt +\[ +W^2 += +\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = 2I +\] +$\Rightarrow$ $W$ ist eine Matrixdarstellung von $\sqrt{2}$ +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex b/vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex new file mode 100644 index 0000000..a3c3a76 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% matrixalgebra.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup + +\newtcbox{\myboxA}{blank,boxsep=0mm, +clip upper,minipage, +width=31.0mm,height=17.0mm,nobeforeafter, +borderline={0.0pt}{0.0pt}{white}, +} +\definecolor{magenta}{rgb}{0.8,0.2,0.8} + +\begin{frame}[t] +\frametitle{Matrix-Algebra} +\vspace{-10pt} +\[ +\begin{pmatrix} +a_{11}&\dots &a_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots &a_{mn} +\end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix} +b_{11}&\dots &b_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +b_{m1}&\dots &b_{mn} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +a_{11}+b_{11}&\dots &a_{1n}+b_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}+b_{m1}&\dots &a_{mn}+b_{mn} +\end{pmatrix} +\] +\[ +\lambda +\begin{pmatrix} +a_{11}&\dots &a_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots &a_{mn} +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\lambda a_{11}&\dots &\lambda a_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +\lambda a_{m1}&\dots &\lambda a_{mn} +\end{pmatrix} +\] +\uncover<2->{% +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope}[xshift=-4.5cm] +\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$}; +\draw[color=red,line width=3pt] (0,2) -- (3,2); +\draw (0,0) rectangle (3,3); +\end{scope} +\node at (-0.75,1.5) {$\mathstrut\cdot\mathstrut$}; +\begin{scope}[xshift=0cm] +\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$}; +\draw[color=blue,line width=3pt] (2.7,0) -- (2.7,3); +\draw (0,0) rectangle (3,3); +\end{scope} +\node at (3.75,1.5) {$\mathstrut=\mathstrut$}; +\begin{scope}[xshift=4.5cm] +\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$}; +\draw[color=gray,line width=1pt] (2.7,0) -- (2.7,3); +\draw[color=gray,line width=1pt] (0,2) -- (3,2); +\fill[color=magenta] (2.7,2) circle[radius=0.12]; +\draw (0,0) rectangle (3,3); +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\end{center}} +\end{frame} + +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex new file mode 100644 index 0000000..87b767a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex @@ -0,0 +1,43 @@ +% +% speziell.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.38\textwidth} +\frametitle{Diagonalmatrizen} +\begin{block}{Einheitsmatrix} +\[ +I=\begin{pmatrix} +1&0&\dots&0\\ +0&1&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&\dots&1 +\end{pmatrix} +\] +Neutrales Element der Matrixmultiplikation: +\[ +AI=IA=A +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.58\textwidth} +\begin{block}{Diagonalmatrix} +\[ +\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) += +\begin{pmatrix} +\lambda_1&0&\dots&0\\ +0&\lambda_2&\dots&0\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&\dots&\lambda_n +\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\begin{block}{Hadamard-Algebra} +Die Algebra der Diagonalmatrizen ist die Hadamard-Algebra +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/strukturen.tex b/vorlesungen/slides/1/strukturen.tex new file mode 100644 index 0000000..a5fc09a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/strukturen.tex @@ -0,0 +1,35 @@ +% +% strukturen.