From 69c5a77e6f008330327f2697f9c77cea6f2e1c3a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Tue, 16 Feb 2021 22:05:38 +0100
Subject: chapter 1 slides

---
 vorlesungen/slides/1/Makefile.inc        | 18 ++++++++
 vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex | 73 ++++++++++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/chapter.tex         | 14 ++++++
 vorlesungen/slides/1/dreieck.tex         | 62 +++++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/hadamard.tex        | 51 +++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/j.tex               | 63 ++++++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex   | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/speziell.tex        | 43 ++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/strukturen.tex      | 35 +++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex      | 54 ++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex   | 46 +++++++++++++++++++
 11 files changed, 536 insertions(+)
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/chapter.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/hadamard.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/j.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/speziell.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/strukturen.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..3c1b5d4
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,18 @@
+
+#
+# Makefile.inc -- additional depencencies
+#
+# (c) 20920 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+#
+chapter1 =								\
+	../slides/1/zahlensysteme.tex					\
+	../slides/1/strukturen.tex					\
+	../slides/1/j.tex						\
+	../slides/1/vektorraum.tex					\
+	../slides/1/matrixalgebra.tex					\
+	../slides/1/algebrastruktur.tex					\
+	../slides/1/speziell.tex					\
+	../slides/1/dreieck.tex						\
+	../slides/1/hadamard.tex					\
+	../slides/1/chapter.tex
+
diff --git a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
new file mode 100644
index 0000000..9647c04
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+%
+% algebrastruktur.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Algebra über $\Bbbk$}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\pgfmathparse{atan(7/4)}
+\xdef\a{\pgfmathresult}
+\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+	({-4-2.5},{2+1.0})
+	--
+	({-2.5},{-3-1.0})
+	--
+	({2.5},{-3-1.0})
+	--
+	({-4+2.5},{2+1.0})
+	-- cycle;
+\fill[color=blue!40,opacity=0.5]
+	({4-2.5},{2+1.0})
+	--
+	({-2.5},{-3-1.0})
+	--
+	({2.5},{-3-1.0})
+	--
+	({4+2.5},{2+1.0})
+	-- cycle;
+\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5]
+	({-4-2.5},{2+1.0})
+	-- 
+	({-4-2.5+2*(4/7)},{2-1})
+	-- 
+	({+4+2.5-2*(4/7)},{2-1})
+	-- 
+	({+4+2.5},{2+1})
+	--
+	cycle;
+\node at ({-3-0.5},2) {Skalarmultiplikation};
+
+\node at (3.5,2.2) {Multiplikation};
+\node at (3.5,1.8) {\tiny Halbgruppe};
+
+\node at (0,-2.8) {Addition};
+\node at (0,-3.2) {\tiny Gruppe};
+
+\node[color=blue] at (4.8,-0.5) [rotate=\a] {Ring\strut};
+\node[color=red] at (-4.8,-0.5) [rotate=-\a] {Vektorraum\strut};
+
+\node[color=darkgreen] at (0,2.6) {$(\lambda a)b=\lambda(ab)$};
+
+\node[color=red] at (-2.5,-0.5) {$\displaystyle
+\begin{aligned}
+\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b\\
+(\lambda+\mu)a&=\lambda a +\mu a
+\end{aligned}$};
+
+\node[color=blue] at (2.5,-0.5) {$\displaystyle
+\begin{aligned}
+a(b+c)&=ab+ac\\
+(a+b)c&=ac+bc
+\end{aligned}$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{frame}
+
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..fec3330
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+%
+% chapter.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
+%
+\folie{1/zahlensysteme.tex}
+\folie{1/strukturen.tex}
+\folie{1/j.tex}
+\folie{1/vektorraum.tex}
+\folie{1/matrixalgebra.tex}
+\folie{1/algebrastruktur.tex}
+\folie{1/speziell.tex}
+\folie{1/dreieck.tex}
+\folie{1/hadamard.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
new file mode 100644
index 0000000..f4909e2
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% dreieck.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Dreiecksmatrizen}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.31\textwidth}
+\begin{block}{Dreiecksmatrix}
+\begin{align*}
+R&=
+\begin{pmatrix}
+*&*&*&\dots&*\\
+0&*&*&\dots&*\\
+0&0&*&\dots&*\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&0&\dots&*
+\end{pmatrix}
+\\
+U&=
+\begin{pmatrix}
+1&*&*&\dots&*\\
+0&1&*&\dots&*\\
+0&0&1&\dots&*\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&0&\dots&1
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.31\textwidth}
+\begin{block}{Nilpotente Matrix}
+\[
+N=
+\begin{pmatrix}
+*&*&*&\dots&*\\
+0&*&*&\dots&*\\
+0&0&*&\dots&*\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&0&\dots&*
+\end{pmatrix}
+\]
+$\Rightarrow N^n=0$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.31\textwidth}
+\begin{block}{Jordan-Matrix}
