From 9aa06203d62e6d9092597fc7f89a0a8e3a6636c9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 08:28:20 +0200 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 29 +++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 29 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex (limited to 'vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex') diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..29a1822 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% l2beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item Folgen von komplexen Zahlen +\[ +l^2 += +\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\] +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 9e7524c25a0ba5a643fbb7555d01311f69aa603e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 17:18:58 +0200 Subject: add slides --- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 57 +++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 54 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex') diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index 29a1822..c030eb7 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -7,22 +7,73 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Folgen von komplexen Zahlen +\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = -\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\biggl\{ +(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty +\biggr\} +\] +\item Skalarprodukt: +\begin{align*} +\langle x,y\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, +& +\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\end{align*} +\item Vollständigkeit, +Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung +\[ +\biggl| +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k +\biggr| +\le +\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2 \] \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Standardbasisvektoren} +\begin{align*} +e_i +&= +(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) +\\ +(e_i)_k &= \delta_{ik} +\end{align*} +sind orthonormiert: +\begin{align*} +\langle e_i,e_j\rangle +&= +\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} += +\delta_{ij} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-16pt} +\begin{block}{Analyse} +$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: +\begin{align*} +\hat{x}_i += +\langle e_i,x\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k += +x_i +\end{align*} +(Fourier-Koeffizienten) +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 680e1e763b8d899b3601b5ab0cf6f1fc2a114e1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 18:51:36 +0200 Subject: phases --- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 34 +++++++++++++------------ 1 file changed, 18 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex') diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index c030eb7..3ae44af 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -13,7 +13,7 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen +\item<2-> Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = @@ -21,15 +21,15 @@ l^2 (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty \biggr\} \] -\item Skalarprodukt: +\item<3-> Skalarprodukt: \begin{align*} \langle x,y\rangle &= \sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, & -\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\uncover<4->{\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2} \end{align*} -\item Vollständigkeit, +\item<5-> Vollständigkeit, Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung \[ \biggl| @@ -43,37 +43,39 @@ Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Standardbasisvektoren} \begin{align*} e_i &= (0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) \\ -(e_i)_k &= \delta_{ik} +\uncover<7->{(e_i)_k &= \delta_{ik}} \end{align*} -sind orthonormiert: +\uncover<8->{sind orthonormiert: \begin{align*} \langle e_i,e_j\rangle &= \sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} -= -\delta_{ij} -\end{align*} -\end{block} +\uncover<9->{= +\delta_{ij}} +\end{align*}} +\end{block}} \vspace{-16pt} +\uncover<10->{% \begin{block}{Analyse} $x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: \begin{align*} \hat{x}_i = \langle e_i,x\rangle -&= -\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k -= -x_i +&\uncover<11->{= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k} +\uncover<12->{= +x_i} \end{align*} -(Fourier-Koeffizienten) -\end{block} +\uncover<13->{(Fourier-Koeffizienten)} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1