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Strukturen} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.42\textwidth} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf} +\end{center} +\end{column} +\begin{column}{0.54\textwidth} +\begin{itemize}[<+->] +\item Gruppen: Drehungen, Symmetrien +\item Vektorraum: Geometrie +\item Ring (mit Eins) +\item Algebra: Vektorraum und Ring +\item Algebra mit Eins: Vektorraum und Ring mit Eins +\item Körper +\end{itemize} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Matrizen} +Jede beliebige Struktur lässt sich mit Matrizen darstellen: +\begin{itemize} +\item<8-> Permutationsmatrizen +\item<9-> Wahrscheinlichkeitsmatrizen +\item<10-> Wurzeln +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex b/vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex new file mode 100644 index 0000000..2566085 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% +% vektorraum.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Vektorraum} +\vspace{-10pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Operationen} +Addition: +\[ +\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}a_1+b_1\\\vdots\\a_n+b_n \end{pmatrix} +\] +Skalarmultiplikation: +\[ +\lambda\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}\lambda a_1\\\vdots\\\lambda a_n \end{pmatrix} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Additive Gruppe} +$\mathbb{R}^n$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition +mit +\[ +0=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, +\qquad +-a += +-\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}-a_1\\\vdots\\-a_n\end{pmatrix} +\] +\end{block}} +\vspace{-5pt} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Skalarmultiplikation} +Distributivgesetz +\begin{align*} +(\lambda+\mu)a&=\lambda a + \mu a\\ +\lambda (a+b)&=\lambda a + \lambda b +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex new file mode 100644 index 0000000..4e66137 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% zahlensysteme.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Zahlensysteme} +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|p{7cm}|p{3cm}|} +\hline +\text{Zahlenmenge}&\text{Eigenschaften}&\text{Struktur} +\\ +\hline +\mathbb{N} +&\phantom{}\raggedright\uncover<2->{Addition, neutrales Element $0$} +&\phantom{}\uncover<2->{Monoid} +\\ +\mathbb{Z} +&\phantom{}\raggedright\uncover<3->{Addition, neutrales Element $0$, +inverses Element der Addition} +&\phantom{}\uncover<3->{Gruppe} +\\ +\mathbb{Z} +&\phantom{}\raggedright\uncover<4->{zusätzlich: Multiplikation, neutrales Element $1$} +&\phantom{}\uncover4->{Ring} +\\ +\mathbb{Q} +&\phantom{}\raggedright\uncover<5->{Addition und Multiplikation mit Inversen} +&\phantom{}\uncover<5->{Körper} +\\ +\mathbb{R} +&\phantom{}\raggedright\uncover<6->{zusätzlich: Ordnungsrelation, Vollständigkeit} +&\phantom{}\uncover<6->{Körper mit Ordnung} +\\ +\mathbb{C} +&\phantom{}\raggedright\uncover<7->{zusätzlich: Alle Wurzeln} +&\phantom{}\uncover<7->{algebraisch abgeschlossener Körper} +\\ +\uncover<8->{\mathbb{H}} +&\phantom{}\raggedright\uncover<8->{höhere Dimension, nichtkommutativ} +&\phantom{}\uncover<8->{Schiefkörper} +\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +\end{frame} -- cgit v1.2.1 From ea812658422730db2440c458330f0487d9dc823e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 19 Feb 2021 16:45:39 +0100 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex index 4e66137..9131cc6 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex @@ -22,7 +22,7 @@ inverses Element der Addition} \\ \mathbb{Z} &\phantom{}\raggedright\uncover<4->{zusätzlich: Multiplikation, neutrales Element $1$} -&\phantom{}\uncover4->{Ring} +&\phantom{}\uncover<4->{Ring} \\ \mathbb{Q} &\phantom{}\raggedright\uncover<5->{Addition und Multiplikation mit Inversen} -- cgit v1.2.1 From 57839140bd44eba59e578e055f8a7720ea1a0865 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 22 Feb 2021 11:05:22 +0100 Subject: slides --- vorlesungen/slides/1/dreieck.tex | 14 ++++++++++---- vorlesungen/slides/1/speziell.tex | 1 + 2 files changed, 11 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex index f4909e2..f38f78d 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex @@ -30,21 +30,25 @@ U&= \end{block} \end{column} \begin{column}{0.31\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Nilpotente Matrix} \[ N= \begin{pmatrix} -*&*&*&\dots&*\\ 0&*&*&\dots&*\\ 0&0&*&\dots&*\\ +0&0&0&\dots&*\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -0&0&0&\dots&* +0&0&0&\dots&0 \end{pmatrix} \] +\uncover<3->{% $\Rightarrow N^n=0$ -\end{block} +} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.31\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Jordan-Matrix} \[ J_\lambda=\begin{pmatrix} @@ -55,8 +59,10 @@ J_\lambda=\begin{pmatrix} 0&0&0&\dots&\lambda \end{pmatrix} \] +\uncover<5->{% $\Rightarrow J_\lambda -\lambda I$ ist nilpotent -\end{block} +} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex index 87b767a..83b3735 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex @@ -37,6 +37,7 @@ AI=IA=A \end{block} \begin{block}{Hadamard-Algebra} Die Algebra der Diagonalmatrizen ist die Hadamard-Algebra +(siehe später) \end{block} \end{column} \end{columns} -- cgit v1.2.1 From 95c9a63dbb58815be30d393a0a1891b0bddc8ae8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 22 Feb 2021 11:19:24 +0100 Subject: phases --- vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex | 102 ++++++++++++++++++------------- vorlesungen/slides/1/dreieck.tex | 1 + vorlesungen/slides/1/speziell.tex | 6 +- 3 files changed, 66 insertions(+), 43 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex index 9647c04..d7794a3 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex @@ -13,34 +13,43 @@ \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \pgfmathparse{atan(7/4)} \xdef\a{\pgfmathresult} -\fill[color=red!40,opacity=0.5] - ({-4-2.5},{2+1.0}) - -- - ({-2.5},{-3-1.0}) - -- - ({2.5},{-3-1.0}) - -- - ({-4+2.5},{2+1.0}) - -- cycle; -\fill[color=blue!40,opacity=0.5] - ({4-2.5},{2+1.0}) - -- - ({-2.5},{-3-1.0}) - -- - ({2.5},{-3-1.0}) - -- - ({4+2.5},{2+1.0}) - -- cycle; -\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] - ({-4-2.5},{2+1.0}) - -- - ({-4-2.5+2*(4/7)},{2-1}) - -- - ({+4+2.5-2*(4/7)},{2-1}) - -- - ({+4+2.5},{2+1}) - -- - cycle; +\uncover<2->{ + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + ({-4-2.5},{2+1.0}) + -- + ({-2.5},{-3-1.0}) + -- + ({2.5},{-3-1.0}) + -- + ({-4+2.5},{2+1.0}) + -- cycle; +} + +\uncover<4->{ + \fill[color=blue!40,opacity=0.5] + ({4-2.5},{2+1.0}) + -- + ({-2.5},{-3-1.0}) + -- + ({2.5},{-3-1.0}) + -- + ({4+2.5},{2+1.0}) + -- cycle; +} + +\uncover<6->{ + \fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] + ({-4-2.5},{2+1.0}) + -- + ({-4-2.5+2*(4/7)},{2-1}) + -- + ({+4+2.5-2*(4/7)},{2-1}) + -- + ({+4+2.5},{2+1}) + -- + cycle; +} + \node at ({-3-0.5},2) {Skalarmultiplikation}; \node at (3.5,2.2) {Multiplikation}; @@ -49,22 +58,33 @@ \node at (0,-2.8) {Addition}; \node at (0,-3.2) {\tiny Gruppe}; -\node[color=blue] at (4.8,-0.5) [rotate=\a] {Ring\strut}; -\node[color=red] at (-4.8,-0.5) [rotate=-\a] {Vektorraum\strut}; +\uncover<4->{ + \node[color=blue] at (4.8,-0.5) [rotate=\a] {Ring\strut}; +} + +\uncover<2->{ + \node[color=red] at (-4.8,-0.5) [rotate=-\a] {Vektorraum\strut}; +} -\node[color=darkgreen] at (0,2.6) {$(\lambda a)b=\lambda(ab)$}; +\uncover<6->{ + \node[color=darkgreen] at (0,2.6) {$(\lambda a)b=\lambda(ab)$}; +} -\node[color=red] at (-2.5,-0.5) {$\displaystyle -\begin{aligned} -\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b\\ -(\lambda+\mu)a&=\lambda a +\mu a -\end{aligned}$}; +\uncover<3->{ + \node[color=red] at (-2.5,-0.5) {$\displaystyle + \begin{aligned} + \lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b\\ + (\lambda+\mu)a&=\lambda a +\mu a + \end{aligned}$}; +} -\node[color=blue] at (2.5,-0.5) {$\displaystyle -\begin{aligned} -a(b+c)&=ab+ac\\ -(a+b)c&=ac+bc -\end{aligned}$}; +\uncover<5->{ + \node[color=blue] at (2.5,-0.5) {$\displaystyle + \begin{aligned} + a(b+c)&=ab+ac\\ + (a+b)c&=ac+bc + \end{aligned}$}; +} \end{tikzpicture} \end{center} diff --git a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex index f38f78d..3797e4b 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \begin{frame}[t] \frametitle{Dreiecksmatrizen} +\vspace{-10pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.31\textwidth} \begin{block}{Dreiecksmatrix} diff --git a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex index 83b3735..5b93da6 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex @@ -23,6 +23,7 @@ AI=IA=A \end{block} \end{column} \begin{column}{0.58\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Diagonalmatrix} \[ \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) @@ -34,11 +35,12 @@ AI=IA=A 0&0&\dots&\lambda_n \end{pmatrix} \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Hadamard-Algebra} Die Algebra der Diagonalmatrizen ist die Hadamard-Algebra (siehe später) -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 7c20e14c7fe17b8a5489888d682e7b021c52a72f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 25 Feb 2021 11:32:52 +0100 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/1/Makefile.inc | 3 ++ vorlesungen/slides/1/bruch.tex | 72 ++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/chapter.tex | 3 ++ vorlesungen/slides/1/ganz.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/peano.tex | 72 ++++++++++++++++++++++++++ 5 files changed, 254 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/1/bruch.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/ganz.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/peano.tex (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc index 3c1b5d4..46bf6b3 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc @@ -6,6 +6,9 @@ # chapter1 = \ ../slides/1/zahlensysteme.tex \ + ../slides/1/peano.tex \ + ../slides/1/ganz.tex \ + ../slides/1/bruch.tex \ ../slides/1/strukturen.tex \ ../slides/1/j.tex \ ../slides/1/vektorraum.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex new file mode 100644 index 0000000..f6e551b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% bruch.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Brüche} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\vspace{-8pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Division} +Nicht für alle $a,b\in\mathbb{Z}$ hat die Gleichung +\[ +ax=b +\uncover<2->{ +\;\Rightarrow\; +x=\frac{b}{a}} +\] +eine Lösung in $\mathbb{Z}$\uncover<2->{, nämlich wenn $b\nmid a$} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Brüche} +Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$ +\begin{enumerate} +\item<4-> $(b,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ +\item<5-> Äquivalenzrelation +\[ +(b,a)\sim (d,c) +\only<5>{ +\Leftrightarrow +\text{`` +$\displaystyle +\frac{b}{a}=\frac{d}{c} +$ +''} +} +\only<6->{ +\Leftrightarrow +bc=ad +} +\] +\end{enumerate} +\vspace{-15pt} +\uncover<7->{% +$\Rightarrow$ alle Quotienten +} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Gruppe} +$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ ist eine multiplikative Gruppe: +\begin{enumerate} +\item<10-> Neutrales Element: $1\in \mathbb{Q}^*$ +\item<11-> Inverses Element $q=\frac{b}{a}\in\mathbb{Q} +\Rightarrow +q^{-1}=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ +\end{enumerate} +\end{block} +} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Rationale Zahlen} +Alle Brüche, gleiche Werte zusammengefasst: +\[ +\mathbb{Q} = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\sim +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex index fec3330..1b971f7 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex @@ -4,6 +4,9 @@ % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi % \folie{1/zahlensysteme.tex} +\folie{1/peano.tex} +\folie{1/ganz.tex} +\folie{1/bruch.tex} \folie{1/strukturen.tex} \folie{1/j.tex} \folie{1/vektorraum.