From 98ab0ab3093b347b6cfe86168e9b6a8021116b5b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 08:14:07 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/7/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/7/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/7/dg.tex | 4 +- vorlesungen/slides/7/einparameter.tex | 6 +-- vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex | 78 +++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 8 +--- 6 files changed, 87 insertions(+), 11 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 7512612..84b4e32 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -16,6 +16,7 @@ chapter5 = \ ../slides/7/einparameter.tex \ ../slides/7/ableitung.tex \ ../slides/7/liealgebra.tex \ + ../slides/7/liealgbeispiel.tex \ ../slides/7/kommutator.tex \ ../slides/7/dg.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 1c78ccc..65017c7 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \folie{7/einparameter.tex} \folie{7/ableitung.tex} \folie{7/liealgebra.tex} +\folie{7/liealgbeispiel.tex} \folie{7/kommutator.tex} \folie{7/dg.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/dg.tex b/vorlesungen/slides/7/dg.tex index 4447bac..f9528a4 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/dg.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/dg.tex @@ -45,7 +45,7 @@ Ableitung von $\gamma(t)$ an der Stelle $t$: \vspace{-10pt} \uncover<7->{% \begin{block}{Differentialgleichung} -\vspace{-10pt} +%\vspace{-10pt} \[ \dot{\gamma}(t) = \gamma(t) A \quad @@ -66,7 +66,7 @@ Exponentialfunktion \vspace{-5pt} \uncover<9->{% \begin{block}{Kontrolle: Tangentialvektor berechnen} -\vspace{-10pt} +%\vspace{-10pt} \begin{align*} \frac{d}{dt}e^{At} &\uncover<10->{= diff --git a/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex b/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex index 5171085..a32affd 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/einparameter.tex @@ -41,7 +41,7 @@ D_{x,t+s} \begin{column}{0.48\textwidth} \uncover<5->{% \begin{block}{Scherungen in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \[ \begin{pmatrix} 1&s\\ @@ -61,7 +61,7 @@ D_{x,t+s} \vspace{-12pt} \uncover<6->{% \begin{block}{Skalierungen in $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \[ \begin{pmatrix} e^s&0\\0&e^{-s} @@ -78,7 +78,7 @@ e^{t+s}&0\\0&e^{-(t+s)} \vspace{-12pt} \uncover<7->{% \begin{block}{Gemischt} -\vspace{-12pt} +%\vspace{-12pt} \begin{gather*} A_t = I \cosh t + \begin{pmatrix}1&a\\0&-1\end{pmatrix}\sinh t \\ diff --git a/vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..a17de40 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/liealgbeispiel.tex @@ -0,0 +1,78 @@ +% +% liealgbeispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lie-Algebra Beispiele} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$} +Spurlose Matrizen: +\[ +\operatorname{sl}_2(\mathbb{R}) += +\{A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}A=0\} +\] +\end{block} +\begin{block}{Lie-Algebra?} +Nachrechnen: $[A,B]\in \operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$: +\begin{align*} +\operatorname{Spur}([A,B]) +&= +\operatorname{Spur}(AB-BA) +\\ +&= +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA) +\\ +&= +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(AB) +\\ +&=0 +\end{align*} +$\Rightarrow$ $\operatorname{sl}_2(\mathbb{R})$ ist eine Lie-Algebra +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\operatorname{so}(n)$} +Antisymmetrische Matrizen: +\[ +\operatorname{so}(n) += +\{A\in M_n(\mathbb{R}) +\;|\; +A=-A^t +\} +\] +\end{block} +\begin{block}{Lie-Algebra?} +Nachrechnen: $A,B\in \operatorname{so}(n)$ +\begin{align*} +[A,B]^t +&= +(AB-BA)^t +\\ +&= +B^tA^t - A^tB^t +\\ +&= +(-B)(-A)-(-A)(-B) +\\ +&= +BA-AB += +-(AB-BA) +\\ +&= +-[A,B] +\end{align*} +$\Rightarrow$ $\operatorname{so}(n)$ ist eine Lie-Algebra +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 17c8a28..9e52903 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,9 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/mannigfaltigkeit.tex} -\folie{7/haar.tex} -\folie{7/quaternionen.tex} -\folie{7/qdreh.tex} -\folie{7/ueberlagerung.tex} -\folie{7/hopf.tex} +\folie{7/liealgbeispiel.tex} + -- cgit v1.2.1 From 57bae13dbcac294db8eca8c48612aa46537371bd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 09:15:45 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/7/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/7/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/7/vektorlie.tex | 206 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 2 +- 4 files changed, 209 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/vektorlie.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 84b4e32..aac9585 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -17,6 +17,7 @@ chapter5 = \ ../slides/7/ableitung.tex \ ../slides/7/liealgebra.tex \ ../slides/7/liealgbeispiel.tex \ + ../slides/7/vektorlie.tex \ ../slides/7/kommutator.tex \ ../slides/7/dg.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 65017c7..668c2a7 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -16,6 +16,7 @@ \folie{7/ableitung.tex} \folie{7/liealgebra.tex} \folie{7/liealgbeispiel.tex} +\folie{7/vektorlie.tex} \folie{7/kommutator.tex} \folie{7/dg.