From 4aa6200c8c18b9bb70e97d07e6d846d392459cd0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 27 May 2021 09:49:53 +0200 Subject: laplace basis slides --- vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 19 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 19 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex (limited to 'vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex') diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex new file mode 100644 index 0000000..4bd507b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +% +% fourier.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Fourier} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 869af42fd6421de39f60c921295b7636a721cdb2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 27 May 2021 10:16:20 +0200 Subject: Fourier-Transformation --- vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 59 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex') diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex index 4bd507b..6b44fb8 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -7,12 +7,70 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Fourier} +\frametitle{Fourier-Transformation} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Aufgabe} +Gegeben: Funktion $f$ auf dem Graphen +\\ +Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis +\end{block} +\begin{block}{Definition $\chi$-Matrix} +Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture} +\node at (-1.9,0) [left] {$\chi=\mathstrut$}; +\node at (0,0) {$\left(\raisebox{0pt}[1.7cm][1.7cm]{\hspace{3.5cm}}\right)$}; + +\fill[color=blue!20] (-1.7,-1.7) rectangle (-1.1,1.7); +\draw[color=blue] (-1.7,-1.7) rectangle (-1.1,1.7); +\node at (-1.4,0) [rotate=90] {$v_1=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_1$\strut}; + +\fill[color=blue!20] (-1.0,-1.7) rectangle (-0.4,1.7); +\draw[color=blue] (-1.0,-1.7) rectangle (-0.4,1.7); +\node at (-0.7,0) [rotate=90] {$v_2=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_2$\strut}; + +\fill[color=blue!20] (1.1,-1.7) rectangle (1.7,1.7); +\draw[color=blue] (1.1,-1.7) rectangle (1.7,1.7); +\node at (1.4,0) [rotate=90] {$v_n=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_n$\strut}; + +\node at (0.4,0) {$\dots$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Transformation} +$L$ symmetrisch +\\ +$\Rightarrow$ +Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden +\\ +$\Rightarrow$ +Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden: +\[ +\hat{f}(k) += +\langle v_k, f\rangle +\quad\Rightarrow\quad +\hat{f} += +\chi^tf +\] +$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation} +\end{block} +\begin{block}{Rücktransformation} +Eigenvektoren orthonormiert +\\ +$\Rightarrow$ +$\chi$ orthogonal +\[ +\chi\chi^t = I +\] +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 033606388c772b07adcb0f7f5619862674068fad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 27 May 2021 16:21:20 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 41 +++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 25 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex') diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex index 6b44fb8..3195ec8 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -14,8 +14,10 @@ \begin{block}{Aufgabe} Gegeben: Funktion $f$ auf dem Graphen \\ -Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis +\uncover<2->{% +Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis} \end{block} +\uncover<3->{% \begin{block}{Definition $\chi$-Matrix} Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ \vspace{-10pt} @@ -40,37 +42,44 @@ Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ \end{tikzpicture} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Transformation} $L$ symmetrisch \\ -$\Rightarrow$ -Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden +\uncover<5->{$\Rightarrow$ +Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden} \\ -$\Rightarrow$ -Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden: +\uncover<6->{$\Rightarrow$ +Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden:} +\uncover<7->{% \[ \hat{f}(k) = +\hat{f}(\lambda_k) +\uncover<8->{= \langle v_k, f\rangle \quad\Rightarrow\quad -\hat{f} -= -\chi^tf -\] -$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation} -\end{block} +\hat{f}} +\uncover<9->{= +\chi^tf} +\]} +\uncover<10->{% +$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation}} +\end{block}} +\uncover<11->{% \begin{block}{Rücktransformation} Eigenvektoren orthonormiert \\ -$\Rightarrow$ -$\chi$ orthogonal +\uncover<12->{$\Rightarrow$ +$\chi$ orthogonal} +\uncover<13->{ \[ \chi\chi^t = I -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1