+\[
+J_\lambda=\begin{pmatrix}
+\lambda&1&0&\dots&0\\
+0&\lambda&1&\dots&0\\
+0&0&\lambda&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&0&\dots&\lambda
+\end{pmatrix}
+\]
+$\Rightarrow J_\lambda -\lambda I$ ist nilpotent
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/hadamard.tex b/vorlesungen/slides/1/hadamard.tex
new file mode 100644
index 0000000..5cb692a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/hadamard.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% hadamard.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Hadamard-Algebra}
+\begin{block}{Alternatives Produkt: Hadamard-Produkt}
+\[
+\begin{pmatrix}
+a_{11}&\dots&a_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots&a_{mn}\\
+\end{pmatrix}
+\odot
+\begin{pmatrix}
+b_{11}&\dots&b_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+b_{m1}&\dots&b_{mn}\\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+a_{11}b_{11}&\dots&a_{1n}b_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}b_{m1}&\dots&a_{mn}b_{mn}\\
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.58\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Algebra}
+\begin{itemize}
+\item<3-> $M_{mn}(\Bbbk)$ ist eine Algebra mit
+$\odot$ als Produkt
+\item<4-> Neutrales Element $U$: Matrix aus lauter Einsen
+\item<5-> Anwendung: Wahrscheinlichkeitsmatrizen
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.38\textwidth}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Nicht so interessant}
+Die Hadamard-Algebra ist kommutativ 
+\uncover<7->{$\Rightarrow$ 
+kann ``keine'' interessanten algebraischen Relationen darstellen}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/j.tex b/vorlesungen/slides/1/j.tex
new file mode 100644
index 0000000..132f1d0
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/j.tex
@@ -0,0 +1,63 @@
+%
+% j.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Beispiele}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Imaginäre Einheit $i$}
+Gibt es eine Zahl $i$ mit $i^2=-1$?
+\end{block}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Matrixlösung}
+Die Matrix
+\[
+J
+=
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+\]
+erfüllt
+\[
+J^2
+=
+%\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+%\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+%=
+\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+=
+-I
+\]
+$\Rightarrow$ $J$ ist eine Matrixdarstellung von $i$
+
+Drehmatrix mit Winkel $90^\circ$
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Quadratwurzel $\sqrt{2}$}
+Gibt es eine Zahl $\sqrt{2}$ derart, dass $(\sqrt{2})^2=2$?
+\end{block}}
+\uncover<4->{%
+\begin{block}{Matrixlösung}
+%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+Die Matrix
+\[
+W
+=
+\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}
+\]
+erfüllt
+\[
+W^2
+=
+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = 2I
+\]
+$\Rightarrow$ $W$ ist eine Matrixdarstellung von $\sqrt{2}$
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex b/vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex
new file mode 100644
index 0000000..a3c3a76
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/matrixalgebra.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% matrixalgebra.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+
+\newtcbox{\myboxA}{blank,boxsep=0mm,
+clip upper,minipage,
+width=31.0mm,height=17.0mm,nobeforeafter,
+borderline={0.0pt}{0.0pt}{white},
+}
+\definecolor{magenta}{rgb}{0.8,0.2,0.8}
+
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Matrix-Algebra}
+\vspace{-10pt}
+\[
+\begin{pmatrix}
+a_{11}&\dots &a_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots &a_{mn}
+\end{pmatrix}
++
+\begin{pmatrix}
+b_{11}&\dots &b_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+b_{m1}&\dots &b_{mn}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+a_{11}+b_{11}&\dots &a_{1n}+b_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}+b_{m1}&\dots &a_{mn}+b_{mn}
+\end{pmatrix}
+\]
+\[
+\lambda
+\begin{pmatrix}
+a_{11}&\dots &a_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots &a_{mn}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda a_{11}&\dots &\lambda a_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+\lambda a_{m1}&\dots &\lambda a_{mn}
+\end{pmatrix}
+\]
+\uncover<2->{%
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
+\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$};
+\draw[color=red,line width=3pt] (0,2) -- (3,2);
+\draw (0,0) rectangle (3,3);
+\end{scope}
+\node at (-0.75,1.5) {$\mathstrut\cdot\mathstrut$};
+\begin{scope}[xshift=0cm]
+\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$};
+\draw[color=blue,line width=3pt] (2.7,0) -- (2.7,3);
+\draw (0,0) rectangle (3,3);
+\end{scope}
+\node at (3.75,1.5) {$\mathstrut=\mathstrut$};
+\begin{scope}[xshift=4.5cm]
+\node at (1.5,1.53) {$\left(\myboxA{}\right)$};
+\draw[color=gray,line width=1pt] (2.7,0) -- (2.7,3);
