From 9e7524c25a0ba5a643fbb7555d01311f69aa603e Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 3 Jun 2021 17:18:58 +0200
Subject: add slides

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 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 87 +++++++++++++++++++++++++++
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index 0000000..b7a44f8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
@@ -0,0 +1,87 @@
+%
+% spektral.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Voraussetzungen}
+\begin{itemize}
+\item
+Hilbertraum $H$
+\item
+$A\colon H\to H$ linear
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Eigenwerte}
+$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$
+\begin{align*}
+\langle x,x\rangle
+&=
+\frac1{\lambda}
+\langle x,\lambda x\rangle
+=
+\frac1{\lambda}
+\langle x,Ax\rangle
+\\
+&=
+\frac1{\lambda}
+\langle Ax,x\rangle
+=
+\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}
+\langle x,x\rangle
+\\
+\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1
+\quad\Rightarrow\quad
+\overline{\lambda} = \lambda
+\quad\Rightarrow\quad
+\lambda\in\mathbb{R}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Orthogonalität}
+$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$
+\begin{align*}
+\langle u,v\rangle
+&=
+\frac{1}{\mu}
+\langle \mu u,v\rangle
+=
+\frac{1}{\mu}
+\langle Au,v\rangle
+\\
+&=
+\frac{1}{\mu}
+\langle u,Av\rangle
+=
+\frac{1}{\mu}
+\langle u,\lambda v\rangle
+=
+\frac{\lambda}{\mu}
+\langle u,v\rangle
+\\
+\Rightarrow
+\;
+0
+&=
+\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0}
+\langle u,v\rangle
+\;\Rightarrow\;
+\langle u,v\rangle = 0
+\end{align*}
+EV zu verschiedenen EW sind orthogonal
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Spektralsatz}
+Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$
+\end{block}
+\end{frame}
+\egroup
-- 
cgit v1.2.1

