From 1a026e2f7deb2e890c2d3751fc7bae0f37eac3de Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 11 Mar 2021 18:49:40 +0100
Subject: spectrum slides

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 vorlesungen/slides/5/spektrum.tex | 63 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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new file mode 100644
index 0000000..f427c9a
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/5/spektrum.tex
@@ -0,0 +1,63 @@
+%
+% spektrum.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Spektrum}
+\vspace{-15pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+$A\colon V\to V$ beschränkter Operator zwischen Banach-Räumen
+\[
+\operatorname{Sp}A
+=
+\left\{
+\lambda\in\mathbb{C}
+\;\left|\;
+\begin{minipage}{2cm}\raggedright
+$A-\lambda I$ nicht invertierbar
+\end{minipage}
+\right.
+\right\}
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Endlichdimensionale Räume}
+\vspace{-15pt}
+\begin{align*}
+&\lambda\in\operatorname{Sp}A
+\\
+\Leftrightarrow\quad&\text{$(A-\lambda I)$ nicht invertierbar}
+\\
+\Leftrightarrow\quad&\text{$(A-\lambda I)$ singulär}
+\\
+\Leftrightarrow\quad&\ker(A-\lambda I)\ne 0
+\\
+\Leftrightarrow\quad&\exists v\in V, v\ne 0, Av=\lambda v
+\end{align*}
+$\Rightarrow$ $\operatorname{Sp}A$ ist die Menge der Eigenwerte
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Unendlichdimensional}
+Es gibt eine Folge $x_n\in V$ von Einheitsvektoren
+$\|x_n\|=1$
+mit
+\begin{align*}
+\lim_{n\to\infty} (A - \lambda)x_n &= 0
+\end{align*}
+\end{block}
+\begin{block}{Spektrum und Norm}
+\[
+\operatorname{Sp}(A)
+\subset
+\{\lambda\in\mathbb{C}\;|\;
+|\lambda|\le \|A\|\}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
-- 
cgit v1.2.1

