From 9aa06203d62e6d9092597fc7f89a0a8e3a6636c9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 08:28:20 +0200 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 5 ++ vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 5 ++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex | 61 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex | 59 +++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 57 +++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 29 ++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 75 +++++++++++++++++++++++++ 7 files changed, 291 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex (limited to 'vorlesungen/slides/2') diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index c857fec..b2af216 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -17,5 +17,10 @@ chapter2 = \ ../slides/2/frobeniusanwendung.tex \ ../slides/2/quotient.tex \ ../slides/2/quotientv.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/definition.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 49e656a..2fe48c1 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -15,3 +15,8 @@ \folie{2/frobeniusanwendung.tex} \folie{2/quotient.tex} \folie{2/quotientv.tex} +\folie{2/hilbertraum/definition.tex} +\folie{2/hilbertraum/l2beispiel.tex} +\folie{2/hilbertraum/basis.tex} +\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex} +\folie{2/hilbertraum/l2.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex new file mode 100644 index 0000000..46c2320 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% basis.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hilbert-Basis} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn +\begin{itemize} +\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ +\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist +dicht: +Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$ +approximiert werden. +\end{itemize} +Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel} +\end{block} +\begin{block}{Endlichdimensional} +Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Konstruktion} +Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$ +\begin{enumerate} +\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ +\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor +\begin{align*} +x\in V_k^{\perp} +&= +\{ +x\in H\;|\; x\perp V_k +\} +\\ +&= +\{x\in H\;|\; +x\perp y\;\forall y\in V_k +\} +\end{align*} +\item $b_{k+1} = x/\|x\|$ +\[ +\mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\} +\] +\end{enumerate} +Wenn $H$ separabel ist, dann ist +\[ +\mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k +\] +eine Hilbertbasis für $H$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex new file mode 100644 index 0000000..ed0ab13 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% definition.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hilbertraum --- Definition} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$} +\begin{enumerate} +\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein +\item Sesquilineares Skalarprodukt +\[ +\langle \cdot,\cdot\rangle +\colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle +\] +Dazugehörige Norm: +\[ +\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} +\] +\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert +\end{enumerate} +Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum} +\end{block} +\begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum} +Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\begin{itemize} +\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: +Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass +\[ +\| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N +\] +\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle +$\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass +\[ +\|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N +\] +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} +\[ +|\langle x,y\rangle| +\le \|x\| \cdot \|y\| +\] +Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex new file mode 100644 index 0000000..2991aca --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% +% l2.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{$L^2$-Hilbertraum} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +Vektorraum: Funktionen +\[ +f\colon [a,b] \to \mathbb{C} +\] +\item +Sesquilineares Skalarprodukt +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx +\] +\item +Norm: +\[ +\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx +\] +\item Vollständigkeit? +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\begin{itemize} +\item +Funktioniert nicht für Riemann-Integral +\item +Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach +Henri Lebesgue) +\item +Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen +\item +Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge +unterscheiden +\item +Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..29a1822 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% l2beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item Folgen von komplexen Zahlen +\[ +l^2 += +\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\] +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex new file mode 100644 index 0000000..3caa54d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +% +% plancherel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Plancherel-Gleichung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Hilbertraum mit Hilbert-Basis} +$H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis +$\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ +\end{block} +\begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} +\begin{align*} +a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} +\begin{align*} +\tilde{x} +&= +\sum_k a_k b_k += +\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} +\begin{align*} +\langle b_l,\tilde{x}\rangle +&= +\biggl\langle +b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k +\biggr\rangle += +\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle += +\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl} += +\langle b_l,x\rangle += +\hat{x}_l +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Plancherel-Gleichung} +\begin{align*} +\|\tilde{x}\|^2 +&= +\langle \tilde{x},\tilde{x}\rangle += +\biggl\langle +\sum_k \hat{x}_kb_k, +\sum_l \hat{x}_lb_l +\biggr\rangle +\\ +&= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle += +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl} +\\ +\|\tilde{x}\|^2 +&= +\sum_k |\hat{x}_k|^2 +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 9e7524c25a0ba5a643fbb7555d01311f69aa603e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 17:18:58 +0200 Subject: add slides --- vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 9 ++ vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 9 ++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex | 79 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex | 62 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 2 + vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 57 ++++++++++++- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex | 62 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 23 +++++- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex | 82 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 66 +++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex | 96 ++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex | 48 +++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 87 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex | 56 +++++++++++++ 14 files changed, 734 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex (limited to 'vorlesungen/slides/2') diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index b2af216..cbd4dfe 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -22,5 +22,14 @@ chapter2 = \ ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \ ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \ ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/riesz.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/spektral.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/sturm.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/laplace.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/qm.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/energie.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/sobolev.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 2fe48c1..d3714c3 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -20,3 +20,12 @@ \folie{2/hilbertraum/basis.tex} \folie{2/hilbertraum/plancherel.tex} \folie{2/hilbertraum/l2.tex} +\folie{2/hilbertraum/riesz.tex} +\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex} +\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex} +\folie{2/hilbertraum/spektral.tex} +\folie{2/hilbertraum/sturm.tex} +\folie{2/hilbertraum/laplace.tex} +\folie{2/hilbertraum/qm.tex} +\folie{2/hilbertraum/energie.tex} +\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex new file mode 100644 index 0000000..afafab8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% adjungiert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Adjungierter Operator} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$ +\item +\[ +H\to\mathbb{C} +: +x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L +\] +ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$ +\item +Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit +\[ +\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H +\quad +\forall x\in H +\] +\end{itemize} +Die Abbildung +\[ +L\to H +: +y\mapsto v =: A^*y +\] +heisst {\em adjungierte Abbildung} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)} +\[ +A^* = \overline{A}^t +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstabbildungen} +Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ +\[ +\langle x,Ay\rangle += +\langle A^*x, y\rangle +\quad +\forall x,y\in H +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren} +\[ +A=A^* +\;\Leftrightarrow\; +\langle x,Ay \rangle += +\langle A^*x,y \rangle += +\langle Ax,y \rangle +\] +Matrizen: +\begin{itemize} +\item hermitesch +\item für reelle Hilberträume: symmetrisch +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex new file mode 100644 index 0000000..7868cb4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% energie.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Energie --- Zeitentwicklung --- Schrödinger} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.30\textwidth} +\begin{block}{Totale Energie} +Hamilton-Funktion +\begin{align*} +H +&= +\frac12mv^2 + V(x) +\\ +&= +\frac{p^2}{2m} + V(x) +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Quantisierungsregel} +\begin{align*} +\text{Variable}&\to \text{Operator} +\\ +x_k & \to x_k +\\ +p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.66\textwidth} +\begin{block}{Energie-Operator} +\[ +H += +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x) +\] +\end{block} +\begin{block}{Eigenwertgleichung} +\[ +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t) +\] +Zeitunabhängige Schrödingergleichung +\end{block} +\begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung} +\[ +-\frac{\hbar}{i} +\frac{\partial}{\partial t} +\psi(x,t) += +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) +\] +Eigenwertgleichung durch Separation von $t$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex index 2991aca..e2f2262 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -31,6 +31,8 @@ Norm: \|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx \] \item Vollständigkeit? +$\rightarrow$ +Lebesgue Konvergenz-Satz \end{itemize} \end{block} \end{column} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index 29a1822..c030eb7 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -7,22 +7,73 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Folgen von komplexen Zahlen +\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = -\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\biggl\{ +(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty +\biggr\} +\] +\item Skalarprodukt: +\begin{align*} +\langle