+\draw[color=gray,line width=1pt] (0,2) -- (3,2);
+\fill[color=magenta] (2.7,2) circle[radius=0.12];
+\draw (0,0) rectangle (3,3);
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}}
+\end{frame}
+
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
new file mode 100644
index 0000000..87b767a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
@@ -0,0 +1,43 @@
+%
+% speziell.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.38\textwidth}
+\frametitle{Diagonalmatrizen}
+\begin{block}{Einheitsmatrix}
+\[
+I=\begin{pmatrix}
+1&0&\dots&0\\
+0&1&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&\dots&1
+\end{pmatrix}
+\]
+Neutrales Element der Matrixmultiplikation:
+\[
+AI=IA=A
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.58\textwidth}
+\begin{block}{Diagonalmatrix}
+\[
+\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda_1&0&\dots&0\\
+0&\lambda_2&\dots&0\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&\dots&\lambda_n
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Hadamard-Algebra}
+Die Algebra der Diagonalmatrizen ist die Hadamard-Algebra
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/strukturen.tex b/vorlesungen/slides/1/strukturen.tex
new file mode 100644
index 0000000..a5fc09a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/strukturen.tex
@@ -0,0 +1,35 @@
+%
+% strukturen.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Strukturen}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.42\textwidth}
+\begin{center}
+\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf}
+\end{center}
+\end{column}
+\begin{column}{0.54\textwidth}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Gruppen: Drehungen, Symmetrien
+\item Vektorraum: Geometrie
+\item Ring (mit Eins)
+\item Algebra: Vektorraum und Ring
+\item Algebra mit Eins: Vektorraum und Ring mit Eins
+\item Körper
+\end{itemize}
+\uncover<7->{%
+\begin{block}{Matrizen}
+Jede beliebige Struktur lässt sich mit Matrizen darstellen:
+\begin{itemize}
+\item<8-> Permutationsmatrizen
+\item<9-> Wahrscheinlichkeitsmatrizen
+\item<10-> Wurzeln
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex b/vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex
new file mode 100644
index 0000000..2566085
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/vektorraum.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% vektorraum.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Vektorraum}
+\vspace{-10pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Operationen}
+Addition:
+\[
+\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}
++
+\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n \end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}a_1+b_1\\\vdots\\a_n+b_n \end{pmatrix}
+\]
+Skalarmultiplikation:
+\[
+\lambda\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}\lambda a_1\\\vdots\\\lambda a_n \end{pmatrix}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Additive Gruppe}
+$\mathbb{R}^n$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition
+mit 
+\[
+0=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix},
+\qquad
+-a
+=
+-\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}-a_1\\\vdots\\-a_n\end{pmatrix}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-5pt}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Skalarmultiplikation}
+Distributivgesetz
+\begin{align*}
+(\lambda+\mu)a&=\lambda a + \mu a\\
+\lambda (a+b)&=\lambda a + \lambda b
+\end{align*}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e66137
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% zahlensysteme.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Zahlensysteme}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|p{7cm}|p{3cm}|}
+\hline
+\text{Zahlenmenge}&\text{Eigenschaften}&\text{Struktur}
+\\
+\hline
+\mathbb{N}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<2->{Addition, neutrales Element $0$}
+&\phantom{}\uncover<2->{Monoid}
+\\
+\mathbb{Z}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<3->{Addition, neutrales Element $0$,
+inverses Element der Addition}
+&\phantom{}\uncover<3->{Gruppe}
+\\
+\mathbb{Z}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<4->{zusätzlich: Multiplikation, neutrales Element $1$}
+&\phantom{}\uncover4->{Ring}
+\\
+\mathbb{Q}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<5->{Addition und Multiplikation mit Inversen}
+&\phantom{}\uncover<5->{Körper}
+\\
+\mathbb{R}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<6->{zusätzlich: Ordnungsrelation, Vollständigkeit}
+&\phantom{}\uncover<6->{Körper mit Ordnung}
+\\
+\mathbb{C}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<7->{zusätzlich: Alle Wurzeln}
+&\phantom{}\uncover<7->{algebraisch abgeschlossener Körper}
+\\
+\uncover<8->{\mathbb{H}}
+&\phantom{}\raggedright\uncover<8->{höhere Dimension, nichtkommutativ}
+&\phantom{}\uncover<8->{Schiefkörper}
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.1