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/vektorlie.tex b/vorlesungen/slides/7/vektorlie.tex new file mode 100644 index 0000000..621a832 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/vektorlie.tex @@ -0,0 +1,206 @@ +% +% viktorlie.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Vektorprodukt als Lie-Algebra} +%\vspace{-10pt} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\arraycolsep=2.4pt +\def\Ax{0} +\def\Ux{4.1} +\def\Kx{7.2} +\def\Rx{13.1} + +\def\Lx{2.2} +\def\Ly{0} +\def\Lz{-2.2} + +\fill[color=red!20] (\Ax,{\Lx-1.55}) rectangle ({\Ux-0.1},{\Lx+0.55}); +\fill[color=red!20] (\Ux,{\Lx-1.55}) rectangle ({\Kx-0.1},{\Lx+0.55}); +\fill[color=red!20] (\Kx,{\Lx-1.55}) rectangle ({\Rx},{\Lx+0.55}); + +\fill[color=darkgreen!20] (\Ax,{\Ly-1.55}) rectangle ({\Ux-0.1},{\Ly+0.55}); +\fill[color=darkgreen!20] (\Ux,{\Ly-1.55}) rectangle ({\Kx-0.1},{\Ly+0.55}); +\fill[color=darkgreen!20] (\Kx,{\Ly-1.55}) rectangle ({\Rx},{\Ly+0.55}); + +\fill[color=blue!20] (\Ax,{\Lz-1.55}) rectangle ({\Ux-0.1},{\Lz+0.55}); +\fill[color=blue!20] (\Ux,{\Lz-1.55}) rectangle ({\Kx-0.1},{\Lz+0.55}); +\fill[color=blue!20] (\Kx,{\Lz-1.55}) rectangle ({\Rx},{\Lz+0.55}); + +\coordinate (A) at (\Ax,3.2); +\coordinate (Ax) at (\Ax,\Lx); +\coordinate (Ay) at (\Ax,\Ly); +\coordinate (Az) at (\Ax,\Lz); + +\node at (A) [right] + {\usebeamercolor[fg]{title}Drehmatrix, $\operatorname{SO}(n)$\strut}; + +\node at (Ax) [right] {$\displaystyle\tiny +D_{x,\alpha}=\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +0&\sin\alpha&\cos\alpha +\end{pmatrix}$}; + +\node at (Ay) [right] {$\displaystyle\tiny +D_{y,\alpha}=\begin{pmatrix} +\cos\alpha&0&\sin\alpha\\ +0&1&0\\ +-\sin\alpha&0&\cos\alpha +\end{pmatrix}$}; + +\node at (Az) [right] {$\displaystyle\tiny +D_{z,\alpha}=\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\ +\sin\alpha&\cos\alpha&0\\ +0&0&1 +\end{pmatrix}$}; + +\coordinate (U) at (\Ux,3.2); +\coordinate (Ux) at (\Ux,\Lx); +\coordinate (Uy) at (\Ux,\Ly); +\coordinate (Uz) at (\Ux,\Lz); +\coordinate (Ex) at (\Ux,{\Lx-1}); +\coordinate (Ey) at (\Ux,{\Ly-1}); +\coordinate (Ez) at (\Ux,{\Lz-1}); + +\uncover<2->{ +\node at (U) [right] + {\usebeamercolor[fg]{title}Ableitung, $\operatorname{so}(n)$\strut}; + +\node at (Ux) [right] {$\displaystyle\tiny +U_x=\begin{pmatrix*}[r] +0&0&0\\ +0&0&-1\\ +0&1&0 +\end{pmatrix*} +$}; + +\node at (Uy) [right] {$\displaystyle\tiny +U_y=\begin{pmatrix*}[r] +0&0&1\\ +0&0&0\\ +-1&0&0 +\end{pmatrix*} +$}; + +\node at (Uz) [right] {$\displaystyle\tiny +U_z=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&0\\ +1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix*} +$}; +} + +\uncover<9->{ +\node at (Ex) [right] {$\displaystyle +\, e_x = \tiny\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} +$}; + +\node at (Ey) [right] {$\displaystyle +\, e_y = \tiny\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} +$}; + +\node at (Ez) [right] {$\displaystyle +\, e_z = \tiny\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} +$}; +} + +\coordinate (K) at (\Kx,3.2); +\coordinate (Kx) at (\Kx,\Lx); +\coordinate (Ky) at (\Kx,\Ly); +\coordinate (Kz) at (\Kx,\Lz); +\coordinate (Vx) at (\Kx,{\Lx-1}); +\coordinate (Vy) at (\Kx,{\Ly-1}); +\coordinate (Vz) at (\Kx,{\Lz-1}); + +\uncover<3->{ +\node at (K) [right] + {\usebeamercolor[fg]{title}Kommutator\strut}; + +\node at (Kx) [right] {$\displaystyle +\begin{aligned} +[U_y,U_z] &\uncover<4->{= +{\tiny +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&0\\ +0&1&0 +\end{pmatrix}} +\uncover<5->{\mathstrut- +\tiny +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix}}} +\uncover<6->{=U_x} +\end{aligned} +$}; +} + +\uncover<7->{ +\node at (Ky) [right] {$\displaystyle +\begin{aligned} +[U_z,U_x] &= +{\tiny +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&0\\ +1&0&0 +\end{pmatrix}} +=U_y +\end{aligned} +$}; +} + +\uncover<8->{ +\node at (Kz) [right] {$\displaystyle +\begin{aligned} +[U_x,U_y] &= +{\tiny +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} +0&1&0\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix}} +=U_z +\end{aligned} +$}; +} + +\uncover<10->{ +\node at (Vx) [right] {$\displaystyle \phantom{]}e_y\times e_z = e_x$}; +} + +\uncover<11->{ +\node at (Vy) [right] {$\displaystyle \phantom{]}e_z\times e_x = e_y$}; +} + +\uncover<12->{ +\node at (Vz) [right] {$\displaystyle \phantom{]}e_x\times e_y = e_z$}; +} + +\end{tikzpicture} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 9e52903..ebdff8a 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/liealgbeispiel.tex} +\folie{7/vektorlie.tex} -- cgit v1.2.1 From 7a40535a3251eb7954a30a81f3db0a42364091fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 10:45:04 +0200 Subject: add new slide --- vorlesungen/slides/7/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/7/bch.tex | 76 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/7/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/test.tex | 2 +- 4 files changed, 79 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/bch.