From 80416f0ab893f2b80a01be4acc13bd03c7a03682 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 10:09:26 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex | 76 ++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex | 51 ++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex | 83 ++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex | 91 +++++++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 301 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex (limited to 'vorlesungen/slides/9/parrondo') diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex new file mode 100644 index 0000000..67bb61d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% erwartung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Erwartung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zufallsvariable} +\begin{center} +\[ +\begin{array}{c|c} +\text{Werte $X$}&\text{Wahrscheinlichkeit $p$}\\ +\hline +x_1&p_1=P(X=x_1)\\ +x_2&p_2=P(X=x_2)\\ +\vdots&\vdots\\ +x_n&p_n=P(X=x_n) +\end{array} +\] +\end{center} +\end{block} +\begin{block}{Einervektoren/-matrizen} +\[ +U=\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1\\ +1&1&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +\in +M_{n\times m}(\Bbbk) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Erwartungswerte} +\begin{align*} +E(X) +&= +\sum_i x_ip_i += +x^tp += +U^t x\odot p +\\ +E(X^2) +&= +\sum_i x_i^2p_i += +(x\odot x)^tp += +U^t (x\odot x) \odot p +\\ +E(X^k) +&= +\sum_i x_i^kp_i += +U^t x^{\odot k}\odot p +\end{align*} +Substitution: +\begin{align*} +\sum_i &\to U^t\\ +x_i^k &\to x^{\odot k} +\end{align*} +Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex new file mode 100644 index 0000000..4b3b50c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% spiela.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spiel $A$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn = Zufallsvariable $X$ mit Werten $\pm 1$ +\begin{align*} +P(X=\phantom{+}1) +&= +\frac12+e +\\ +P(X= - 1) +&= +\frac12-e +\end{align*} +Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12+e$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(X) +&= +P(X=1)\cdot (1) +\\ +&\qquad ++ +P(X=-1)\cdot (-1) +\\ +&= +\biggl(\frac12+e\biggr)\cdot 1 ++ +\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1) +\\ +&=2e +\end{align*} +$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex new file mode 100644 index 0000000..6ad512c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex @@ -0,0 +1,83 @@ +% +% spielb.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spiel $B$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des +aktuellen Kapitals $K$: +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A0) at (90:2); +\coordinate (A1) at (210:2); +\coordinate (A2) at (330:2); + +\node at (A0) {$0$}; +\node at (A1) {$1$}; +\node at (A2) {$2$}; + +\draw (A0) circle[radius=0.4]; +\draw (A1) circle[radius=0.4]; +\draw (A2) circle[radius=0.4]; + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A1); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A2); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) -- (A2); + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) to[out=90,in=-150] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=90,in=-30] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=-150,in=-30] (A1); + +\def\R{1.9} +\def\r{0.7} + +\node at (30:\r) {$\frac{9}{10}$}; +\node at (150:\r) {$\frac1{10}$}; +\node at (270:\r) {$\frac34$}; + +\node at (30:\R) {$\frac{3}{4}$}; +\node at (150:\R) {$\frac1{4}$}; +\node at (270:\R) {$\frac14$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Markov-Kette $Y$} +Übergangsmatrix +\[ +B=\begin{pmatrix} +0&\frac14&\frac34\\ +\frac{1}{10}&0&\frac14\\ +\frac{9}{10}&\frac34&0 +\end{pmatrix} +\] +Gewinnmatrix: +\[ +G=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&1\\ +1&0&-1\\ +-1&1&0 +\end{pmatrix*} +\] +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t(G\odot B)p +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex new file mode 100644 index 0000000..ee1d12d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +% +% spielb.