From ea812658422730db2440c458330f0487d9dc823e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Fri, 19 Feb 2021 16:45:39 +0100
Subject: new slides

---
 vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex
index 4e66137..9131cc6 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/zahlensysteme.tex
@@ -22,7 +22,7 @@ inverses Element der Addition}
 \\
 \mathbb{Z}
 &\phantom{}\raggedright\uncover<4->{zusätzlich: Multiplikation, neutrales Element $1$}
-&\phantom{}\uncover4->{Ring}
+&\phantom{}\uncover<4->{Ring}
 \\
 \mathbb{Q}
 &\phantom{}\raggedright\uncover<5->{Addition und Multiplikation mit Inversen}
-- 
cgit v1.2.1


From 57839140bd44eba59e578e055f8a7720ea1a0865 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 22 Feb 2021 11:05:22 +0100
Subject: slides

---
 vorlesungen/slides/1/dreieck.tex  | 14 ++++++++++----
 vorlesungen/slides/1/speziell.tex |  1 +
 2 files changed, 11 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
index f4909e2..f38f78d 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
@@ -30,21 +30,25 @@ U&=
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.31\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Nilpotente Matrix}
 \[
 N=
 \begin{pmatrix}
-*&*&*&\dots&*\\
 0&*&*&\dots&*\\
 0&0&*&\dots&*\\
+0&0&0&\dots&*\\
 \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-0&0&0&\dots&*
+0&0&0&\dots&0
 \end{pmatrix}
 \]
+\uncover<3->{%
 $\Rightarrow N^n=0$
-\end{block}
+}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.31\textwidth}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Jordan-Matrix}
 \[
 J_\lambda=\begin{pmatrix}
@@ -55,8 +59,10 @@ J_\lambda=\begin{pmatrix}
 0&0&0&\dots&\lambda
 \end{pmatrix}
 \]
+\uncover<5->{%
 $\Rightarrow J_\lambda -\lambda I$ ist nilpotent
-\end{block}
+}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
index 87b767a..83b3735 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
@@ -37,6 +37,7 @@ AI=IA=A
 \end{block}
 \begin{block}{Hadamard-Algebra}
 Die Algebra der Diagonalmatrizen ist die Hadamard-Algebra
+(siehe später)
 \end{block}
 \end{column}
 \end{columns}
-- 
cgit v1.2.1


From 95c9a63dbb58815be30d393a0a1891b0bddc8ae8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 22 Feb 2021 11:19:24 +0100
Subject: phases

---
 vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex | 102 ++++++++++++++++++-------------
 vorlesungen/slides/1/dreieck.tex         |   1 +
 vorlesungen/slides/1/speziell.tex        |   6 +-
 3 files changed, 66 insertions(+), 43 deletions(-)

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
index 9647c04..d7794a3 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
@@ -13,34 +13,43 @@
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
 \pgfmathparse{atan(7/4)}
 \xdef\a{\pgfmathresult}
-\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-	({-4-2.5},{2+1.0})
-	--
-	({-2.5},{-3-1.0})
-	--
-	({2.5},{-3-1.0})
-	--
-	({-4+2.5},{2+1.0})
-	-- cycle;
-\fill[color=blue!40,opacity=0.5]
-	({4-2.5},{2+1.0})
-	--
-	({-2.5},{-3-1.0})
-	--
-	({2.5},{-3-1.0})
-	--
-	({4+2.5},{2+1.0})
-	-- cycle;
-\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5]
-	({-4-2.5},{2+1.0})
-	-- 
-	({-4-2.5+2*(4/7)},{2-1})
-	-- 
-	({+4+2.5-2*(4/7)},{2-1})
-	-- 
-	({+4+2.5},{2+1})
-	--
-	cycle;
+\uncover<2->{
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		({-4-2.5},{2+1.0})
+		--
+		({-2.5},{-3-1.0})
+		--
+		({2.5},{-3-1.0})
+		--
+		({-4+2.5},{2+1.0})
+		-- cycle;
+}
+
+\uncover<4->{
+	\fill[color=blue!40,opacity=0.5]
+		({4-2.5},{2+1.0})
+		--
+		({-2.5},{-3-1.0})
+		--
+		({2.5},{-3-1.0})
+		--
+		({4+2.5},{2+1.0})
+		-- cycle;
+}
+
+\uncover<6->{
+	\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5]
+		({-4-2.5},{2+1.0})
+		-- 
+		({-4-2.5+2*(4/7)},{2-1})
+		-- 
+		({+4+2.5-2*(4/7)},{2-1})
+		-- 
+		({+4+2.5},{2+1})
+		--
+		cycle;
+}
+
 \node at ({-3-0.5},2) {Skalarmultiplikation};
 
 \node at (3.5,2.2) {Multiplikation};
@@ -49,22 +58,33 @@
 \node at (0,-2.8) {Addition};
 \node at (0,-3.2) {\tiny Gruppe};
 
