From 46b59ac97cabd9cadde42fe8662c1cb7af585cdb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 19 Apr 2021 20:49:04 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex | 108 +++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex | 59 +++++++++++ vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex | 43 ++++++++ vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex | 45 +++++++++ .../slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex | 39 ++++++++ vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex | 82 ++++++++++++++++ vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex | 77 +++++++++++++++ 7 files changed, 453 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex (limited to 'vorlesungen/slides/6/darstellungen') diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex new file mode 100644 index 0000000..ea90b6d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/charakter.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% +% chrakter.tex -- Charakter einer Darstellung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Charakter einer Darstellung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\begin{block}{Definition} +$\varrho\colon G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ eine Darstellung. +\\ +Der {\em Charakter} von $\varrho$ ist die Abbildung +\[ +\chi_{\varrho} +\colon +G\to \mathbb{C}^n +: +g\mapsto \chi_{\varrho}(g)=\operatorname{Spur}\varrho(g) +\] +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Eigenschaften} +\begin{enumerate} +\item +$\chi_{\varrho}(e) = n$ +\item<6-> +$\chi_{\varrho}(g^{-1}) = \overline{\chi_{\varrho}(g)}$ +\item<15-> +$\chi_{\varrho}(hgh^{-1}) = \chi_{\varrho}(g)$ +\end{enumerate} +\uncover<21->{% +Aus 3. folgt, dass Charaktere {\em Klassenfunktionen} sind} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Begründung} +\begin{enumerate} +\item<3-> +$\chi_{\varrho}(e) += +\operatorname{Spur}\varrho(e) +\uncover<4->{= +\operatorname{Spur}I_n} +\uncover<5->{= +n} +$ +\item<6-> +$g$ hat endliche Ordnung, d.~h.~$g^k=e$ +\\ +\uncover<7->{% +$\lambda_i$ in der Jordan-NF erfüllen $\lambda_i^k=1$} +\\ +$\uncover<8->{\Rightarrow|\lambda_i|=1} +\uncover<9->{\Rightarrow \lambda_i^{-1} = \overline{\lambda_i}}$ +\begin{align*} +\uncover<10->{ +\llap{$\chi_{\varrho}(g^{-1})$} +&= +\operatorname{Spur}(\varrho(g^{-1}))} +\uncover<11->{= +\sum_{i} n_i\overline{\lambda_i}} +\\[-4pt] +&\uncover<12->{= +\overline{ +\sum_{i} n_i\lambda_i +}} +\uncover<13->{= +\operatorname{Spur}\varrho(g)} +\uncover<14->{= +\chi_{\varrho}(g)} +\end{align*} +\item<16-> +Durch Nachrechnen: +\begin{align*} +\chi_{\varrho}(hgh^{-1}) +&\uncover<17->{= +\operatorname{Spur} +( +\varrho(h) +\varrho(g) +\varrho(h^{-1}) +)} +\\ +&\uncover<18->{= +\operatorname{Spur} +( +\varrho(h^{-1}) +\varrho(h) +\varrho(g) +)} +\\ +&\uncover<19->{= +\operatorname{Spur}\varrho(g)} +\uncover<20->{= +\chi_{\varrho}(g)} +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex new file mode 100644 index 0000000..9d93e7f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/definition.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% definition.tex -- Definition einer Darstellung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Darstellung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +$G$ eine Gruppe, $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum. +\\ +\uncover<2->{% +Ein Homomorphismus +\[ +\varrho +\colon +G\to \operatorname{GL}(V) +\] +heisst {\em $n$-dimensionale Darstellung} der Gruppe $G$.} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Idee} +Algebra und Analysis in $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ nutzen, um +mehr über $G$ herauszufinden +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Beispiel $S_n$} +$S_n$ die symmetrische Gruppe, +$\sigma\mapsto A_{\tilde{f}}$ die +Abbildung auf die zugehörige Permutationsmatrix +ist eine $n$-dimensionale Darstellung von $S_n$ +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Beispiel Matrizengruppe} +Eine Matrizengruppe $G$ ist eine Teilmenge von $M_n(\Bbbk)$. +\\ +\uncover<6->{% +$g\in G \Rightarrow g^{-1}\in G$, daher $G\subset\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$} +\\ +\uncover<7->{% +Die Einbettung +\[ +G\to\operatorname{GL}_n(\Bbbk) +: +g \mapsto g +\] +ist eine Darstellung}\uncover<8->{, die sog.~{\em reguläre Darstellung}} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex new file mode 100644 index 0000000..6a6991e --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex @@ -0,0 +1,43 @@ +% +% irreduzibel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Irreduzible Darstellungen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Eine Darstellung $\varrho\colon G\to\operatorname{GL}(V)$ heisst +irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei +Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$) +gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$ +\end{block} +\begin{block}{Isomorphe Darstellungen} +$\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es +$f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit +\begin{align*} +f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g) +\\ +f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Lemma von Schur} +$\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass +$f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$. +Dann gilt +\begin{enumerate} +\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$ +\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ +\end{enumerate} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex new file mode 100644 index 0000000..69ce9ee --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +% +% schur.