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index aac9585..8b2b9e0 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -19,6 +19,7 @@ chapter5 = \ ../slides/7/liealgbeispiel.tex \ ../slides/7/vektorlie.tex \ ../slides/7/kommutator.tex \ + ../slides/7/bch.tex \ ../slides/7/dg.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ ../slides/7/quaternionen.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/7/bch.tex b/vorlesungen/slides/7/bch.tex new file mode 100644 index 0000000..3fad600 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/bch.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% bch.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Baker-Campbell-Hausdorff-Formel} +$g(t),h(t)\in G +\uncover<2->{\Rightarrow \exists A,B\in LG\text{ mit } +g(t)=\exp At, h(t)=\exp Bt}$ +\uncover<3->{% +\begin{align*} +g(t) +&= +I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots, +& +h(t) +&= +I + Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots +\end{align*}} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Kommutator in G: $c(t) = g(t)h(t)g(t)^{1}h(t)^{-1}$} +\begin{align*} +\uncover<6->{c(t) +&= +\biggl( + {\color<7,9-11,13-15,19-21>{red}I} + + {\color<8,16-19>{red}A}t + + \frac{{\color<12>{red}A^2}t^2}{2!} + + \dots +\biggr) +\biggl( + {\color<7,8,10-12,14-15,17-18,21>{red}I} + + {\color<9,16,19-20>{red}B}t + + \frac{{\color<13>{red}B^2}t^2}{2!} + + \dots +\biggr) +\exp(-{\color<10,14,17,19,21>{red}A}t) +\exp(-{\color<11,15,18,20-21>{red}B}t) +} +\\ +&\uncover<7->{={\color<7>{red}I}} +\uncover<8->{+t( + \uncover<8->{ {\color<8>{red}A}} + \uncover<9->{+ {\color<9>{red}B}} + \uncover<10->{- {\color<10>{red}A}} + \uncover<11->{- {\color<11>{red}B}} +)} +\uncover<12->{+\frac{t^2}{2!}( + \uncover<12->{ {\color<12>{red}A^2}} + \uncover<13->{+ {\color<13>{red}B^2}} + \uncover<14->{+ {\color<14>{red}A^2}} + \uncover<15->{+ {\color<15>{red}B^2}} +)} +\\ +&\phantom{\mathstrut=I} +\uncover<12->{+t^2( + \uncover<16->{ {\color<16>{red}AB}} + \uncover<17->{- {\color<17>{red}A^2}} + \uncover<18->{- {\color<18>{red}AB}} + \uncover<19->{- {\color<19>{red}BA}} + \uncover<20->{- {\color<20>{red}B^2}} + \uncover<21->{+ {\color<21>{red}AB}} +)} +\uncover<22->{+t^3(\dots)+\dots} +\\ +&\uncover<23->{= +I + \frac{t^2}{2}[A,B] + o(t^3) +} +\end{align*}} +\end{block} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 668c2a7..0068cf4 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -18,6 +18,7 @@ \folie{7/liealgbeispiel.tex} \folie{7/vektorlie.tex} \folie{7/kommutator.tex} +\folie{7/bch.tex} \folie{7/dg.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} \folie{7/quaternionen.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index ebdff8a..db36dee 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/vektorlie.tex} +\folie{7/bch.tex} -- cgit v1.2.1 From 907e8a1500b93ccb6620d713608b659329e351e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 10:47:24 +0200 Subject: typo --- vorlesungen/slides/7/bch.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/bch.tex b/vorlesungen/slides/7/bch.tex index 3fad600..0148dc4 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/bch.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/bch.tex @@ -22,7 +22,7 @@ h(t) I + Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots \end{align*}} \uncover<5->{% -\begin{block}{Kommutator in G: $c(t) = g(t)h(t)g(t)^{1}h(t)^{-1}$} +\begin{block}{Kommutator in G: $c(t) = g(t)h(t)g(t)^{-1}h(t)^{-1}$} \begin{align*} \uncover<6->{c(t) &= -- cgit v1.2.1 From b6114e0a8c7f800d36c199c0ee6af64d337e5320 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 11:33:00 +0200 Subject: add slide --- vorlesungen/slides/7/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/7/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/7/integration.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 2 +- 4 files changed, 69 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/integration.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 8b2b9e0..52c37d8 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -27,5 +27,6 @@ chapter5 = \ ../slides/7/ueberlagerung.tex \ ../slides/7/hopf.tex \ ../slides/7/haar.tex \ + ../slides/7/integration.tex \ ../slides/7/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 0068cf4..172b78a 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -26,3 +26,4 @@ \folie{7/ueberlagerung.tex} \folie{7/hopf.tex} \folie{7/haar.tex} +\folie{7/integration.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/integration.tex b/vorlesungen/slides/7/integration.tex new file mode 100644 index 0000000..525e6de --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/integration.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% integration.