-\node[color=blue] at (4.8,-0.5) [rotate=\a] {Ring\strut};
-\node[color=red] at (-4.8,-0.5) [rotate=-\a] {Vektorraum\strut};
+\uncover<4->{
+	\node[color=blue] at (4.8,-0.5) [rotate=\a] {Ring\strut};
+}
+
+\uncover<2->{
+	\node[color=red] at (-4.8,-0.5) [rotate=-\a] {Vektorraum\strut};
+}
 
-\node[color=darkgreen] at (0,2.6) {$(\lambda a)b=\lambda(ab)$};
+\uncover<6->{
+	\node[color=darkgreen] at (0,2.6) {$(\lambda a)b=\lambda(ab)$};
+}
 
-\node[color=red] at (-2.5,-0.5) {$\displaystyle
-\begin{aligned}
-\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b\\
-(\lambda+\mu)a&=\lambda a +\mu a
-\end{aligned}$};
+\uncover<3->{
+	\node[color=red] at (-2.5,-0.5) {$\displaystyle
+	\begin{aligned}
+	\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b\\
+	(\lambda+\mu)a&=\lambda a +\mu a
+	\end{aligned}$};
+}
 
-\node[color=blue] at (2.5,-0.5) {$\displaystyle
-\begin{aligned}
-a(b+c)&=ab+ac\\
-(a+b)c&=ac+bc
-\end{aligned}$};
+\uncover<5->{
+	\node[color=blue] at (2.5,-0.5) {$\displaystyle
+	\begin{aligned}
+	a(b+c)&=ab+ac\\
+	(a+b)c&=ac+bc
+	\end{aligned}$};
+}
 
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
index f38f78d..3797e4b 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/dreieck.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \begin{frame}[t]
 \frametitle{Dreiecksmatrizen}
+\vspace{-10pt}
 \begin{columns}[t,onlytextwidth]
 \begin{column}{0.31\textwidth}
 \begin{block}{Dreiecksmatrix}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
index 83b3735..5b93da6 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/speziell.tex
@@ -23,6 +23,7 @@ AI=IA=A
 \end{block}
 \end{column}
 \begin{column}{0.58\textwidth}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Diagonalmatrix}
 \[
 \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)
@@ -34,11 +35,12 @@ AI=IA=A
 0&0&\dots&\lambda_n
 \end{pmatrix}
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Hadamard-Algebra}
 Die Algebra der Diagonalmatrizen ist die Hadamard-Algebra
 (siehe später)
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
-- 
cgit v1.2.1


From 7c20e14c7fe17b8a5489888d682e7b021c52a72f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 25 Feb 2021 11:32:52 +0100
Subject: new slides

---
 vorlesungen/slides/1/Makefile.inc |   3 ++
 vorlesungen/slides/1/bruch.tex    |  72 ++++++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/chapter.tex  |   3 ++
 vorlesungen/slides/1/ganz.tex     | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/peano.tex    |  72 ++++++++++++++++++++++++++
 5 files changed, 254 insertions(+)
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/bruch.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/ganz.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/peano.tex

