From 1fb743df08b0734932d510c6b11405d0a2dbbe47 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sat, 10 Apr 2021 19:57:13 +0200
Subject: new slides

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 vorlesungen/slides/7/algebraisch.tex | 105 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
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new file mode 100644
index 0000000..5b33566
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/7/algebraisch.tex
@@ -0,0 +1,105 @@
+%
+% algebraisch.tex -- algebraische Definition der Symmetrien
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Erhaltungsgrössen und Algebra}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Längen und Winkel}
+Längenmessung mit Skalarprodukt
+\begin{align*}
+\|\vec{v}\|^2
+&=
+\langle \vec{v},\vec{v}\rangle
+=
+\vec{v}\cdot \vec{v}
+=
+\vec{v}^t\vec{v}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Flächeninhalt/Volumen}
+$n$ Vektoren $V=(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)$
+\\
+Volumen des Parallelepipeds: $\det V$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+%
+\vspace{-7pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Längenerhaltende Transformationen}
+$A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+\begin{align*}
+\vec{x}^t\vec{y}
+&=
+(A\vec{x})
+\cdot
+(A\vec{y})
+=
+(A\vec{x})^t
+(A\vec{y})
+\\
+\vec{x}^tI\vec{y}
+&=
+\vec{x}^tA^tA\vec{y}
+\Rightarrow I=A^tA
+\end{align*}
+Begründung: $\vec{e}_i^t B \vec{e}_j = b_{ij}$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Volumenerhaltende Transformationen}
+$A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+\begin{align*}
+\det(V)
+&=
+\det(AV)
+=
+\det(A)\det(V)
+\\
+1&=\det(A)
+\end{align*}
+(Produktsatz für Determinante)
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+%
+\vspace{-3pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Orthogonale Matrizen}
+Längentreue Abbildungen = orthogonale Matrizen:
+\[
+O(n)
+=
+\{
+A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
+\;|\;
+A^tA=I
+\}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{``Spezielle'' Matrizen}
+Volumen-/Orientierungserhaltende Transformationen:
+\[
+\operatorname{SL}_n(\mathbb R) 
+=
+\{ A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \;|\; \det A = 1\}
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+\egroup
-- 
cgit v1.2.1