From 46b59ac97cabd9cadde42fe8662c1cb7af585cdb Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 19 Apr 2021 20:49:04 +0200
Subject: add new slides

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 vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex | 77 +++++++++++++++++++++++++
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index 0000000..6e36d1d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% zyklisch.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Beispiel: Zyklische Gruppen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Gruppe}
+\(
+C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
+\)
+\end{block}
+\begin{block}{Darstellungen von $C_n$}
+Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$,
+\[
+\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-10pt}
+\begin{block}{Charaktere}
+\vspace{-10pt}
+\[
+\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n}
+\]
+haben Skalarprodukte
+\[
+\langle \chi_k,\chi_{k'}\rangle
+=
+\begin{cases}
+1&\quad k= k'\\
+0&\quad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Orthonormalbasis}
+Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$
+\end{block}
+\vspace{-4pt}
+\begin{block}{Analyse einer Darstellung}
+$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung,
+$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen:
+\begin{align*}
+c_k
+&=
+\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n}
+\\
+\chi(l)
+&=
+\sum_{k} c_k \chi_k
+=
+\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n}
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-13pt}
+\begin{block}{Fourier-Theorie}
+\vspace{-3pt}
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\
+U(1)&Fourier-Reihen\\
+\mathbb{R}&Fourier-Integral
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
-- 
cgit v1.2.1