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
index 3c1b5d4..46bf6b3 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
@@ -6,6 +6,9 @@
 #
 chapter1 =								\
 	../slides/1/zahlensysteme.tex					\
+	../slides/1/peano.tex						\
+	../slides/1/ganz.tex						\
+	../slides/1/bruch.tex						\
 	../slides/1/strukturen.tex					\
 	../slides/1/j.tex						\
 	../slides/1/vektorraum.tex					\
diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
new file mode 100644
index 0000000..f6e551b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+%
+% bruch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Brüche}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\vspace{-8pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Division}
+Nicht für alle $a,b\in\mathbb{Z}$ hat die Gleichung
+\[
+ax=b
+\uncover<2->{
+\;\Rightarrow\;
+x=\frac{b}{a}}
+\]
+eine Lösung in $\mathbb{Z}$\uncover<2->{, nämlich wenn $b\nmid a$}
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Brüche}
+Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$
+\begin{enumerate}
+\item<4-> $(b,a)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$
+\item<5-> Äquivalenzrelation
+\[
+(b,a)\sim (d,c)
+\only<5>{
+\Leftrightarrow
+\text{``
+$\displaystyle
+\frac{b}{a}=\frac{d}{c}
+$
+''}
+}
+\only<6->{
+\Leftrightarrow
+bc=ad
+}
+\]
+\end{enumerate}
+\vspace{-15pt}
+\uncover<7->{%
+$\Rightarrow$ alle Quotienten
+}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<9->{%
+\begin{block}{Gruppe}
+$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ ist eine multiplikative Gruppe:
+\begin{enumerate}
+\item<10-> Neutrales Element: $1\in \mathbb{Q}^*$
+\item<11-> Inverses Element $q=\frac{b}{a}\in\mathbb{Q}
+\Rightarrow
+q^{-1}=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Rationale Zahlen}
+Alle Brüche, gleiche Werte zusammengefasst:
+\[
+\mathbb{Q} = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\sim
+\]
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
index fec3330..1b971f7 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
@@ -4,6 +4,9 @@
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
 %
 \folie{1/zahlensysteme.tex}
+\folie{1/peano.tex}
+\folie{1/ganz.tex}
+\folie{1/bruch.tex}
 \folie{1/strukturen.tex}
 \folie{1/j.tex}
 \folie{1/vektorraum.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
new file mode 100644
index 0000000..196a495
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+%
+% ganz.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Ganze Zahlen: Gruppe}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\begin{block}{Subtrahieren}
+Nicht für alle $a,b\in \mathbb{N}$ hat die 
+Gleichung
+\[
+a+x=b
+\uncover<2->{
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+x=b-a}
+\]
+eine Lösung in $\mathbb{N}$\uncover<2->{, nämlich wenn $a>b$}%
+\end{block}
+\uncover<3->{%
+\begin{block}{Ganze Zahlen = Paare}
+Idee: $b-a = (b,a)$
+\begin{enumerate}
+\item<4-> $(b,a)=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
+\item<5-> Äquivalenzrelation
+\[
+(b,a)\sim (d,c)
+\only<6>{\Leftrightarrow
+\text{``\strut}
+b-a=c-d
+\text{\strut''}}
+\only<7->{
+\Leftrightarrow
+b+d=c+a}
+\]
+\end{enumerate}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<8->{%
+Ganze Zahlen:
+\(
+\mathbb{Z}
+=
+\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim
+\)}
+\\
+\uncover<9->{%
+$z\in\mathbb{Z}$, $z=\mathstrut$ Paare $(u,v)$ mit 
+``gleicher Differenz''}
+\uncover<10->{%
+$\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\uncover<11->{%
+\begin{block}{Gruppe}
+Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element
+\[
+a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}
+\Rightarrow
+\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G}
+\text{ mit }
+\only<11>{
+a+(-a)=0
+}
+\only<12->{
+\left\{
+\begin{aligned}
+aa^{-1}&=e
+\\
+a^{-1}a&=e
+\end{aligned}
+\right.
+}
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-15pt}
+\uncover<13->{%
+\begin{block}{Abelsche Gruppe}
+Verknüpfung ist kommutativ:
+\[
+a+b=b+a
+\]
+\end{block}}
+\vspace{-12pt}
+\uncover<14->{%
+\begin{block}{Beispiele}
+\begin{itemize}
+\item<15-> Brüche reelle Zahlen
+\item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+\item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$
+\item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/peano.tex b/vorlesungen/slides/1/peano.tex
new file mode 100644
index 0000000..219c853
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/peano.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+%
+% peano.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Natürliche Zahlen\uncover<2->{: Peano}}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Zählen}
+Mit den natürlichen Zahlen zählt man: 
+\[
+\mathbb{N}
+=
+\left\{
+\begin{minipage}{5cm}
+\raggedright
+Äquivalenzklassen von gleich mächtigen
+endlichen Mengen
+\end{minipage}
+\right\}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Peano-Axiome}
+\begin{enumerate}
+\item<3-> $0\in\mathbb{N}$
+\item<4-> $n\in\mathbb{N}\Rightarrow \text{Nachfolger }n'\in\mathbb{N}$
+\item<5-> $0$ ist nicht Nachfolger
+\item<6-> $n,m\in\mathbb{N}\wedge n'=m'\Rightarrow n=m$
+\item<7-> $X\subset \mathbb{N}\wedge 0\in X\wedge \forall n\in X(n'\in X)
+\Rightarrow
+\mathbb{N}=X
+$
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Monoid}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+Menge $\only<8-10>{\mathbb{N}}\only<11->{M}$ mit einer
+zweistelligen Verknüpfung $a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b$
+\begin{enumerate}
+\item<9-> Assoziativ: $a,b,c\in M$
+\[
+(a\only<8-10>{+}\only<11->{*}b)\only<8-10>{+}\only<11->{*}c=a\only<8-10>{+}\only<11->{*}(b\only<8-10>{+}\only<11->{*}c)
+\]
+\item<10-> Neutrales Element: $\only<8-10>{0}\only<11->{e}\in M$
+\[
+\only<8-10>{0+}\only<11->{e*} a
+=
+a \only<8-10>{+0}\only<11->{*e}
+\]
+\end{enumerate}
+\end{block}}%
+\vspace{-15pt}
+\uncover<12->{%
+\begin{block}{Axiom 5 = Vollständige Induktion}
+$X=\{n\in\mathbb{N}\;|\; \text{$P(n)$ ist wahr}\}$
+\begin{enumerate}
+\item<13-> Verankerung: $0\in X$
+\item<14-> Induktionsannahme: $n\in X$
+\item<15-> Induktionsschritt: $n'\in X$
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.1


