From ccac1b9539544b1f782ea8351dea314512d19c4b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 7 Mar 2021 22:01:23 +0100
Subject: add new slides

---
 vorlesungen/slides/4/Makefile.inc     |  2 ++
 vorlesungen/slides/4/chapter.tex      |  2 ++
 vorlesungen/slides/4/divisionpoly.tex | 37 +++++++++++++++++++++++
 vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex   | 57 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
 4 files changed, 98 insertions(+)
 create mode 100644 vorlesungen/slides/4/divisionpoly.tex
 create mode 100644 vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex

(limited to 'vorlesungen/slides/4')

diff --git a/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc
index 4eae5b0..13de58c 100644
--- a/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/4/Makefile.inc
@@ -13,5 +13,7 @@ chapter4 =								\
 	../slides/4/division.tex					\
 	../slides/4/gauss.tex						\
 	../slides/4/dh.tex						\
+	../slides/4/divisionpoly.tex					\
+	../slides/4/polynomefp.tex					\
 	../slides/4/chapter.tex
 
diff --git a/vorlesungen/slides/4/chapter.tex b/vorlesungen/slides/4/chapter.tex
index 38e90eb..84b1f8f 100644
--- a/vorlesungen/slides/4/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/4/chapter.tex
@@ -11,3 +11,5 @@
 \folie{4/division.tex}
 \folie{4/gauss.tex}
 \folie{4/dh.tex}
+\folie{4/divisionpoly.tex}
+\folie{4/polynomefp.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/4/divisionpoly.tex b/vorlesungen/slides/4/divisionpoly.tex
new file mode 100644
index 0000000..5e71c95
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/4/divisionpoly.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+%
+% divisionpoly.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Polynomdivision in $\mathbb{F}_3[X]$}
+Rechenregeln in $\mathbb{F}_3$: $1+2=0$, $2\cdot 2 = 1$
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrcrcrcrc}
+\llap{$ ($}X^4&+&X^3&+& X^2&+& X&+&1\rlap{$)$}&\;\;:&(X^2&+&X&+&2)&=&\uncover<2->{X^2}&\uncover<5->{+&2=q}\\
+\uncover<3->{\llap{$-($}X^4&+&X^3&+&2X^2\rlap{$)$}}& & & &           &     &    & & & &  & &   & &  &   \\
+\uncover<4->{              & &   & &2X^2&+& X&+& 1}        &     &    & & & &  & &   & &   \\
+\uncover<6->{              & &   & &\llap{$-($}2X^2&+&2X&+&          2\rlap{$)$}}&     &    & & & &  & &   & &   \\
+\uncover<7->{              & &   & &    & &2X&+&2\rlap{$\mathstrut=r$}&     &    & & & &  & &  &  &}
+\end{array}
+\]
+\uncover<8->{%
+Kontrolle:
+\[
+\arraycolsep=1.4pt
+\begin{array}{rclcrcr}
+(\underbrace{X^2+2}_{\displaystyle=q})
+(X^2+X+2)
+              &=&\rlap{$\uncover<9->{X^4+X^3+2X^2}\uncover<10->{ + 2X^2+2X+2}$}
+\\
+\uncover<11->{&=& X^4+X^3+X^2&+&2X&+&2}
+\\
+\uncover<12->{& &            &&\llap{$r=\mathstrut$}2X&+&2}
+\\
+\uncover<13->{&=& X^4+X^3+X^2&+&1X&+&1}
+\end{array}
+\]
+}
+
+\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex b/vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex
new file mode 100644
index 0000000..fe514dd
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/4/polynomefp.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% polynomefp.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\frametitle{Polynome über $\mathbb{F}_p[X]$}
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Polynomring}
+$\mathbb{F}_p[X]$ sind Polynome
+\[
+p(X)
+=
+a_0+a_1X+\dots+a_nX^n
+\]
+mit $a_i\in\mathbb{F}_p$.
+ObdA: $a_n=1$
+
+\end{block}
+\begin{block}{Irreduzible Polynome}
+$m(X)$ ist irreduzibel, wenn es keine Faktorisierung
+$m(X)=p(X)q(X)$ mit $p,q\in\mathbb{F}_p[X]$ gibt
+\end{block}
+\begin{block}{Rest modulo $m(X)$}
+$X^{n+k}$ kann immer reduziert werden:
+\[
+X^{n+k} = -(a_0+a_1X+\dots+a_{n-1}X^{n-1})X^k
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Körper $\mathbb{F}_p/(m(X))$}
+Wenn $m(X)$ irreduzibel ist, dann ist
+$\mathbb{F}_p[X]$ nullteilerfrei.
+\medskip
+
+$a\in \mathbb{F}_p[X]$ mit $\deg a < \deg m$, dann ist
+\begin{enumerate}
+\item
+$\operatorname{ggT}(a,m) = 1$
+\item
+Es gibt $s,t\in\mathbb{F}_p[X]$ mit
+\[
+s(X)m(X)+t(X)a(X) = 1
+\]
+(aus dem euklidischen Algorithmus)
+\item
+$a^{-1} = t(X)$
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.1