From 4d16eab7a381a8379bc139ed2744912683661bab Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 2 Mar 2021 21:25:06 +0100
Subject: add slides

---
 vorlesungen/slides/5/charpoly.tex | 68 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 68 insertions(+)
 create mode 100644 vorlesungen/slides/5/charpoly.tex

(limited to 'vorlesungen/slides/5/charpoly.tex')

diff --git a/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex b/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex
new file mode 100644
index 0000000..1211b43
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+%
+% charpoly.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Charakteristisches Polynom über $\mathbb{C}$}
+\vspace{-18pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Eigenwerte}
+Nur diejenigen $\mu$ kommen in Frage, für die
+$A-\mu I$ singulär ist:
+\[
+\chi_{A}(\mu)
+=
+\det (A-\mu I) = 0
+\]
+$\Rightarrow$ $\mu$ ist Nullstelle von $\chi_{A}(X)\in\mathbb{C}[X]$
+\end{block}
+\begin{block}{Zerlegung in Linearfaktoren}
+$\mu_1,\dots,\mu_n$ die Nullstellen von $\chi_A(X)$:
+\[
+\chi_A(X)
+=
+(X-\mu_1)\dots (X-\mu_n)
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Fundamentalsatz der Algebra}
+Über $\mathbb{C}$ zerfällt jedes Polynom in $\mathbb{C}[X]$ in
+Linearfaktoren
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Minimalpolynom}
+Alle Nullstellen von $\chi_A(X)$ müssen in $m_A(X)$ vorkommen
+\end{block}
+\begin{proof}[Beweis]
+\begin{enumerate}
+\item
+$m_A(X) = (X-\lambda) \prod_{i\in I}(X-\mu_i)$
+\item
+$A-\lambda I$ ist regulär
+\end{enumerate}
+\begin{align*}
+&\Rightarrow&
+m_A(A)&=0
+\\
+&&
+(A-\lambda)^{-1}m_A(A) &=0
+\\
+&&
+\prod_{i\in I}(A-\mu_i)&=0,
+\end{align*}
+d.~h.~\(
+\displaystyle
+\overline{m}_A(X)
+=
+\prod_i{i\in I}(X-\mu_i)
+\in
+\mathbb{C}[X]
+\)
+\end{proof}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.1


From 38f326c35243942285c43310751025d2c16801dd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 4 Mar 2021 20:30:33 +0100
Subject: Spektraltheorie 1. Teil

---
 vorlesungen/slides/5/charpoly.tex | 26 ++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 18 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'vorlesungen/slides/5/charpoly.tex')

diff --git a/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex b/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex
index 1211b43..63bfee5 100644
--- a/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex
+++ b/vorlesungen/slides/5/charpoly.tex
@@ -20,6 +20,7 @@ $A-\mu I$ singulär ist:
 \]
 $\Rightarrow$ $\mu$ ist Nullstelle von $\chi_{A}(X)\in\mathbb{C}[X]$
 \end{block}
+\uncover<2->{%
 \begin{block}{Zerlegung in Linearfaktoren}
 $\mu_1,\dots,\mu_n$ die Nullstellen von $\chi_A(X)$:
 \[
@@ -27,33 +28,42 @@ $\mu_1,\dots,\mu_n$ die Nullstellen von $\chi_A(X)$:
 =
 (X-\mu_1)\dots (X-\mu_n)
 \]
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
 \begin{block}{Fundamentalsatz der Algebra}
 Über $\mathbb{C}$ zerfällt jedes Polynom in $\mathbb{C}[X]$ in
 Linearfaktoren
-\end{block}
+\end{block}}
 \end{column}
 \begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
 \begin{block}{Minimalpolynom}
 Alle Nullstellen von $\chi_A(X)$ müssen in $m_A(X)$ vorkommen
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
 \begin{proof}[Beweis]
 \begin{enumerate}
-\item
+\item<6->
 $m_A(X) = (X-\lambda) \prod_{i\in I}(X-\mu_i)$
-\item
+\item<7->
 $A-\lambda I$ ist regulär
 \end{enumerate}
+\uncover<8->{%
 \begin{align*}
 &\Rightarrow&
 m_A(A)&=0
 \\
 &&
+\uncover<9->{
 (A-\lambda)^{-1}m_A(A) &=0
+}
 \\
 &&
+\uncover<10->{
 \prod_{i\in I}(A-\mu_i)&=0,
-\end{align*}
+}
+\end{align*}}
+\uncover<11->{%
 d.~h.~\(
 \displaystyle
 \overline{m}_A(X)
@@ -61,8 +71,8 @@ d.~h.~\(
 \prod_i{i\in I}(X-\mu_i)
 \in
 \mathbb{C}[X]
-\)
-\end{proof}
+\)}
+\end{proof}}
 \end{column}
 \end{columns}
 \end{frame}
-- 
cgit v1.2.1