From 155981423fb5d7f6fd612b54ff90e3b084e1a678 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 25 Feb 2021 12:47:04 +0100
Subject: Ring

---
 vorlesungen/slides/1/Makefile.inc        |  2 +
 vorlesungen/slides/1/chapter.tex         |  2 +
 vorlesungen/slides/1/ring.tex            | 58 ++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex | 90 ++++++++++++++++++++++++++++++++
 4 files changed, 152 insertions(+)
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/ring.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
index 46bf6b3..38b47b3 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/1/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,8 @@ chapter1 =								\
 	../slides/1/peano.tex						\
 	../slides/1/ganz.tex						\
 	../slides/1/bruch.tex						\
+	../slides/1/ring.tex						\
+	../slides/1/schwierigkeiten.tex					\
 	../slides/1/strukturen.tex					\
 	../slides/1/j.tex						\
 	../slides/1/vektorraum.tex					\
diff --git a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
index 1b971f7..7bdda34 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/chapter.tex
@@ -7,6 +7,8 @@
 \folie{1/peano.tex}
 \folie{1/ganz.tex}
 \folie{1/bruch.tex}
+\folie{1/ring.tex}
+\folie{1/schwierigkeiten.tex}
 \folie{1/strukturen.tex}
 \folie{1/j.tex}
 \folie{1/vektorraum.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/ring.tex b/vorlesungen/slides/1/ring.tex
new file mode 100644
index 0000000..9641975
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/ring.tex
@@ -0,0 +1,58 @@
+%
+% ring.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Ring\only<15->{/Körper}}
+\vspace{-10pt}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Addition und Multiplikation}
+$\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$
+haben zwei Verknüpfungen:
+\begin{enumerate}
+\item<2-> Addition
+\[
+a,b\in R\Rightarrow a+b\in R
+\]
+\item<3-> Multiplikation
+\[
+a,b\in R\Rightarrow a\cdot b=ab\in R
+\]
+\end{enumerate}
+\vspace{-5pt}
+\uncover<4->{%
+Gilt auch für
+\begin{itemize}
+\item<5-> Polynome
+\item<6-> $M_{n}(\mathbb{R})$
+\item<7-> $\mathbb{R}^3$ mit Vektorprodukt
+\end{itemize}}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
+\begin{block}{Definition}
+Ein Ring\only<15->{/{\color{red}Körper}} ist eine Menge $R$ mit zwei
+Verknüpfungen $+$ und $\cdot$:
+\begin{enumerate}
+\item<9->
+$R$ mit $+$ ist eine abelsche Gruppe
+\item<10->
+$R$ mit $\cdot$ ist ein Monoid\only<15->{/{\color{red}eine Gruppe}}
+\item<11->
+Verträglichkeit: Distributivgesetz
+\begin{align*}
+\uncover<12->{a(b+c)&=ab+bc}
+\\
+\uncover<13->{(a+b)c&=ac+bc}
+\end{align*}
+\uncover<14->{(Ausmultiplizieren)}
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex b/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex
new file mode 100644
index 0000000..fb22e58
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/1/schwierigkeiten.tex
@@ -0,0 +1,90 @@
+%
+% schwierigkeiten.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Schwierigkeiten}
+\vspace{-15pt}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
+\begin{block}{Nullteiler}
+Elemente $a,b$ mit $ab=0$
+$\Rightarrow$ nicht invertierbar
+\begin{itemize}
+\item<3-> Projektionen
+\[
+\begin{pmatrix}
+1&0\\0&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&0\\0&1
+\end{pmatrix}
+=
+0
+\]
+\item<4-> Nilpotente Matrizen
+\[
+\begin{pmatrix}
+0&1&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}^3
+=0
+\]
+\item<5->
+In $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (modulo 15):
+\[
+3\cdot 5 = 15 \equiv 0\mod 15
+\]
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
+\begin{block}{Invertierbarkeit}
+\begin{itemize}
+\item<7->
+$7\in\mathbb{Z}$, aber $7^{-1}\not\in\mathbb{Z}$, $7^{-1}\in\mathbb{Q}$
+\item<8->
+$A$ regulär heisst nicht $A^{-1}\in M_n(\mathbb{Z})$
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+1&-1\\
+1&1
+\end{pmatrix}
+\;\Rightarrow\;
+A^{-1}
+=
+\begin{pmatrix}
+\frac12&\frac12\\
+-\frac12&\frac12
+\end{pmatrix}
+\]
+\item<9->
+$A\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ invertierbar in
+$M_n(\mathbb{Z})$:
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+5&4\\4&3
+\end{pmatrix}
+\;
+\Rightarrow
+\;
+A^{-1}=
+\begin{pmatrix}
+-3&4\\4&-5
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{itemize}
+\uncover<10->{%
+Invertierbarkeit erreichen durch ``vergrössern'' des Ringes
+}
+\end{block}}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.1