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Folgerungen aus Schurs Lemma} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Mittelung einer Abbildung} +$h\colon V_1\to V_2$ +\[ +h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g) +\] +\begin{enumerate} +\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$ +\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ +\end{enumerate} +\end{block} +\begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph} +$\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist +\[ +\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0 +\] +für alle $k,l,u,v$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso} +F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt +\[ +\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl} \varrho_2(g)_{uv} += +\frac1n +\] +und $=0$ sonst +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex new file mode 100644 index 0000000..653bdce --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +% +% skalarprodukt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Skalarprodukt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition des Skalarproduktes} +$\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$: +\[ +\langle \varphi,\psi\rangle += +\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \overline{\varphi(g)} \psi(g) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz} +\begin{enumerate} +\item +$\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung +$\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$. +\item +$\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen +$\Rightarrow$ +$\langle \chi,\chi'\rangle=0$ +\end{enumerate} +D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex new file mode 100644 index 0000000..9152e1f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +% +% Summe.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Direkte Summe} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gegeben} +Gegeben zwei Darstellungen +\begin{align*} +\varrho_1&\colon G \to \mathbb{C}^{n_1} +\\ +\varrho_2&\colon G \to \mathbb{C}^{n_2} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-12pt} +\begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +\varrho_1\oplus\varrho_2 +&\colon +G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2} +=: +\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2} +\\ +&\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g)) +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-12pt} +\begin{block}{Charakter} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +\chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g) +&= +\operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g) +\\ +&= +\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)} ++ +\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)} +\\ +&= +\chi_{\varrho_1}(g) ++ +\chi_{\varrho_2}(g) +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Tensorprodukt} +$n_1\times n_2$-dimensionale +Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix +\[ +\begin{pmatrix} +\varrho_1(g)_{11} \varrho_2(g) + &\dots + &\varrho_1(g)_{1n_1} \varrho_2(g)\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +\varrho_1(g)_{n_11} \varrho_2(g) + &\dots + &\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g) +\end{pmatrix} +\] +Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke +\end{block} +\begin{block}{Darstellungsring} +Die Menge der Darstellungen $R(G)$ einer Gruppe hat +einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$ +\\ +$\Rightarrow$ +Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex new file mode 100644 index 0000000..6e36d1d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% zyklisch.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiel: Zyklische Gruppen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gruppe} +\( +C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} +\) +\end{block} +\begin{block}{Darstellungen von $C_n$} +Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$, +\[ +\varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Charaktere} +\vspace{-10pt} +\[ +\chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n} +\] +haben Skalarprodukte +\[ +\langle \chi_k,\chi_{k'}\rangle += +\begin{cases} +1&\quad k= k'\\ +0&\quad\text{sonst} +\end{cases} +\] +Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthonormalbasis} +Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$ +\end{block} +\vspace{-4pt} +\begin{block}{Analyse einer Darstellung} +$\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung, +$\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen: +\begin{align*} +c_k +&= +\langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n} +\\ +\chi(l) +&= +\sum_{k} c_k \chi_k += +\sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-13pt} +\begin{block}{Fourier-Theorie} +\vspace{-3pt} +\begin{center} +\begin{tabular}{>{$}l<{$}l} +C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\ +U(1)&Fourier-Reihen\\ +\mathbb{R}&Fourier-Integral +\end{tabular} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 00871e6e102c6d77f9299cef29736ca422802089 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 22 Apr 2021 19:25:36 +0200 Subject: =?UTF-8?q?endliche=20gruppen=20Pr=C3=A4sentation?