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex new file mode 100644 index 0000000..196a495 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex @@ -0,0 +1,104 @@ +% +% ganz.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Ganze Zahlen: Gruppe} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{block}{Subtrahieren} +Nicht für alle $a,b\in \mathbb{N}$ hat die +Gleichung +\[ +a+x=b +\uncover<2->{ +\quad +\Rightarrow +\quad +x=b-a} +\] +eine Lösung in $\mathbb{N}$\uncover<2->{, nämlich wenn $a>b$}% +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Ganze Zahlen = Paare} +Idee: $b-a = (b,a)$ +\begin{enumerate} +\item<4-> $(b,a)=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ +\item<5-> Äquivalenzrelation +\[ +(b,a)\sim (d,c) +\only<6>{\Leftrightarrow +\text{``\strut} +b-a=c-d +\text{\strut''}} +\only<7->{ +\Leftrightarrow +b+d=c+a} +\] +\end{enumerate} +\vspace{-10pt} +\uncover<8->{% +Ganze Zahlen: +\( +\mathbb{Z} += +\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim +\)} +\\ +\uncover<9->{% +$z\in\mathbb{Z}$, $z=\mathstrut$ Paare $(u,v)$ mit +``gleicher Differenz''} +\uncover<10->{% +$\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Gruppe} +Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element +\[ +a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G} +\Rightarrow +\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G} +\text{ mit } +\only<11>{ +a+(-a)=0 +} +\only<12->{ +\left\{ +\begin{aligned} +aa^{-1}&=e +\\ +a^{-1}a&=e +\end{aligned} +\right. +} +\] +\end{block}} +\vspace{-15pt} +\uncover<13->{% +\begin{block}{Abelsche Gruppe} +Verknüpfung ist kommutativ: +\[ +a+b=b+a +\] +\end{block}} +\vspace{-12pt} +\uncover<14->{% +\begin{block}{Beispiele} +\begin{itemize} +\item<15-> Brüche reelle Zahlen +\item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +\item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$ +\item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$ +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/peano.tex b/vorlesungen/slides/1/peano.tex new file mode 100644 index 0000000..219c853 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/peano.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% peano.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Natürliche Zahlen\uncover<2->{: Peano}} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zählen} +Mit den natürlichen Zahlen zählt man: +\[ +\mathbb{N} += +\left\{ +\begin{minipage}{5cm} +\raggedright +Äquivalenzklassen von gleich mächtigen +endlichen Mengen +\end{minipage} +\right\} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Peano-Axiome} +\begin{enumerate} +\item<3-> $0\in\mathbb{N}$ +\item<4-> $n\in\mathbb{N}\Rightarrow \text{Nachfolger }n'\in\mathbb{N}$ +\item<5-> $0$ ist nicht Nachfolger +\item<6-> $n,m\in\mathbb{N}\wedge n'=m'\Rightarrow n=m$ +\item<7-> $X\subset \mathbb{N}\wedge 0\in X\wedge \forall n\in X(n'\in X) +\Rightarrow +\mathbb{N}=X +$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Monoid} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +Menge $\only<8-10>{\mathbb{N}}\only<11->{M}$ mit einer +zweistelligen Verknüpfung $a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b$ +\begin{enumerate} +\item<9-> Assoziativ: $a,b,c\in M$ +\[ +(a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b)\only<8-10>{+}\only<11->{*}c=a\only<8-10>{+}\only<11->{*}(b\only<8-10>{+}\only<11->{*}c) +\] +\item<10-> Neutrales Element: $\only<8-10>{0}\only<11->{e}\in M$ +\[ +\only<8-10>{0+}\only<11->{e*} a += +a \only<8-10>{+0}\only<11->{*e} +\] +\end{enumerate} +\end{block}}% +\vspace{-15pt} +\uncover<12->{% +\begin{block}{Axiom 5 = Vollständige Induktion} +$X=\{n\in\mathbb{N}\;|\; \text{$P(n)$ ist wahr}\}$ +\begin{enumerate} +\item<13-> Verankerung: $0\in X$ +\item<14-> Induktionsannahme: $n\in X$ +\item<15-> Induktionsschritt: $n'\in X$ +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} -- cgit v1.2.1 From 155981423fb5d7f6fd612b54ff90e3b084e1a678 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 25 Feb 2021 12:47:04 +0100 Subject: Ring --- vorlesungen/slides/1/Makefile.inc | 2 + vorlesungen/slides/1/chapter.tex | 2 + vorlesungen/slides/1/ring.tex | 58 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex | 90 ++++++++++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 152 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/1/ring.