From c375af98f136f158bc00b8895e8843be8feaa758 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 25 Feb 2021 13:11:56 +0100
Subject: MathSemMSE slides session1

---
 vorlesungen/slides/1/bruch.tex |  3 ++-
 vorlesungen/slides/1/ganz.tex  | 12 +++++++-----
 2 files changed, 9 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
index f6e551b..65521a2 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/bruch.tex
@@ -28,6 +28,7 @@ Idee: $\displaystyle\frac{b}{a} = (b,a)$
 \item<5-> Äquivalenzrelation
 \[
 (b,a)\sim (d,c)
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
 \only<5>{
 \Leftrightarrow
 \text{``
@@ -35,7 +36,7 @@ $\displaystyle
 \frac{b}{a}=\frac{d}{c}
 $
 ''}
-}
+}}{}
 \only<6->{
 \Leftrightarrow
 bc=ad
diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
index 196a495..f1022f4 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
@@ -31,10 +31,11 @@ Idee: $b-a = (b,a)$
 \item<5-> Äquivalenzrelation
 \[
 (b,a)\sim (d,c)
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
 \only<6>{\Leftrightarrow
 \text{``\strut}
 b-a=c-d
-\text{\strut''}}
+\text{\strut''}}}{}
 \only<7->{
 \Leftrightarrow
 b+d=c+a}
@@ -61,15 +62,16 @@ $\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
 \uncover<11->{%
 \begin{block}{Gruppe}
-Halbgruppe $\only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}$ mit inversem Element
+Halbgruppe $\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}$ mit inversem Element
 \[
-a\in \only<11>{\mathbb{Z}}\only<12->{G}
+a\in \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}\only<12->{G}
 \Rightarrow
-\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}\only<12->{a^{-1}\in G}
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}}{}\only<12->{a^{-1}\in G}
 \text{ mit }
+\ifthenelse{\boolean{presentation}}{
 \only<11>{
 a+(-a)=0
-}
+}}{}
 \only<12->{
 \left\{
 \begin{aligned}
-- 
cgit v1.2.1


From 3eb564bb021d51d6a8201ec3069e0acd08554f98 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 26 Feb 2021 13:07:53 +0100
Subject: typos

---
 vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex | 2 +-
 vorlesungen/slides/1/ganz.tex            | 6 +++---
 2 files changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'vorlesungen/slides/1')

diff --git a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
index d7794a3..fd474eb 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/algebrastruktur.tex
@@ -53,7 +53,7 @@
 \node at ({-3-0.5},2) {Skalarmultiplikation};
 
 \node at (3.5,2.2) {Multiplikation};
-\node at (3.5,1.8) {\tiny Halbgruppe};
+\node at (3.5,1.8) {\tiny Monoid};
 
 \node at (0,-2.8) {Addition};
 \node at (0,-3.2) {\tiny Gruppe};
diff --git a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
index f1022f4..7930826 100644
--- a/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
+++ b/vorlesungen/slides/1/ganz.tex
@@ -62,9 +62,9 @@ $\Rightarrow$ alle Differenzen in $\mathbb{Z}$}
 \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
 \uncover<11->{%
 \begin{block}{Gruppe}
-Halbgruppe $\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}$ mit inversem Element
+Monoid $\ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}$ mit inversem Element
 \[
-a\in \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}\only<12->{G}
+a\in \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{\mathbb{Z}}}{}\only<12->{G}
 \Rightarrow
 \ifthenelse{\boolean{presentation}}{\only<11>{-a\in\mathbb{Z}}}{}\only<12->{a^{-1}\in G}
 \text{ mit }
@@ -95,7 +95,7 @@ a+b=b+a
 \uncover<14->{%
 \begin{block}{Beispiele}
 \begin{itemize}
-\item<15-> Brüche reelle Zahlen
+\item<15-> Brüche, reelle Zahlen
 \item<16-> invertierbare Matrizen: $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
 \item<17-> Drehmatrizen: $\operatorname{SO}(n)$
 \item<18-> Matrizen mit Determinante $1$: $\operatorname{SL}_n(\mathbb R)$
-- 
cgit v1.2.1