x,y\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, +& +\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\end{align*} +\item Vollständigkeit, +Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung +\[ +\biggl| +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k +\biggr| +\le +\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2 \] \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Standardbasisvektoren} +\begin{align*} +e_i +&= +(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) +\\ +(e_i)_k &= \delta_{ik} +\end{align*} +sind orthonormiert: +\begin{align*} +\langle e_i,e_j\rangle +&= +\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} += +\delta_{ij} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-16pt} +\begin{block}{Analyse} +$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: +\begin{align*} +\hat{x}_i += +\langle e_i,x\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k += +x_i +\end{align*} +(Fourier-Koeffizienten) +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex new file mode 100644 index 0000000..5e0bba9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% laplace.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Höhere Dimension} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\begin{block}{Problem} +Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet +\\ +Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$ +\end{block} +\begin{block}{Funktionen} +Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$ +mit $f_{|\partial\Omega}=0$ +\end{block} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x) +\] +\end{block} +\begin{block}{Laplace-Operator} +\[ +\Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\begin{block}{Selbstadjungiert} +\begin{align*} +\langle f,\Delta g\rangle +&= +\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x) +\\ +&= +\int_{\partial\Omega} +\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x) +\\ +&\qquad +- +\int_{\Omega} +\operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x) +\,d\mu(x) +\\ +&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x) +\\ +&= +\langle \Delta f,g\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex index 3caa54d..eaf8aaa 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -17,9 +17,12 @@ $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ \end{block} \begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} \begin{align*} -a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle +a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle +\\ +\hat{x}&=\mathcal{F}x \end{align*} \end{block} +\vspace{-10pt} \begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} \begin{align*} \tilde{x} @@ -29,6 +32,7 @@ a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle \sum_k \langle x,b_k\rangle b_k \end{align*} \end{block} +\vspace{-6pt} \begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} \begin{align*} \langle b_l,\tilde{x}\rangle @@ -67,7 +71,24 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \|\tilde{x}\|^2 &= \sum_k |\hat{x}_k|^2 += +\|\hat{x}\|_{l^2}^2 += +\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2 +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-12pt} +\begin{block}{Isometrie} +\begin{align*} +\mathcal{F} +\colon +H \to l^2 +\colon +x\mapsto \hat{x} \end{align*} +Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via +%Fourier-Transformation +$\mathcal{F}$ \end{block} \end{column} \end{columns} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex new file mode 100644 index 0000000..1a2bbbc --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +% +% qm.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Anwendung: Quantenmechanik} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zustände (Wellenfunktion)} +$L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ +\[ +\psi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{C} +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation} +\[ +|\psi(x)|^2 = \left\{ +\begin{minipage}{4.6cm}\raggedright +Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens +\end{minipage}\right. +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\[ +\langle\psi,\psi\rangle += +\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1 +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Messgrösse $A$} +Selbstadjungierter Operator $A$ +\\ +$\rightarrow$ +Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Überlagerung} +\begin{align*} +|\psi\rangle +&= +\sum_i +w_i|i\rangle +\\ +\langle \psi|\psi\rangle +&= +\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)} +\end{align*} +$|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$ +\end{block} +\begin{block}{Erwartungswert} +\begin{align*} +E(A) +&= +\sum_i |w_i|^2 \alpha_i += +\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i +\\ +&= +\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle += +\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle +\\ +&= +\sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j| +A|i\rangle += +\langle \psi| A |\psi\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex new file mode 100644 index 0000000..88c456c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% riesz.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Darstellungssatz von Riesz} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Dualraum} +$V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen +\[ +f\colon V\to \mathbb{C} +\] +\end{block} +\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$} +$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$, +Linearformen: +\begin{align*} +f(x) +&= +\sum_{i=0}^\infty f_ix_i +\\ +\|f\| +&= +\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1} +|f(x)| += +\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k| +\\ +\Rightarrow +l^{\infty*} +&= +l^1 +\qquad(\ne l^2) +\\ +&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\} +\end{align*} + +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$} +${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$ +\end{block} +\begin{theorem}[Riesz] +Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit +\[ +f(x) = \langle v,x\rangle +\quad\forall x\in H +\] +und $\|f\| = \|v\|$ +\end{theorem} +\begin{block}{Dualraum von $H$} +$H^*=H$ +\end{block} +Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale'' +Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$ +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..e2c26f5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex @@ -0,0 +1,96 @@ +% +% rieszbeispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Linearform auf $L^2$-Funktionen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearform auf $\mathbb{C}^n$} +\begin{align*} +{\color{blue}x}&=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}, +& +f({\color{blue}x}) +&= +\begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x} +\\ +{\color{red}v}&= +\rlap{$ +\begin{pmatrix} +\overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n +\end{pmatrix}^t +\;\Rightarrow\; +f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle +$} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$} +\begin{align*} +{\color{red}x}&\in L^2([a,b]) +\\ +f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C} +: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x}) +\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$} +f({\color{red}x}) +&= +\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope}[xshift=-3.5cm] +\def\s{0.058} +\foreach \n in {0,...,5}{ + \draw[color=red,line width=3pt] + ({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0); + \node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)}) + [above right] {$v_\n\mathstrut$}; + \draw[color=blue,line width=3pt] + ({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0); + \node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) + [above left] {$x_\n\mathstrut$}; +} +\draw[->] (-0.6,0) -- (6,0) coordinate[label={$n$}]; +\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}]; +\foreach \n in {0,...,5}{ + \fill (\n,0) circle[radius=0.08]; + \node at (\n,0) [below] {$\n$\strut}; +} +\node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=3.5cm] +\fill[color=red!40,opacity=0.5] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}) + -- + (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}) + -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}); +\node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$}; + +\draw[color=blue,line width=1.4pt] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}); +\node[color=blue] at (4.5,2) [right]{$v(t)$}; + +\draw[->] (-0.6,0) -- (6.0,0) coordinate[label={$t$}]; +\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}]; +\draw (0.0,-0.1) -- (0.0,0.1); +\node at (0.0,0) [below] {$a$\strut}; +\draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1); +\node at (5.0,0) [below] {$b$\strut}; +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex new file mode 100644 index 0000000..425c263 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% sobolev.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Sobolev-Raum} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vektorrraum $W$} +Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$ +\begin{itemize} +\item +$f\in L^2(\Omega)$ +\item +$\nabla f\in L^2(\Omega)$ +\item +homogene Randbedingungen: +$f_{|\partial \Omega}=0$ +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\begin{align*} +\langle f,g\rangle_W +&= +\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x) +\\ +&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x) +\\ +&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\dots +\end{block} +\begin{block}{Anwendung} +``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem'' +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex new file mode 100644 index 0000000..b7a44f8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex @@ -0,0 +1,87 @@ +% +% spektral.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Voraussetzungen} +\begin{itemize} +\item +Hilbertraum $H$ +\item +$A\colon H\to H$ linear +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Eigenwerte} +$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$ +\begin{align*} +\langle x,x\rangle +&= +\frac1{\lambda} +\langle x,\lambda x\rangle += +\frac1{\lambda} +\langle x,Ax\rangle +\\ +&= +\frac1{\lambda} +\langle Ax,x\rangle += +\frac{\overline{\lambda}}{\lambda} +\langle x,x\rangle +\\ +\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 +\quad\Rightarrow\quad +\overline{\lambda} = \lambda +\quad\Rightarrow\quad +\lambda\in\mathbb{R} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthogonalität} +$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$ +\begin{align*} +\langle u,v\rangle +&= +\frac{1}{\mu} +\langle \mu u,v\rangle += +\frac{1}{\mu} +\langle Au,v\rangle +\\ +&= +\frac{1}{\mu} +\langle u,Av\rangle += +\frac{1}{\mu} +\langle u,\lambda v\rangle += +\frac{\lambda}{\mu} +\langle u,v\rangle +\\ +\Rightarrow +\; +0 +&= +\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0} +\langle u,v\rangle +\;\Rightarrow\; +\langle u,v\rangle = 0 +\end{align*} +EV zu verschiedenen EW sind orthogonal +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Spektralsatz} +Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$ +\end{block} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex new file mode 100644 index 0000000..1d772d6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% sturm.