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex | 12 ++++--- vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex | 10 +++--- .../slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex | 7 ++-- vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex | 39 +++++++++++++--------- vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex | 25 +++++++++----- 5 files changed, 58 insertions(+), 35 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/6/darstellungen') diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex index 6a6991e..bfbd4a5 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex @@ -17,26 +17,30 @@ irreduzibel, wenn es keine Zerlegung von $\varrho$ in zwei Darstellungen $\varrho_i\colon G\to\operatorname{GL}(U_i)$ ($i=1,2$) gibt derart, dass $\varrho = \varrho_1\oplus\varrho_2$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Isomorphe Darstellungen} $\varrho_i$ sind {\em isomorphe} Darstellungen in $V_i$ wenn es $f\colon V_1\overset{\cong}{\to} V_2$ gibt mit \begin{align*} f \circ \varrho_i(g)\circ f^{-1} &= \varrho_2(g) \\ +\uncover<3->{% f \circ \varrho_i(g)\phantom{\mathstrut\circ f^{-1}}&= \varrho_2(g)\circ f +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Lemma von Schur} $\varrho_i$ zwei irreduzible Darstellungen und $f$ so, dass $f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$. Dann gilt \begin{enumerate} -\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$ -\item $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ +\item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$ +\item<6-> $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ \end{enumerate} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex index 69ce9ee..9f1db9e 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex @@ -17,19 +17,21 @@ $h\colon V_1\to V_2$ h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g) \] \begin{enumerate} -\item $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$ -\item $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ +\item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$ +\item<3-> $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ \end{enumerate} \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Matrixelemente für $\varrho_i$ nicht isomorph} $\varrho_i$ nicht isomorph, dann ist \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl}\varrho_2(g)_{uv}=0 \] für alle $k,l,u,v$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso} F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt \[ @@ -38,7 +40,7 @@ F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt \frac1n \] und $=0$ sonst -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex index 653bdce..46cc8e9 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/skalarprodukt.tex @@ -21,18 +21,21 @@ $\varphi$, $\psi$ komplexe Funktionen auf $G$: \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Satz} \begin{enumerate} \item $\chi$ der Charakter einer irrediziblen Darstellung $\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi\rangle=1$. -\item +\item<3-> $\chi$ und $\chi'$ Charaktere nichtisomorpher Darstellungen $\Rightarrow$ $\langle \chi,\chi'\rangle=0$ \end{enumerate} +\uncover<4->{% D.~h.~Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthonormiert -\end{block} +} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex index 9152e1f..3087b4a 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex @@ -20,39 +20,45 @@ Gegeben zwei Darstellungen \end{align*} \end{block} \vspace{-12pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Direkte Summe der Darstellungen} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \begin{align*} \varrho_1\oplus\varrho_2 &\colon -G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2} -=: -\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2} +G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} +\only<3>{ += \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}} +\uncover<4->{=: +\mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}} +\hspace*{5cm} \\ &\colon g\mapsto (\varrho_1(g),\varrho_2(g)) \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-12pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Charakter} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \begin{align*} \chi_{\varrho_1\oplus\varrho_2}(g) &= \operatorname{Spur}(\varrho_1\oplus\varrho_2)(g) \\ -&= +&\uncover<6->{= \operatorname{Spur}{\varrho_1(g)} + -\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)} +\operatorname{Spur}{\varrho_1(g)}} \\ -&= +&\uncover<7->{= \chi_{\varrho_1}(g) + -\chi_{\varrho_2}(g) +\chi_{\varrho_2}(g)} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Tensorprodukt} $n_1\times n_2$-dimensionale Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix @@ -67,15 +73,16 @@ Darstellung $\varrho_1\otimes\varrho_2$ mit Matrix &\varrho_1(g)_{n_1n_1} \varrho_2(g) \end{pmatrix} \] -Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke -\end{block} +\uncover<9->{Die ``Einträge'' sind $n_2\times n_2$-Blöcke} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Darstellungsring} Die Menge der Darstellungen $R(G)$ einer Gruppe hat einer Ringstruktur mit $\oplus$ und $\otimes$ \\ -$\Rightarrow$ -Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden -\end{block} +\uncover<11->{$\Rightarrow$ +Algebra zum Studium der möglichen Darstellungen von $G$ verwenden} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex index 6e36d1d..312d0e8 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/zyklisch.tex @@ -16,15 +16,17 @@ C_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Darstellungen von $C_n$} Gegeben durch $\varrho_k(1)=e^{2\pi i k/n}$, \[ \varrho_k(l) = e^{2\pi ikl/n} \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<3->{ \begin{block}{Charaktere} -\vspace{-10pt} +%\vspace{-10pt} \[ \chi_k(l) = e^{2\pi ikl/n} \] @@ -38,13 +40,15 @@ haben Skalarprodukte \end{cases} \] Die Darstellungen $\chi_k$ sind nicht isomorph -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{Orthonormalbasis} Die Funktionen $\chi_k$ bilden eine Orthonormalbasis von $L^2(C_n)$ -\end{block} +\end{block}} \vspace{-4pt} +\uncover<6->{% \begin{block}{Analyse einer Darstellung} $\varrho\colon C_n\to \mathbb{C}^n$ eine Darstellung, $\chi_\varrho$ der Charakter lässt zerlegen: @@ -53,24 +57,27 @@ c_k &= \langle \chi_k, \chi\rangle = \frac{1}{n} \sum_{l} \chi_k(l) e^{-2\pi ilk/n} \\ +\uncover<7->{ \chi(l) &= \sum_{k} c_k \chi_k = \sum_{k} c_k e^{2\pi ikl/n} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-13pt} +\uncover<8->{% \begin{block}{Fourier-Theorie} \vspace{-3pt} \begin{center} \begin{tabular}{>{$}l<{$}l} -C_n&Diskrete Fourier-Theorie\\ -U(1)&Fourier-Reihen\\ -\mathbb{R}&Fourier-Integral +\uncover<9->{C_n&Diskrete Fourier-Theorie}\\ +\uncover<10->{U(1)&Fourier-Reihen}\\ +\uncover<11->{\mathbb{R}&Fourier-Integral} \end{tabular} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 83d6ca9fc6c0ba6b636dee64e8569d42023276ad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 23 Apr 2021 08:32:30 +0200 Subject: slides session 9+10 --- vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen/slides/6/darstellungen') diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex index 3087b4a..b0d193f 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/summe.tex @@ -27,7 +27,7 @@ Gegeben zwei Darstellungen \varrho_1\oplus\varrho_2 &\colon G\to \mathbb{C}^{n_1+n_2} -\only<3>{ +\only<3|handout:0>{ = \mathbb{C}^{n_1}\times\mathbb{C}^{n_2}} \uncover<4->{=: \mathbb{C}^{n_1}\oplus\mathbb{C}^{n_2}} -- cgit v1.2.1 From 53d5384509236011083c6f523da189568c838fdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 23 Apr 2021 21:21:16 +0200 Subject: add title slides for presentations --- vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex | 2 +- vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex | 6 +++--- 2 files changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/6/darstellungen') diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex index bfbd4a5..91d8a18 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/irreduzibel.tex @@ -38,7 +38,7 @@ $f\circ \varrho_1(g)=\varrho_2(g)\circ f$ für alle $g$. Dann gilt \begin{enumerate} \item<5-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $f=0$ -\item<6-> $V_1=V_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ +\item<6-> $V_1=V_2,\varrho_1=\varrho_2$ $\Rightarrow$ $f=\lambda I$ \end{enumerate} \end{block}} \end{column} diff --git a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex index 9f1db9e..144de4c 100644 --- a/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex +++ b/vorlesungen/slides/6/darstellungen/schur.tex @@ -14,11 +14,11 @@ \begin{block}{Mittelung einer Abbildung} $h\colon V_1\to V_2$ \[ -h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ f \circ \varrho_1(g) +h^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_2(g)^{-1} \circ h \circ \varrho_1(g) \] \begin{enumerate} \item<2-> $\varrho_i$ nicht isomorph $\Rightarrow$ $h^G=0$ -\item<3-> $V_1=V_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ +\item<3-> $V_1=V_2,\varrho_1=\varrho_2$, $h^G = \frac1n\operatorname{Spur}h$ \end{enumerate} \end{block} \uncover<4->{% @@ -33,7 +33,7 @@ für alle $k,l,u,v$ \begin{column}{0.48\textwidth} \uncover<5->{% \begin{block}{Matrixelemente $V_1=V_2$, $\varrho_i$ iso} -F¨r $k=v$ und $l=u$ gilt +Für $k=v$ und $l=u$ gilt \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \varrho_1(g^{-1})_{kl} \varrho_2(g)_{uv} = -- cgit v1.2.1