From 9e7524c25a0ba5a643fbb7555d01311f69aa603e Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 3 Jun 2021 17:18:58 +0200
Subject: add slides

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 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++++++++
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+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
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+% riesz.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Darstellungssatz von Riesz}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Dualraum}
+$V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen
+\[
+f\colon V\to \mathbb{C}
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$}
+$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$,
+Linearformen:
+\begin{align*}
+f(x)
+&=
+\sum_{i=0}^\infty f_ix_i
+\\
+\|f\|
+&=
+\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1}
+|f(x)|
+=
+\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|
+\\
+\Rightarrow
+l^{\infty*}
+&=
+l^1
+\qquad(\ne l^2)
+\\
+&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\}
+\end{align*}
+
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$}
+${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$
+\end{block}
+\begin{theorem}[Riesz]
+Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit
+\[
+f(x) = \langle v,x\rangle
+\quad\forall x\in H
+\]
+und $\|f\| = \|v\|$
+\end{theorem}
+\begin{block}{Dualraum von $H$}
+$H^*=H$
+\end{block}
+Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale''
+Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
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cgit v1.2.1