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Sturm-Liouville-Problem} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Wellengleichung} +Saite mit variabler Massedichte führt auf die DGL +\[ +-y''(t) + q(t) y(t) = \lambda y(t), +\quad +q(t) > 0 +\] +mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Sturm-Liouville-Operator} +\[ +A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p +\] +auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten +\[ +f(0)=f(1)=0 +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Selbstadjungiert} +\begin{align*} +\langle f,Ag \rangle +&= +\langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle += +- +\int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt ++\langle f,qg\rangle +\\ +&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} ++\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt ++\langle f,qg\rangle +=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt ++\langle qf,g\rangle +\\ +&=\langle Af,g\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 680e1e763b8d899b3601b5ab0cf6f1fc2a114e1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 18:51:36 +0200 Subject: phases --- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex | 34 ++++++------ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex | 22 ++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex | 22 ++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex | 17 +++--- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 24 +++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 34 ++++++------ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex | 30 ++++++----- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 60 +++++++++++---------- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex | 50 +++++++++-------- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 32 +++++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex | 27 +++++++--- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex | 23 ++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 62 ++++++++++++---------- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex | 20 +++---- 14 files changed, 263 insertions(+), 194 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/2') diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex index afafab8..da41576 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex @@ -13,16 +13,16 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item +\item<2-> $A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$ -\item +\item<3-> \[ H\to\mathbb{C} : x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L \] ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$ -\item +\item<4-> Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit \[ \langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H @@ -30,22 +30,25 @@ Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit \forall x\in H \] \end{itemize} +\uncover<5->{% Die Abbildung \[ L\to H : y\mapsto v =: A^*y \] -heisst {\em adjungierte Abbildung} +heisst {\em adjungierte Abbildung}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)} \[ A^* = \overline{A}^t \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-8pt} +\uncover<7->{% \begin{block}{Selbstabbildungen} Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ \[ @@ -55,24 +58,25 @@ Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ \quad \forall x,y\in H \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-8pt} +\uncover<9->{% \begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren} \[ A=A^* -\;\Leftrightarrow\; +\uncover<10->{\;\Leftrightarrow\; \langle x,Ay \rangle = -\langle A^*x,y \rangle -= -\langle Ax,y \rangle +\langle A^*x,y \rangle} +\uncover<11->{= +\langle Ax,y \rangle} \] -Matrizen: +\uncover<12->{Matrizen: \begin{itemize} -\item hermitesch -\item für reelle Hilberträume: symmetrisch -\end{itemize} -\end{block} +\item<13-> hermitesch +\item<14-> für reelle Hilberträume: symmetrisch +\end{itemize}} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex index 46c2320..022fa07 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex @@ -14,24 +14,27 @@ \begin{block}{Definition} Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn \begin{itemize} -\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ -\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist +\item<2-> $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ +\item<3-> Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist dicht: Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$ approximiert werden. \end{itemize} -Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel} +\uncover<4->{% +Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}} \end{block} +\uncover<5->{% \begin{block}{Endlichdimensional} Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Konstruktion} Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$ \begin{enumerate} -\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ -\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor +\item<7-> $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ +\item<8-> Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor \begin{align*} x\in V_k^{\perp} &= @@ -44,17 +47,18 @@ x\in H\;|\; x\perp V_k x\perp y\;\forall y\in V_k \} \end{align*} -\item $b_{k+1} = x/\|x\|$ +\item<9-> $b_{k+1} = x/\|x\|$ \[ \mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\} \] \end{enumerate} +\uncover<10->{% Wenn $H$ separabel ist, dann ist \[ \mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k \] -eine Hilbertbasis für $H$ -\end{block} +eine Hilbertbasis für $H$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex index ed0ab13..d101637 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex @@ -13,8 +13,8 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$} \begin{enumerate} -\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein -\item Sesquilineares Skalarprodukt +\item<2-> $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein +\item<3-> Sesquilineares Skalarprodukt \[ \langle \cdot,\cdot\rangle \colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle @@ -23,36 +23,40 @@ Dazugehörige Norm: \[ \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} \] -\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert +\item<4-> Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert \end{enumerate} -Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum} +\uncover<5->{% +Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum}} \end{block} +\uncover<6->{% \begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum} Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \begin{itemize} -\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: +\item<8-> $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass \[ \| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N \] -\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle +\item<9-> Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass \[ \|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N \] \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} \[ |\langle x,y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\| \] Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex index 7868cb4..202a7c5 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex @@ -11,6 +11,7 @@ \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.30\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Totale Energie} Hamilton-Funktion \begin{align*} @@ -21,7 +22,8 @@ H &= \frac{p^2}{2m} + V(x) \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Quantisierungsregel} \begin{align*} \text{Variable}&\to \text{Operator} @@ -30,22 +32,25 @@ x_k & \to x_k \\ p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.66\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Energie-Operator} \[ H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x) \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<5->{% \begin{block}{Eigenwertgleichung} \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t) \] Zeitunabhängige Schrödingergleichung -\end{block} +\end{block}} +\uncover<6->{% \begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung} \[ -\frac{\hbar}{i} @@ -54,8 +59,8 @@ Zeitunabhängige Schrödingergleichung = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) \] -Eigenwertgleichung durch Separation von $t$ -\end{block} +\uncover<7->{Eigenwertgleichung durch Separation von $t$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex index e2f2262..bd744ab 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -13,46 +13,48 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item +\item<2-> Vektorraum: Funktionen \[ f\colon [a,b] \to \mathbb{C} \] -\item +\item<3-> Sesquilineares Skalarprodukt \[ \langle f,g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx \] -\item +\item<4-> Norm: \[ \|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx \] -\item Vollständigkeit? -$\rightarrow$ -Lebesgue Konvergenz-Satz +\item<5-> +Vollständigkeit? +\uncover<6->{$\rightarrow$ +Lebesgue Konvergenz-Satz} \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \begin{itemize} \item Funktioniert nicht für Riemann-Integral -\item +\item<8-> Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach Henri Lebesgue) -\item +\item<9-> Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen -\item +\item<10-> Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge unterscheiden -\item +\item<11-> Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index c030eb7..3ae44af 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -13,7 +13,7 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen +\item<2-> Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = @@ -21,15 +21,15 @@ l^2 (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty \biggr\} \] -\item Skalarprodukt: +\item<3-> Skalarprodukt: \begin{align*} \langle x,y\rangle &= \sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, & -\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\uncover<4->{\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2} \end{align*} -\item Vollständigkeit, +\item<5-> Vollständigkeit, Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung \[ \biggl| @@ -43,37 +43,39 @@ Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Standardbasisvektoren} \begin{align*} e_i &= (0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) \\ -(e_i)_k &= \delta_{ik} +\uncover<7->{(e_i)_k &= \delta_{ik}} \end{align*} -sind orthonormiert: +\uncover<8->{sind orthonormiert: \begin{align*} \langle e_i,e_j\rangle &= \sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} -= -\delta_{ij} -\end{align*} -\end{block} +\uncover<9->{= +\delta_{ij}} +\end{align*}} +\end{block}} \vspace{-16pt} +\uncover<10->{% \begin{block}{Analyse} $x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: \begin{align*} \hat{x}_i = \langle e_i,x\rangle -&= -\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k -= -x_i +&\uncover<11->{= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k} +\uncover<12->{= +x_i} \end{align*} -(Fourier-Koeffizienten) -\end{block} +\uncover<13->{(Fourier-Koeffizienten)} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex index 5e0bba9..8f6b196 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex @@ -16,46 +16,50 @@ Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet \\ Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Funktionen} Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$ mit $f_{|\partial\Omega}=0$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Skalarprodukt} \[ \langle f,g\rangle = \int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x) \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<4->{% \begin{block}{Laplace-Operator} \[ \Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{Selbstadjungiert} \begin{align*} \langle f,\Delta g\rangle -&= -\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<6->{= +\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x)} \\ -&= +&\uncover<7->{= \int_{\partial\Omega} -\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x) +\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x)} \\ -&\qquad +&\uncover<7->{\qquad - \int_{\Omega} \operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x) -\,d\mu(x) +\,d\mu(x)} \\ -&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<8->{=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x)} \\ -&= -\langle \Delta f,g\rangle +&\uncover<9->{= +\langle \Delta f,g\rangle} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex index eaf8aaa..73dd46b 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -15,24 +15,27 @@ $H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} \begin{align*} a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle \\ -\hat{x}&=\mathcal{F}x +\uncover<3->{\hat{x}&=\mathcal{F}x} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} \begin{align*} \tilde{x} &= \sum_k a_k b_k -= -\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k +\uncover<5->{= +\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-6pt} +\uncover<6->{% \begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} \begin{align*} \langle b_l,\tilde{x}\rangle @@ -40,18 +43,19 @@ a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle \biggl\langle b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \biggr\rangle -= -\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle -= -\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl} -= -\langle b_l,x\rangle -= -\hat{x}_l +\uncover<7->{= +\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle} +\uncover<8->{= +\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl}} +\uncover<9->{= +\langle b_l,x\rangle} +\uncover<10->{= +\hat{x}_l} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<11->{% \begin{block}{Plancherel-Gleichung} \begin{align*} \|\tilde{x}\|^2 @@ -63,21 +67,23 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \sum_l \hat{x}_lb_l \biggr\rangle \\ -&= -\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle -= -\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl} +&\uncover<12->{= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle} +\uncover<13->{= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl}} \\ +\uncover<14->{ \|\tilde{x}\|^2 &= -\sum_k |\hat{x}_k|^2 -= -\|\hat{x}\|_{l^2}^2 -= -\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2 +\sum_k |\hat{x}_k|^2} +\uncover<15->{= +\|\hat{x}\|_{l^2}^2} +\uncover<16->{= +\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-12pt} +\uncover<17->{% \begin{block}{Isometrie} \begin{align*} \mathcal{F} @@ -86,10 +92,10 @@ H \to l^2 \colon x\mapsto \hat{x} \end{align*} -Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via +\uncover<18->{Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via %Fourier-Transformation -$\mathcal{F}$ -\end{block} +$\mathcal{F}$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex index 1a2bbbc..a108121 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex @@ -18,6 +18,7 @@ $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ \] \end{block} \vspace{-6pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation} \[ |\psi(x)|^2 = \left\{ @@ -25,24 +26,27 @@ $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens \end{minipage}\right. \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-6pt} +\uncover<3->{% \begin{block}{Skalarprodukt} \[ \langle\psi,\psi\rangle = \int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1 \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-6pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Messgrösse $A$} Selbstadjungierter Operator $A$ \\ -$\rightarrow$ -Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ -\end{block} +\uncover<5->{$\rightarrow$ +Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Überlagerung} \begin{align*} |\psi\rangle @@ -50,32 +54,36 @@ Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ \sum_i w_i|i\rangle \\ -\langle \psi|\psi\rangle +\uncover<7->{\langle \psi|\psi\rangle &= -\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)} +\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)}} \end{align*} +\uncover<8->{% $|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$ -\end{block} +} +\end{block}} +\uncover<9->{% \begin{block}{Erwartungswert} \begin{align*} E(A) -&= -\sum_i |w_i|^2 \alpha_i -= -\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i +&\uncover<10->{= +\sum_i |w_i|^2 \alpha_i} +\uncover<11->{= +\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i } +\hspace{5cm} \\ -&= -\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle -= -\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle +&\only<12>{= +\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle} +\uncover<13->{= +\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle} \\ -&= +&\uncover<14->{= \sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j| -A|i\rangle -= -\langle \psi| A |\psi\rangle +A|i\rangle} +\uncover<15->{= +\langle \psi| A |\psi\rangle} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex index 88c456c..437fb3c 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex @@ -17,36 +17,44 @@ $V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen f\colon V\to \mathbb{C} \] \end{block} +\uncover<3->{% \begin{block}{Beispiel: $l^\infty$} $l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$, Linearformen: \begin{align*} +\uncover<4->{ f(x) &= -\sum_{i=0}^\infty f_ix_i +\sum_{i=0}^\infty f_ix_i} \\ +\uncover<5->{ \|f\| &= \sup_{\|x\|_{\infty}\le 1} -|f(x)| -= -\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k| +|f(x)|} +\uncover<6->{= +\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|} \\ +\uncover<7->{ \Rightarrow l^{\infty*} &= -l^1 -\qquad(\ne l^2) +l^1} +\uncover<9->{\qquad(\ne l^2)} \\ +\uncover<8->{ &=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$} ${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{theorem}[Riesz] Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit \[ @@ -54,12 +62,14 @@ f(x) = \langle v,x\rangle \quad\forall x\in H \] und $\|f\| = \|v\|$ -\end{theorem} +\end{theorem}} +\uncover<11->{% \begin{block}{Dualraum von $H$} $H^*=H$ -\end{block} +\end{block}}% +\uncover<12->{% Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale'' -Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$ +Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex index e2c26f5..de9383f 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex @@ -19,30 +19,33 @@ f({\color{blue}x}) &= \begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x} \\ +\uncover<2->{ {\color{red}v}&= \rlap{$ \begin{pmatrix} \overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n \end{pmatrix}^t -\;\Rightarrow\; -f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle -$} +\uncover<3->{\;\Rightarrow\; +f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle} +$}} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$} \begin{align*} {\color{red}x}&\in L^2([a,b]) \\ +\uncover<5->{ f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C} -: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x}) -\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$} -f({\color{red}x}) +: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x})} +\intertext{\uncover<6->{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$}} +\uncover<7->{f({\color{red}x}) &= -\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt +\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \begin{center} @@ -50,10 +53,12 @@ f({\color{red}x}) \begin{scope}[xshift=-3.5cm] \def\s{0.058} \foreach \n in {0,...,5}{ +\uncover<3->{ \draw[color=red,line width=3pt] ({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0); \node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)}) [above right] {$v_\n\mathstrut$}; +} \draw[color=blue,line width=3pt] ({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0); \node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) @@ -67,17 +72,22 @@ f({\color{red}x}) } \node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut}; \end{scope} +\uncover<4->{ \begin{scope}[xshift=3.5cm] +\uncover<7->{ \fill[color=red!40,opacity=0.5] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}) -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +} \fill[color=blue!40,opacity=0.5] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}) -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\uncover<7->{ \draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}); \node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$}; +} \draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}); @@ -90,6 +100,7 @@ f({\color{red}x}) \draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1); \node at (5.0,0) [below] {$b$\strut}; \end{scope} +} \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex index 425c263..828d34d 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex @@ -14,34 +14,37 @@ \begin{block}{Vektorrraum $W$} Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$ \begin{itemize} -\item +\item<2-> $f\in L^2(\Omega)$ -\item +\item<3-> $\nabla f\in L^2(\Omega)$ -\item +\item<4-> homogene Randbedingungen: $f_{|\partial \Omega}=0$ \end{itemize} \end{block} +\uncover<5->{% \begin{block}{Skalarprodukt} \begin{align*} \langle f,g\rangle_W -&= -\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<6->{= +\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)} \\ -&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<7->{\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)} \\ -&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)} +&\uncover<8->{=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<9->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \dots -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Anwendung} ``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem'' -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex index b7a44f8..b561b69 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex @@ -19,69 +19,73 @@ Hilbertraum $H$ $A\colon H\to H$ linear \end{itemize} \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Eigenwerte} $x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$ \begin{align*} -\langle x,x\rangle +\uncover<3->{\langle x,x\rangle &= \frac1{\lambda} -\langle x,\lambda x\rangle -= +\langle x,\lambda x\rangle} +\uncover<3->{= \frac1{\lambda} -\langle x,Ax\rangle +\langle x,Ax\rangle} \\ -&= +&\uncover<4->{= \frac1{\lambda} -\langle Ax,x\rangle -= +\langle Ax,x\rangle} +\uncover<5->{= \frac{\overline{\lambda}}{\lambda} -\langle x,x\rangle +\langle x,x\rangle} \\ -\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 -\quad\Rightarrow\quad -\overline{\lambda} = \lambda +\uncover<6->{\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 \quad\Rightarrow\quad -\lambda\in\mathbb{R} +\overline{\lambda} = \lambda} +\uncover<7->{\quad\Rightarrow\quad +\lambda\in\mathbb{R}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Orthogonalität} $u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$ \begin{align*} +\uncover<9->{ \langle u,v\rangle &= \frac{1}{\mu} -\langle \mu u,v\rangle -= +\langle \mu u,v\rangle} +\uncover<10->{= \frac{1}{\mu} -\langle Au,v\rangle +\langle Au,v\rangle} \\ -&= +&\uncover<11->{= \frac{1}{\mu} -\langle u,Av\rangle -= +\langle u,Av\rangle} +\uncover<12->{= \frac{1}{\mu} -\langle u,\lambda v\rangle -= +\langle u,\lambda v\rangle} +\uncover<13->{= \frac{\lambda}{\mu} -\langle u,v\rangle +\langle u,v\rangle} \\ -\Rightarrow +\uncover<14->{\Rightarrow \; 0 &= \underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0} -\langle u,v\rangle -\;\Rightarrow\; -\langle u,v\rangle = 0 +\langle u,v\rangle} +\uncover<15->{\;\Rightarrow\; +\langle u,v\rangle = 0} \end{align*} -EV zu verschiedenen EW sind orthogonal -\end{block} +\uncover<16->{EV zu verschiedenen EW sind orthogonal} +\end{block}} \end{column} \end{columns} +\uncover<17->{% \begin{block}{Spektralsatz} Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$ -\end{block} +\end{block}} \end{frame} \egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex index 1d772d6..a6865ab 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex @@ -22,6 +22,7 @@ mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Sturm-Liouville-Operator} \[ A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p @@ -30,27 +31,28 @@ auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten \[ f(0)=f(1)=0 \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} +\uncover<3->{% \begin{block}{Selbstadjungiert} \begin{align*} \langle f,Ag \rangle -&= +&\uncover<4->{= \langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle = - \int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt -+\langle f,qg\rangle ++\langle f,qg\rangle} \\ -&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} +&\uncover<5->{=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} +\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt -+\langle f,qg\rangle -=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt -+\langle qf,g\rangle ++\langle f,qg\rangle} +\uncover<6->{=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt ++\langle qf,g\rangle} \\ -&=\langle Af,g\rangle +&\uncover<7->{=\langle Af,g\rangle} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{frame} \egroup -- cgit v1.2.1