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Modifiziertes Spiel $B$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des +aktuellen Kapitals $K$: +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A0) at (90:2); +\coordinate (A1) at (210:2); +\coordinate (A2) at (330:2); + +\node at (A0) {$0$}; +\node at (A1) {$1$}; +\node at (A2) {$2$}; + +\draw (A0) circle[radius=0.4]; +\draw (A1) circle[radius=0.4]; +\draw (A2) circle[radius=0.4]; + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A1); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A2); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) -- (A2); + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) to[out=90,in=-150] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=90,in=-30] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=-150,in=-30] (A1); + +\def\R{1.9} +\def\r{0.7} + +\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}+\varepsilon$}; +\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}-\varepsilon$}; +\node at (270:\r) {$\frac34-\varepsilon$}; + +\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}-\varepsilon$}; +\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}+\varepsilon$}; +\node at (270:\R) {$\frac14+\varepsilon$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Markov-Kette $\tilde{Y}$} +Übergangsmatrix +\[ +\tilde{B}= +B+\varepsilon F += +B+\varepsilon\begin{pmatrix*}[r] +0&1&-1\\ +-1&0&1\\ +1&-1&0 +\end{pmatrix*} +\] +Gewinnmatrix: +\[ +G=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&1\\ +1&0&-1\\ +-1&1&0 +\end{pmatrix*} +\] +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(\tilde{Y}) +&= +U^t(G\odot \tilde{B})p +\\ +&= +E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p += +\frac1{15}+2\varepsilon +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From afde1752bdb1adfec3fd1c369ecc69833ea6c2c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 13:17:08 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex | 36 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex | 68 +++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 104 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex (limited to 'vorlesungen/slides/9/parrondo') diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex new file mode 100644 index 0000000..4ab7066 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +% +% deformation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Deformation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Verlustspiele} +Durch Deformation (Parameter $e$ und $\varepsilon$) kann man +aus $A_e$ und $B_\varepsilon$ Spiele mit negativer Gewinnerwartung machen +\begin{align*} +E(X)&=0&&\rightarrow&E(X_e)&<0\\ +E(Y)&=0&&\rightarrow&E(Y_\varepsilon)&<0\\ +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Kombiniertes Spiel} +Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$ +\begin{align*} +E(Z)&=\frac{18}{709} +&&\rightarrow& +E(Z_*)&>0 +\end{align*} +Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex new file mode 100644 index 0000000..8a7fe43 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% kombiniert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Kombiniertes Spiel $C$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Ein fairer Münzwurf entscheidet, ob +Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt wird +\end{block} +\begin{block}{Übergangsmatrix} +Münzwurf $X$ +\begin{align*} +C +&= +P(X=\text{Kopf})\cdot A ++ +P(X=\text{Zahl})\cdot B +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 0&\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\ +\frac{3}{10}& 0&\frac{3}{8}\\ +\frac{7}{10}&\frac{5}{8}& 0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung im Einzelspiel} +\[ +p=\frac13U +\Rightarrow +U^t(G\odot C)p += +-\frac{1}{30} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Iteriertes Spiel} +\[ +\overline{p}=C\overline{p} +\quad +\Rightarrow +\quad +\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(Z) +&= +U^t (G\odot C) \overline{p} += +\frac{18}{709} +\end{align*} +$C$ ist ein Gewinnspiel! +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From d3b772e811ac42cb912cce367b8e7bee07881084 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 20:24:26 +0200 Subject: add slides --- vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex | 21 ++++++++---- vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex | 41 +++++++++++++----------- vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex | 31 ++++++++++-------- vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex | 25 ++++++++------- vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex | 25 ++++++++++++--- vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex | 46 +++++++++++++++++---------- vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex | 17 ++++++++++ 7 files changed, 136 insertions(+), 70 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex (limited to 'vorlesungen/slides/9/parrondo') diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex index 4ab7066..40d2eb9 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex @@ -14,22 +14,31 @@ \begin{block}{Verlustspiele} Durch Deformation (Parameter $e$ und $\varepsilon$) kann man aus $A_e$ und $B_\varepsilon$ Spiele mit negativer Gewinnerwartung machen +\uncover<2->{% \begin{align*} E(X)&=0&&\rightarrow&E(X_e)&<0\\ E(Y)&=0&&\rightarrow&E(Y_\varepsilon)&<0\\ -\end{align*} +\end{align*}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Kombiniertes Spiel} -Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$ +\uncover<3->{% +Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$}% \begin{align*} -E(Z)&=\frac{18}{709} -&&\rightarrow& -E(Z_*)&>0 +\uncover<4->{E(Z)&=\frac{18}{709}>0} +&&\uncover<5->{\rightarrow& +E(Z_*)&>0} \end{align*} -Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel +\uncover<6->{Wegen Stetigkeit!} +\\ +\uncover<5->{Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel (für Parameter klein genug)} \end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Parrondo-Paradoxon} +Zufällig zwischen zwei Verlustspielen auswählen kann trotzdem ein +Gewinnspiel ergeben +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex index 67bb61d..b58c37f 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex @@ -25,6 +25,7 @@ x_n&p_n=P(X=x_n) \] \end{center} \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Einervektoren/-matrizen} \[ U=\begin{pmatrix} @@ -36,9 +37,10 @@ U=\begin{pmatrix} \in M_{n\times m}(\Bbbk) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Erwartungswerte} \begin{align*} E(X) @@ -46,30 +48,33 @@ E(X) \sum_i x_ip_i = x^tp -= -U^t x\odot p +\uncover<5->{= +U^t x\odot p} +\hspace*{3cm} \\ -E(X^2) +\uncover<2->{E(X^2) &= -\sum_i x_i^2p_i -= -(x\odot x)^tp -= -U^t (x\odot x) \odot p +\sum_i x_i^2p_i} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<6>{= +(x\odot x)^tp}}{} +\uncover<7->{= +U^t (x\odot x) \odot p} \\ -E(X^k) +\uncover<3->{E(X^k) &= -\sum_i x_i^kp_i -= -U^t x^{\odot k}\odot p +\sum_i x_i^kp_i} +\uncover<8->{= +U^t x^{\odot k}\odot p} \end{align*} +\uncover<9->{% Substitution: \begin{align*} -\sum_i &\to U^t\\ -x_i^k &\to x^{\odot k} -\end{align*} -Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden -\end{block} +\uncover<10->{\sum_i &\to U^t}\\ +\uncover<11->{x_i^k &\to x^{\odot k}} +\end{align*}}% +\uncover<12->{Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex index 8a7fe43..5012d06 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex @@ -15,6 +15,7 @@ Ein fairer Münzwurf entscheidet, ob Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt wird \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Übergangsmatrix} Münzwurf $X$ \begin{align*} @@ -24,44 +25,48 @@ P(X=\text{Kopf})\cdot A + P(X=\text{Zahl})\cdot B \\ -&= +&\uncover<3->{= \begin{pmatrix} 0&\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\ \frac{3}{10}& 0&\frac{3}{8}\\ \frac{7}{10}&\frac{5}{8}& 0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\vspace{-8pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Gewinnerwartung im Einzelspiel} \[ p=\frac13U \Rightarrow U^t(G\odot C)p -= --\frac{1}{30} +\uncover<5->{= +-\frac{1}{30}} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Iteriertes Spiel} \[ \overline{p}=C\overline{p} \quad -\Rightarrow +\uncover<7->{\Rightarrow \quad -\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix} +\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix}} \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<8->{% \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} E(Z) &= U^t (G\odot C) \overline{p} -= -\frac{18}{709} +\uncover<9->{= +\frac{18}{709}} \end{align*} -$C$ ist ein Gewinnspiel! -\end{block} +\uncover<10->{$C$ ist ein Gewinnspiel!} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex index 4b3b50c..629586f 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex @@ -16,35 +16,36 @@ Gewinn = Zufallsvariable $X$ mit Werten $\pm 1$ \begin{align*} P(X=\phantom{+}1) &= -\frac12+e +\frac12\uncover<2->{+e} \\ P(X= - 1) &= -\frac12-e +\frac12\uncover<2->{-e} \end{align*} -Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12+e$ +Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12\uncover<2->{+e}$ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{ \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} E(X) -&= -P(X=1)\cdot (1) +&=\uncover<4->{ +P(X=1)\cdot (1)} \\ &\qquad -+ -P(X=-1)\cdot (-1) +\uncover<4->{+ +P(X=-1)\cdot (-1)} \\ -&= +&\uncover<5->{= \biggl(\frac12+e\biggr)\cdot 1 + -\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1) +\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1)} \\ -&=2e +&\uncover<6->{=2e} \end{align*} -$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$} -\end{block} +\uncover<7->{$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$}} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex index 6ad512c..f65564f 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex @@ -15,6 +15,7 @@ Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des aktuellen Kapitals $K$: \begin{center} +\uncover<2->{% \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \coordinate (A0) at (90:2); \coordinate (A1) at (210:2); @@ -47,11 +48,12 @@ aktuellen Kapitals $K$: \node at (150:\R) {$\frac1{4}$}; \node at (270:\R) {$\frac14$}; -\end{tikzpicture} +\end{tikzpicture}} \end{center} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Markov-Kette $Y$} Übergangsmatrix \[ @@ -61,22 +63,37 @@ B=\begin{pmatrix} \frac{9}{10}&\frac34&0 \end{pmatrix} \] +\vspace{-10pt} + +\uncover<4->{% Gewinnmatrix: +\vspace{-2pt} \[ G=\begin{pmatrix*}[r] 0&-1&1\\ 1&0&-1\\ -1&1&0 \end{pmatrix*} -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} +\vspace{-12pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} +&&&& E(Y) &= U^t(G\odot B)p +\\ +p&={\textstyle\frac13}U +&&\Rightarrow& +E(Y)&={\textstyle\frac1{15}} +\\ +\overline{p}&={\tiny\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5\\2\\6\end{pmatrix}} +&&\Rightarrow& +E(Y)&=0 \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex index ee1d12d..66d39bc 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Modifiziertes Spiel $B$} +\frametitle{Modifiziertes Spiel $\tilde{B}$} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} @@ -39,13 +39,13 @@ aktuellen Kapitals $K$: \def\R{1.9} \def\r{0.7} -\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}+\varepsilon$}; -\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}-\varepsilon$}; -\node at (270:\r) {$\frac34-\varepsilon$}; +\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}\uncover<2->{+\varepsilon}$}; +\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}\uncover<2->{-\varepsilon}$}; +\node at (270:\r) {$\frac34\uncover<2->{-\varepsilon}$}; -\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}-\varepsilon$}; -\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}+\varepsilon$}; -\node at (270:\R) {$\frac14+\varepsilon$}; +\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}\uncover<2->{-\varepsilon}$}; +\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}\uncover<2->{+\varepsilon}$}; +\node at (270:\R) {$\frac14\uncover<2->{+\varepsilon}$}; \end{tikzpicture} \end{center} @@ -56,14 +56,17 @@ aktuellen Kapitals $K$: Übergangsmatrix \[ \tilde{B}= -B+\varepsilon F -= +B\uncover<2->{+\varepsilon F} +\uncover<3->{= B+\varepsilon\begin{pmatrix*}[r] 0&1&-1\\ -1&0&1\\ 1&-1&0 -\end{pmatrix*} +\end{pmatrix*}} \] +\vspace{-12pt} + +\uncover<4->{% Gewinnmatrix: \[ G=\begin{pmatrix*}[r] @@ -71,20 +74,29 @@ G=\begin{pmatrix*}[r] 1&0&-1\\ -1&1&0 \end{pmatrix*} -\] +\]} \end{block} +\vspace{-12pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} -E(\tilde{Y}) +\uncover<6->{E(\tilde{Y}) &= -U^t(G\odot \tilde{B})p +U^t(G\odot \tilde{B})p} \\ +&\uncover<7->{= +E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p} +\uncover<8->{= +{\textstyle\frac1{15}}+2\varepsilon} +\\ +\uncover<9->{ +\text{rep.} &= -E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p -= -\frac1{15}+2\varepsilon +-{\textstyle\frac{294}{169}}\varepsilon+O(\varepsilon^2) +\quad\text{Verlustspiel} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex new file mode 100644 index 0000000..2f3597a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +% +% uebersicht.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Parrondo-Paradoxon} +\begin{center} +\Large +Zufällige +Wahl zwischen zwei Verlustspielen = Gewinnspiel? +\end{center} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1