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Invariante Integration} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Koordinatenwechsel} +Die Koordinatentransformation +$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n:x\to y$ +hat die Ableitungsmatrix +\[ +t_{ij} += +\frac{\partial y_i}{\partial x_j} +\] +\uncover<2->{% +$n$-faches Integral +\begin{gather*} +\int\dots\int +h(f(x)) +\det +\biggl( +\frac{\partial y_i}{\partial x_j} +\biggr) +\,dx_1\,\dots dx_n +\\ += +\int\dots\int +h(y) +\,dy_1\,\dots dy_n +\end{gather*}} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{auf einer Lie-Gruppe} +Koordinatenwechsel sind Multiplikationen mit einer +Matrix $g\in G$ +\end{block}} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Volumenelement in $I$} +Man muss nur das Volumenelement in $I$ in einem beliebigen +Koordinatensystem definieren: +\[ +dV = dy_1\,\dots\,dy_n +\] +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{block}{Volumenelement in $g$} +\[ +\text{``\strut}g\cdot dV\text{\strut''} += +\det(g) \, dy_1\,\dots\,dy_n +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index db36dee..35ebf03 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/bch.tex} +\folie{7/integration.tex} -- cgit v1.2.1 From a90d54e578b7d309ba680d5fd5f6c8721b082096 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 17:57:06 +0200 Subject: new slide --- vorlesungen/slides/7/Makefile.inc | 2 + vorlesungen/slides/7/chapter.tex | 2 + vorlesungen/slides/7/images/Makefile | 12 ++- vorlesungen/slides/7/images/interpolation.ini | 8 ++ vorlesungen/slides/7/images/interpolation.m | 54 +++++++++++++ vorlesungen/slides/7/images/interpolation.pov | 10 +++ vorlesungen/slides/7/images/test.pov | 7 ++ vorlesungen/slides/7/interpolation.tex | 105 ++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 2 +- 9 files changed, 200 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/images/interpolation.ini create mode 100644 vorlesungen/slides/7/images/interpolation.m create mode 100644 vorlesungen/slides/7/images/interpolation.pov create mode 100644 vorlesungen/slides/7/images/test.pov create mode 100644 vorlesungen/slides/7/interpolation.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 52c37d8..4d291ed 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -21,6 +21,8 @@ chapter5 = \ ../slides/7/kommutator.tex \ ../slides/7/bch.tex \ ../slides/7/dg.tex \ + ../slides/7/interpolation.tex \ + ../slides/7/exponentialreihe.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ ../slides/7/quaternionen.tex \ ../slides/7/qdreh.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 172b78a..36e0bb1 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -20,6 +20,8 @@ \folie{7/kommutator.tex} \folie{7/bch.tex} \folie{7/dg.tex} +\folie{7/interpolation.tex} +\folie{7/exponentialreihe.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} \folie{7/quaternionen.tex} \folie{7/qdreh.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/images/Makefile b/vorlesungen/slides/7/images/Makefile index cc67c8a..6f99bc3 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/images/Makefile +++ b/vorlesungen/slides/7/images/Makefile @@ -3,7 +3,7 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule #  -all: rodriguez.jpg +all: rodriguez.jpg test.png rodriguez.png: rodriguez.pov povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Orodriguez.png rodriguez.pov @@ -16,4 +16,14 @@ commutator: commutator.ini commutator.pov common.inc jpg: for f in c/c*.png; do convert $${f} c/`basename $${f} .png`.jpg; done +dreibein/timestamp: interpolation.m + octave interpolation.m + touch dreibein/timestamp +test.png: test.pov drehung.inc dreibein/d025.inc dreibein/timestamp + povray +A0.1 -W1080 -H1080 -Otest.png test.pov + +dreibein/d025.inc: dreibein/timestamp + +animation: + povray +A0.1 -W1080 -H1080 -Ointerpolation/i.png interpolation.ini diff --git a/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.ini b/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.ini new file mode 100644 index 0000000..f07c079 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.ini @@ -0,0 +1,8 @@ +Input_File_Name=interpolation.pov +Initial_Frame=0 +Final_Frame=50 +Initial_Clock=0 +Final_Clock=50 +Cyclic_Animation=off +Pause_when_Done=off + diff --git a/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.m b/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.m new file mode 100644 index 0000000..31554e8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.m @@ -0,0 +1,54 @@ +# +# interpolation.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 50; +global A; +global B; + +A = (pi / 2) * [ + 0, 0, 0; + 0, 0, -1; + 0, 1, 0 +]; +g0 = expm(A) + +B = (pi / 2) * [ + 0, 0, 1; + 0, 0, 0; + -1, 0, 0 +]; +g1 = expm(B) + +function retval = g(t) + global A; + global B; + retval = expm((1-t)*A+t*B); +endfunction + +function dreibein(fn, M, funktion) + fprintf(fn, "%s(<%.4f,%.4f,%.4f>, <%.4f,%.4f,%.4f>, <%.4f,%.4f,%.4f>)\n", + funktion, + M(1,1), M(3,1), M(2,1), + M(1,2), M(3,2), M(2,2), + M(1,3), M(3,3), M(2,3)); +endfunction + +G = g1 * inverse(g0); +[V, lambda] = eig(G); +H = real(V(:,3)); + +D = logm(g1*inverse(g0)); + +for i = (0:N) + filename = sprintf("dreibein/d%03d.inc", i); + fn = fopen(filename, "w"); + t = i/N; + dreibein(fn, g(t), "quadrant"); + dreibein(fn, expm(t*D)*g0, "drehung"); + fprintf(fn, "achse(<%.4f,%.4f,%.4f>)\n", H(1,1), H(3,1), H(2,1)); + fclose(fn); +endfor + diff --git a/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.pov b/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.pov new file mode 100644 index 0000000..71e0257 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/images/interpolation.pov @@ -0,0 +1,10 @@ +// +// commutator.