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc index 46bf6b3..38b47b3 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc @@ -9,6 +9,8 @@ chapter1 = \ ../slides/1/peano.tex \ ../slides/1/ganz.tex \ ../slides/1/bruch.tex \ + ../slides/1/ring.tex \ + ../slides/1/schwierigkeiten.tex \ ../slides/1/strukturen.tex \ ../slides/1/j.tex \ ../slides/1/vektorraum.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex index 1b971f7..7bdda34 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex @@ -7,6 +7,8 @@ \folie{1/peano.tex} \folie{1/ganz.tex} \folie{1/bruch.tex} +\folie{1/ring.tex} +\folie{1/schwierigkeiten.tex} \folie{1/strukturen.tex} \folie{1/j.tex} \folie{1/vektorraum.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/1/ring.tex b/vorlesungen/slides/1/ring.tex new file mode 100644 index 0000000..9641975 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/ring.tex @@ -0,0 +1,58 @@ +% +% ring.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Ring\only<15->{/Körper}} +\vspace{-10pt} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Addition und Multiplikation} +$\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$ +haben zwei Verknüpfungen: +\begin{enumerate} +\item<2-> Addition +\[ +a,b\in R\Rightarrow a+b\in R +\] +\item<3-> Multiplikation +\[ +a,b\in R\Rightarrow a\cdot b=ab\in R +\] +\end{enumerate} +\vspace{-5pt} +\uncover<4->{% +Gilt auch für +\begin{itemize} +\item<5-> Polynome +\item<6-> $M_{n}(\mathbb{R})$ +\item<7-> $\mathbb{R}^3$ mit Vektorprodukt +\end{itemize}} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Definition} +Ein Ring\only<15->{/{\color{red}Körper}} ist eine Menge $R$ mit zwei +Verknüpfungen $+$ und $\cdot$: +\begin{enumerate} +\item<9-> +$R$ mit $+$ ist eine abelsche Gruppe +\item<10-> +$R$ mit $\cdot$ ist ein Monoid\only<15->{/{\color{red}eine Gruppe}} +\item<11-> +Verträglichkeit: Distributivgesetz +\begin{align*} +\uncover<12->{a(b+c)&=ab+bc} +\\ +\uncover<13->{(a+b)c&=ac+bc} +\end{align*} +\uncover<14->{(Ausmultiplizieren)} +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex b/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex new file mode 100644 index 0000000..fb22e58 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex @@ -0,0 +1,90 @@ +% +% schwierigkeiten.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\begin{frame}[t] +\frametitle{Schwierigkeiten} +\vspace{-15pt} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Nullteiler} +Elemente $a,b$ mit $ab=0$ +$\Rightarrow$ nicht invertierbar +\begin{itemize} +\item<3-> Projektionen +\[ +\begin{pmatrix} +1&0\\0&0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&0\\0&1 +\end{pmatrix} += +0 +\] +\item<4-> Nilpotente Matrizen +\[ +\begin{pmatrix} +0&1&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix}^3 +=0 +\] +\item<5-> +In $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (modulo 15): +\[ +3\cdot 5 = 15 \equiv 0\mod 15 +\] +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Invertierbarkeit} +\begin{itemize} +\item<7-> +$7\in\mathbb{Z}$, aber $7^{-1}\not\in\mathbb{Z}$, $7^{-1}\in\mathbb{Q}$ +\item<8-> +$A$ regulär heisst nicht $A^{-1}\in M_n(\mathbb{Z})$ +\[ +A=\begin{pmatrix} +1&-1\\ +1&1 +\end{pmatrix} +\;\Rightarrow\; +A^{-1} += +\begin{pmatrix} +\frac12&\frac12\\ +-\frac12&\frac12 +\end{pmatrix} +\] +\item<9-> +$A\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ invertierbar in +$M_n(\mathbb{Z})$: +\[ +A= +\begin{pmatrix} +5&4\\4&3 +\end{pmatrix} +\; +\Rightarrow +\; +A^{-1}= +\begin{pmatrix} +-3&4\\4&-5 +\end{pmatrix} +\] +\end{itemize} +\uncover<10->{% +Invertierbarkeit erreichen durch ``vergrössern'' des Ringes +} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} -- cgit v1.2.1 From c375af98f136f158bc00b8895e8843be8feaa758 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 25 Feb 2021 13:11:56 +0100 Subject: MathSemMSE slides session1 --- vorlesungen/slides/1/bruch.tex | 3 ++- vorlesungen/slides/1/ganz.tex | 12 +++++++----- 2 files changed, 9 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex index f6e551b..65521a2 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex @@ -28,6 +28,7 @@ Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$ \item<5-> Äquivalenzrelation \[ (b,a)\sim (d,c) +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<5>{ \Leftrightarrow \text{`` @@ -35,7 +36,7 @@ $\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{d}{c} $ ''} -} +}}{} \only<6->{ \Leftrightarrow bc=ad diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex index 196a495..f1022f4 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex @@ -31,10 +31,11 @@ Idee: $b-a = (b,a)$ \item<5-> Äquivalenzrelation \[ (b,a)\sim (d,c) +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<6>{\Leftrightarrow \text{``\strut} b-a=c-d -\text{\strut''}} +\text{\strut''}}}{} \only<7->{ \Leftrightarrow b+d=c+a} @@ -61,15 +62,16 @@ $\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \uncover<11->{% \begin{block}{Gruppe} -Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element +Halbgruppe $\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}$ mit inversem Element \[ -a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G} +a\in \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}\only<12->{G} \Rightarrow -\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}}{}\only<12->{a^{-1}\in G} \text{ mit } +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<11>{ a+(-a)=0 -} +}}{} \only<12->{ \left\{ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1 From 3eb564bb021d51d6a8201ec3069e0acd08554f98 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 26 Feb 2021 13:07:53 +0100 Subject: typos --- vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex | 2 +- vorlesungen/slides/1/ganz.tex | 6 +++--- 2 files changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/1') diff --git a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex index d7794a3..fd474eb 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex @@ -53,7 +53,7 @@ \node at ({-3-0.5},2) {Skalarmultiplikation}; \node at (3.5,2.2) {Multiplikation}; -\node at (3.5,1.8) {\tiny Halbgruppe}; +\node at (3.5,1.8) {\tiny Monoid}; \node at (0,-2.8) {Addition}; \node at (0,-3.2) {\tiny Gruppe}; diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex index f1022f4..7930826 100644 --- a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex +++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex @@ -62,9 +62,9 @@ $\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \uncover<11->{% \begin{block}{Gruppe} -Halbgruppe $\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}$ mit inversem Element +Monoid $\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}$ mit inversem Element \[ -a\in \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}\only<12->{G} +a\in \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G} \Rightarrow \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}}{}\only<12->{a^{-1}\in G} \text{ mit } @@ -95,7 +95,7 @@ a+b=b+a \uncover<14->{% \begin{block}{Beispiele} \begin{itemize} -\item<15-> Brüche reelle Zahlen +\item<15-> Brüche, reelle Zahlen \item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ \item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$ \item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$ -- cgit v1.2.1