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "drehung.inc" + +#declare filename = concat("dreibein/d", str(clock, -3, 0), ".inc"); +#include filename + diff --git a/vorlesungen/slides/7/images/test.pov b/vorlesungen/slides/7/images/test.pov new file mode 100644 index 0000000..5707be1 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/images/test.pov @@ -0,0 +1,7 @@ +// +// test.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "drehung.inc" +#include "dreibein/d025.inc" diff --git a/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex b/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex new file mode 100644 index 0000000..3d40d7b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex @@ -0,0 +1,105 @@ +% +% interpolation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\bild#1#2{\only<#1|handout:0>{\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/7/images/interpolation/#2.png}}} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Interpolation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Aufgabe} +Finde einen Weg $g(t)\in \operatorname{SO}(3)$ zwischen +$g_0\in\operatorname{SO}(3)$ +und +$g_1\in\operatorname{SO}(3)$: +\[ +g_0=g(0) +\quad\wedge\quad +g_1=g(1) +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Lösung} +$g_i=\exp(A_i) \uncover<3->{\Rightarrow A_i^t=-A_i}$ +\begin{align*} +\uncover<4->{A(t) &= (1-t)A_0 + tA_1}\uncover<8->{ \in \operatorname{so}(3)} +\\ +\uncover<5->{A(t)^t +&=(1-t)A_0^t + tA_1^t} +\\ +&\uncover<6->{= +-(1-t)A_0 - t A_1} +\uncover<7->{= +-A(t)} +\\ +\uncover<9->{\Rightarrow +g(t) &= \exp A(t) \in \operatorname{SO}(3)} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<10->{% +\begin{block}{Animation} +\centering +\bild{11}{i00} +\bild{12}{i01} +\bild{13}{i02} +\bild{14}{i03} +\bild{15}{i04} +\bild{16}{i05} +\bild{17}{i06} +\bild{18}{i07} +\bild{19}{i08} +\bild{20}{i09} +\bild{21}{i10} +\bild{22}{i11} +\bild{23}{i12} +\bild{24}{i13} +\bild{25}{i14} +\bild{26}{i15} +\bild{27}{i16} +\bild{28}{i17} +\bild{29}{i18} +\bild{30}{i19} +\bild{31}{i20} +\bild{32}{i21} +\bild{33}{i22} +\bild{34}{i23} +\bild{35}{i24} +\bild{36}{i25} +\bild{37}{i26} +\bild{38}{i27} +\bild{39}{i28} +\bild{40}{i29} +\bild{41}{i30} +\bild{42}{i31} +\bild{43}{i32} +\bild{44}{i33} +\bild{45}{i34} +\bild{46}{i35} +\bild{47}{i36} +\bild{48}{i37} +\bild{49}{i38} +\bild{50}{i39} +\bild{51}{i40} +\bild{52}{i41} +\bild{53}{i42} +\bild{54}{i43} +\bild{55}{i44} +\bild{56}{i45} +\bild{57}{i46} +\bild{58}{i47} +\bild{59}{i48} +\bild{60}{i49} +\bild{61}{i50} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 35ebf03..56cd611 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/integration.tex} +\folie{7/interpolation.tex} -- cgit v1.2.1 From 71c54ed1c285940349659e93e823d1c0f83cc84d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 6 May 2021 19:00:08 +0200 Subject: neue folie --- vorlesungen/slides/7/images/drehung.inc | 142 ++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/7/interpolation.tex | 111 +++++++++++++------------ 2 files changed, 201 insertions(+), 52 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/images/drehung.inc (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/images/drehung.inc b/vorlesungen/slides/7/images/drehung.inc new file mode 100644 index 0000000..c9b4bb7 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/images/drehung.inc @@ -0,0 +1,142 @@ +// +// common.inc +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.23; +#declare O = <0, 0, 0>; +#declare at = 0.02; + +camera { + location <8.5, 2, 6.5> + look_at <0, 0, 0> + right x * imagescale + up y * imagescale +} + +//light_source { +// <-14, 20, -50> color White +// area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 +// adaptive 1 +// jitter +//} + +light_source { + <41, 20, 10> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) +#declare arrowdirection = vnormalize(to - from); +#declare arrowlength = vlength(to - from); +union { + sphere { + from, 1.0 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +#end +#declare r = 1.0; + +arrow(< -r-0.2, 0.0, 0 >, < r+0.2, 0.0, 0.0 >, at, Gray) +arrow(< 0.0, 0.0, -r-0.2>, < 0.0, 0.0, r+0.2 >, at, Gray) +arrow(< 0.0, -r-0.2, 0 >, < 0.0, r+0.2, 0.0 >, at, Gray) + +#declare farbeX = rgb<1.0,0.2,0.6>; +#declare farbeY = rgb<0.0,0.8,0.4>; +#declare farbeZ = rgb<0.4,0.6,1.0>; + +#declare farbex = rgb<1.0,0.0,0.0>; +#declare farbey = rgb<0.0,0.6,0.0>; +#declare farbez = rgb<0.0,0.0,1.0>; + +#macro quadrant(X, Y, Z) + intersection { + sphere { O, 0.5 } + plane { -X, 0 } + plane { -Y, 0 } + plane { -Z, 0 } + pigment { + color rgb<1.0,0.6,0.2> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } + } + arrow(O, X, 1.1*at, farbex) + arrow(O, Y, 1.1*at, farbey) + arrow(O, Z, 1.1*at, farbez) +#end + +#macro drehung(X, Y, Z) +// intersection { +// sphere { O, 0.5 } +// plane { -X, 0 } +// plane { -Y, 0 } +// plane { -Z, 0 } +// pigment { +// color Gray +// } +// finish { +// specular 0.95 +// metallic +// } +// } + arrow(O, 1.1*X, 0.9*at, farbeX) + arrow(O, 1.1*Y, 0.9*at, farbeY) + arrow(O, 1.1*Z, 0.9*at, farbeZ) +#end + +#macro achse(H) + cylinder { H, -H, at + pigment { + color rgb<0.6,0.4,0.2> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } + } + cylinder { 0.003 * H, -0.003 * H, 1 + pigment { + color rgbt<0.6,0.4,0.2,0.5> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } + } +#end diff --git a/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex b/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex index 3d40d7b..249ee26 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/interpolation.tex @@ -40,64 +40,71 @@ $g_i=\exp(A_i) \uncover<3->{\Rightarrow A_i^t=-A_i}$ \\ \uncover<9->{\Rightarrow g(t) &= \exp A(t) \in \operatorname{SO}(3)} +\\ +&\uncover<10->{\ne +\exp (\log(g_1g_0^{-1})t) g_0} \end{align*} \end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} -\uncover<10->{% +\uncover<11->{% \begin{block}{Animation} \centering -\bild{11}{i00} -\bild{12}{i01} -\bild{13}{i02} -\bild{14}{i03} -\bild{15}{i04} -\bild{16}{i05} -\bild{17}{i06} -\bild{18}{i07} -\bild{19}{i08} -\bild{20}{i09} -\bild{21}{i10} -\bild{22}{i11} -\bild{23}{i12} -\bild{24}{i13} -\bild{25}{i14} -\bild{26}{i15} -\bild{27}{i16} -\bild{28}{i17} -\bild{29}{i18} -\bild{30}{i19} -\bild{31}{i20} -\bild{32}{i21} -\bild{33}{i22} -\bild{34}{i23} -\bild{35}{i24} -\bild{36}{i25} -\bild{37}{i26} -\bild{38}{i27} -\bild{39}{i28} -\bild{40}{i29} -\bild{41}{i30} -\bild{42}{i31} -\bild{43}{i32} -\bild{44}{i33} -\bild{45}{i34} -\bild{46}{i35} -\bild{47}{i36} -\bild{48}{i37} -\bild{49}{i38} -\bild{50}{i39} -\bild{51}{i40} -\bild{52}{i41} -\bild{53}{i42} -\bild{54}{i43} -\bild{55}{i44} -\bild{56}{i45} -\bild{57}{i46} -\bild{58}{i47} -\bild{59}{i48} -\bild{60}{i49} -\bild{61}{i50} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\bild{12}{i00} +\bild{13}{i01} +\bild{14}{i02} +\bild{15}{i03} +\bild{16}{i04} +\bild{17}{i05} +\bild{18}{i06} +\bild{19}{i07} +\bild{20}{i08} +\bild{21}{i09} +\bild{22}{i10} +\bild{23}{i11} +\bild{24}{i12} +\bild{25}{i13} +\bild{26}{i14} +\bild{27}{i15} +\bild{28}{i16} +\bild{29}{i17} +\bild{30}{i18} +\bild{31}{i19} +\bild{32}{i20} +\bild{33}{i21} +\bild{34}{i22} +\bild{35}{i23} +\bild{36}{i24} +\bild{37}{i25} +\bild{38}{i26} +\bild{39}{i27} +\bild{40}{i28} +\bild{41}{i29} +\bild{42}{i30} +\bild{43}{i31} +\bild{44}{i32} +\bild{45}{i33} +\bild{46}{i34} +\bild{47}{i35} +\bild{48}{i36} +\bild{49}{i37} +\bild{50}{i38} +\bild{51}{i39} +\bild{52}{i40} +\bild{53}{i41} +\bild{54}{i42} +\bild{55}{i43} +\bild{56}{i44} +\bild{57}{i45} +\bild{58}{i46} +\bild{59}{i47} +\bild{60}{i48} +\bild{61}{i49} +\bild{62}{i50} +}{ +\includegraphics[width=\textwidth]{../slides/7/images/interpolation/i25.png} +} \end{block}} \end{column} \end{columns} -- cgit v1.2.1 From c96558c1b70660c26242d33093f765d43b2aa022 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 7 May 2021 09:50:45 +0200 Subject: new slide --- vorlesungen/slides/7/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/7/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/7/logarithmus.tex | 82 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 2 +- 4 files changed, 85 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/logarithmus.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc index 4d291ed..ffd5091 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/7/Makefile.inc @@ -23,6 +23,7 @@ chapter5 = \ ../slides/7/dg.tex \ ../slides/7/interpolation.tex \ ../slides/7/exponentialreihe.tex \ + ../slides/7/logarithmus.tex \ ../slides/7/zusammenhang.tex \ ../slides/7/quaternionen.tex \ ../slides/7/qdreh.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex index 36e0bb1..3736e0f 100644 --- a/vorlesungen/slides/7/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/7/chapter.tex @@ -22,6 +22,7 @@ \folie{7/dg.tex} \folie{7/interpolation.tex} \folie{7/exponentialreihe.tex} +\folie{7/logarithmus.tex} \folie{7/zusammenhang.tex} \folie{7/quaternionen.tex} \folie{7/qdreh.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/7/logarithmus.tex b/vorlesungen/slides/7/logarithmus.tex new file mode 100644 index 0000000..58065d7 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/logarithmus.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +% +% logarithmus.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Logarithmus} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Taylor-Reihe} +\begin{align*} +\frac{d}{dx}\log(1+x) +&= \frac{1}{1+x} +\\ +\uncover<2->{ +\Rightarrow\quad +\log (1+x) +&= +\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt} +\end{align*} +\begin{align*} +\uncover<3->{\frac{1}{1+t} +&= +1-t+t^2-t^3+\dots} +\\ +\uncover<4->{\log(1+x) +&=\int_0^x +1-t+t^2-t^3+\dots +\,dt} +\\ +&\only<5>{= +x-\frac{x^2}{2}  + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}4 + \dots} +\uncover<6->{= +\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}} +\\ +\uncover<7->{\log (I+A) +&= +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}A^k} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Konvergenzradius} +Polstelle bei $x=-1$ +\( +\varrho =1 +\) +\end{block}} +\vspace{-5pt} +\begin{block}{\uncover<9->{Alternative: Spektraltheorie}} +\uncover<9->{ +Logarithmus $\log z$ in $\{z\in\mathbb{C}\;|\; \neg(\Re z\le 0\wedge\Im z=0)\}$ +definiert:} +\vspace{-15pt} +\uncover<8->{ +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\uncover<9->{ + \fill[color=red!20] (-2.1,-2.1) rectangle (2.5,2.1); +} +\draw[->] (-2.2,0) -- (2.9,0) coordinate[label={$\Re z$}]; +\draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.4) coordinate[label={right:$\Im z$}]; +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] (1,0) circle[radius=1]; +\draw[color=blue] (1,0) circle[radius=1]; +\uncover<9->{ + \draw[color=white,line width=5pt] (-2.2,0) -- (0.1,0); +} +\fill (1,0) circle[radius=0.08]; +\node at (2.3,1.9) {$\mathbb{C}$}; +\node at (1,0) [below] {$1$}; +\end{tikzpicture} +\end{center}} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 56cd611..7434b0b 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,5 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/interpolation.tex} +\folie{7/logarithmus.tex} -- cgit v1.2.1 From da927e6c04044f89e861ae4b0ee44d6131d32092 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 13 May 2021 11:09:02 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 3 + vorlesungen/slides/8/chapter.tex | 4 + vorlesungen/slides/8/chrind.tex | 231 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/chrindprop.tex | 62 +++++++++ vorlesungen/slides/8/chroma1.tex | 56 +++++++++ vorlesungen/slides/8/spanningtree.tex | 4 +- 6 files changed, 359 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/8/chrind.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/chrindprop.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/chroma1.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index d46dc7f..b2823ca 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -28,5 +28,8 @@ chapter8 = \ ../slides/8/tokyo/bahn0.tex \ ../slides/8/tokyo/bahn1.tex \ ../slides/8/tokyo/bahn2.tex \ + ../slides/8/chrind.tex \ + ../slides/8/chrindprop.tex \ + ../slides/8/chroma1.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index 6a0b13f..2110bb2 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -30,3 +30,7 @@ \folie{8/tokyo/bahn1.tex} \folie{8/tokyo/bahn2.tex} +\folie{8/chrind.tex} +\folie{8/chrindprop.tex} +\folie{8/chroma1.tex} + diff --git a/vorlesungen/slides/8/chrind.tex b/vorlesungen/slides/8/chrind.tex new file mode 100644 index 0000000..bd406ab --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/chrind.tex @@ -0,0 +1,231 @@ +% +% chrind.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Chromatische Zahl und Unabhängigkeitszahl} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Chromatische Zahl} +$\operatorname{chr}(G)=\mathstrut$ +minimale Anzahl Farben, die zum Einfärben eines Graphen $G$ nötig sind derart, +dass benachbarte Knoten verschiedene Farben haben. +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\def\Ra{2} +\def\Ri{1} +\def\e{1.0} +\def\r{0.2} + +\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0.8} +\definecolor{gruen}{rgb}{0.2,0.6,0.2} +\definecolor{blau}{rgb}{1,0.6,0.2} + +\coordinate (PA) at ({\Ri*sin(0*72)},{\e*\Ri*cos(0*72)}); +\coordinate (PB) at ({\Ri*sin(1*72)},{\e*\Ri*cos(1*72)}); +\coordinate (PC) at ({\Ri*sin(2*72)},{\e*\Ri*cos(2*72)}); +\coordinate (PD) at ({\Ri*sin(3*72)},{\e*\Ri*cos(3*72)}); +\coordinate (PE) at ({\Ri*sin(4*72)},{\e*\Ri*cos(4*72)}); + +\coordinate (QA) at ({\Ra*sin(0*72)},{\e*\Ra*cos(0*72)}); +\coordinate (QB) at ({\Ra*sin(1*72)},{\e*\Ra*cos(1*72)}); +\coordinate (QC) at ({\Ra*sin(2*72)},{\e*\Ra*cos(2*72)}); +\coordinate (QD) at ({\Ra*sin(3*72)},{\e*\Ra*cos(3*72)}); +\coordinate (QE) at ({\Ra*sin(4*72)},{\e*\Ra*cos(4*72)}); + +\draw (PA)--(PC)--(PE)--(PB)--(PD)--cycle; +\draw (QA)--(QB)--(QC)--(QD)--(QE)--cycle; +\draw (PA)--(QA); +\draw (PB)--(QB); +\draw (PC)--(QC); +\draw (PD)--(QD); +\draw (PE)--(QE); + +\only<1>{ + \fill[color=white] (PA) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (PB) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (PC) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (PD) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (PE) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (QA) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (QB) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (QC) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (QD) circle[radius=\r]; + \fill[color=white] (QE) circle[radius=\r]; +} + +\only<2->{ + \fill[color=blau] (PA) circle[radius=\r]; + \fill[color=rot] (PB) circle[radius=\r]; + \fill[color=rot] (PC) circle[radius=\r]; + \fill[color=gruen] (PD) circle[radius=\r]; + \fill[color=gruen] (PE) circle[radius=\r]; + + \fill[color=rot] (QA) circle[radius=\r]; + \fill[color=blau] (QB) circle[radius=\r]; + \fill[color=gruen] (QC) circle[radius=\r]; + \fill[color=rot] (QD) circle[radius=\r]; + \fill[color=blau] (QE) circle[radius=\r]; +} + +\draw (PA) circle[radius=\r]; +\draw (PB) circle[radius=\r]; +\draw (PC) circle[radius=\r]; +\draw (PD) circle[radius=\r]; +\draw (PE) circle[radius=\r]; + +\draw (QA) circle[radius=\r]; +\draw (QB) circle[radius=\r]; +\draw (QC) circle[radius=\r]; +\draw (QD) circle[radius=\r]; +\draw (QE) circle[radius=\r]; + +\node at ($0.5*(QC)+0.5*(QD)+(0,-0.2)$) [below] {$\operatorname{chr} G = 3$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Unabhängigkeitszahl} +$\operatorname{ind}(G)=\mathstrut$ +maximale Anzahl nicht benachbarter Knoten +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\def\Ra{2} +\def\Ri{1} +\def\e{1.0} +\def\r{0.2} + +\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0.8} +\definecolor{gruen}{rgb}{0.2,0.6,0.2} +\definecolor{blau}{rgb}{1,0.6,0.2} +\definecolor{gelb}{rgb}{0,0,1} + +\coordinate (PA) at ({\Ri*sin(0*72)},{\e*\Ri*cos(0*72)}); +\coordinate (PB) at ({\Ri*sin(1*72)},{\e*\Ri*cos(1*72)}); +\coordinate (PC) at ({\Ri*sin(2*72)},{\e*\Ri*cos(2*72)}); +\coordinate (PD) at ({\Ri*sin(3*72)},{\e*\Ri*cos(3*72)}); +\coordinate (PE) at ({\Ri*sin(4*72)},{\e*\Ri*cos(4*72)}); + +\coordinate (QA) at ({\Ra*sin(0*72)},{\e*\Ra*cos(0*72)}); +\coordinate (QB) at ({\Ra*sin(1*72)},{\e*\Ra*cos(1*72)}); +\coordinate (QC) at ({\Ra*sin(2*72)},{\e*\Ra*cos(2*72)}); +\coordinate (QD) at ({\Ra*sin(3*72)},{\e*\Ra*cos(3*72)}); +\coordinate (QE) at ({\Ra*sin(4*72)},{\e*\Ra*cos(4*72)}); + +\draw (PA)--(PC)--(PE)--(PB)--(PD)--cycle; +\draw (QA)--(QB)--(QC)--(QD)--(QE)--cycle; +\draw (PA)--(QA); +\draw (PB)--(QB); +\draw (PC)--(QC); +\draw (PD)--(QD); +\draw (PE)--(QE); + +\foreach \n in {1,...,7}{ + \only<\n>{\node[color=white] at (1,2.9) {$\n$};} +} + +\fill[color=white] (PA) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (PB) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (PC) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (PD) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (PE) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (QA) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (QB) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (QC) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (QD) circle[radius=\r]; +\fill[color=white] (QE) circle[radius=\r]; + +\only<4->{ + \fill[color=rot] (QA) circle[radius={1.5*\r}]; + \fill[color=rot!40] (QB) circle[radius=\r]; + \fill[color=rot!40] (QE) circle[radius=\r]; + \fill[color=rot!40] (PA) circle[radius=\r]; +} + +\only<5->{ + \fill[color=blau] (PB) circle[radius={1.5*\r}]; + \fill[color=blau!40] (PD) circle[radius=\r]; + \fill[color=blau!40] (PE) circle[radius=\r]; + \fill[color=blau!80,opacity=0.5] (QB) circle[radius=\r]; +} + +\only<6->{ + \fill[color=gruen] (PC) circle[radius={1.5*\r}]; + \fill[color=gruen!40] (QC) circle[radius=\r]; + \fill[color=gruen!80,opacity=0.5] (PA) circle[radius=\r]; + \fill[color=gruen!80,opacity=0.5] (PE) circle[radius=\r]; +} + +\only<7->{ + \fill[color=gelb] (QD) circle[radius={1.5*\r}]; + \fill[color=gelb!80,opacity=0.5] (QC) circle[radius=\r]; + \fill[color=gelb!80,opacity=0.5] (QE) circle[radius=\r]; + \fill[color=gelb!80,opacity=0.5] (PD) circle[radius=\r]; +} + +\only<-3|handout:0>{ + \draw (QA) circle[radius=\r]; +} +\only<4->{ + \draw (QA) circle[radius={1.5*\r}]; +} + +\only<-4|handout:0>{ + \draw (PB) circle[radius=\r]; +} +\only<5->{ + \draw (PB) circle[radius={1.5*\r}]; +} + +\only<-5|handout:0>{ + \draw (PC) circle[radius=\r]; +} +\only<6->{ + \draw (PC) circle[radius={1.5*\r}]; +} + +\only<-6|handout:0>{ + \draw (QD) circle[radius=\r]; +} +\only<7->{ + \draw (QD) circle[radius={1.5*\r}]; +} + +\draw (PA) circle[radius=\r]; +\draw (PD) circle[radius=\r]; +\draw (PE) circle[radius=\r]; + +\draw (QB) circle[radius=\r]; +\draw (QC) circle[radius=\r]; +\draw (QE) circle[radius=\r]; + +\only<4|handout:0>{ +\node at ($0.5*(QC)+0.5*(QD)+(0,-0.2)$) [below] {$\operatorname{ind} G = 1$}; +} +\only<5|handout:0>{ +\node at ($0.5*(QC)+0.5*(QD)+(0,-0.2)$) [below] {$\operatorname{ind} G = 2$}; +} +\only<6|handout:0>{ +\node at ($0.5*(QC)+0.5*(QD)+(0,-0.2)$) [below] {$\operatorname{ind} G = 3$}; +} +\only<7->{ +\node at ($0.5*(QC)+0.5*(QD)+(0,-0.2)$) [below] {$\operatorname{ind} G = 4$}; +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/chrindprop.tex b/vorlesungen/slides/8/chrindprop.tex new file mode 100644 index 0000000..094588c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/chrindprop.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% chrindprop.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Zusammenhang zwischen $\operatorname{chr}G$ und $\operatorname{ind}G$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.38\textwidth} +\begin{block}{Proposition} +Ist $G$ ein Graph mit $n$ Knoten, dann gilt +\[ +\operatorname{chr}G +\cdot +\operatorname{ind}G +\ge n +\] +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Beispiel} +Peterson-Graph $K$ hat $n=10$ Knoten: +\[ +\operatorname{chr}(K) +\cdot +\operatorname{ind}(K) += +3\cdot 4 +\ge +10 += +n +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.58\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<4-> eine minimale Färbung hat $\operatorname{chr}(G)$ Farben +\item<5-> Sie teilt die Knoten in $\operatorname{chr}(G)$ +gleichfarbige Mengen auf +\item<6-> Jede einfarbige Menge von Knoten ist unabhängig, d.~h.~sie +besteht aus Knoten, die nicht miteinander verbunden sind. +\item<7-> Jede einfarbige Menge enthält höchstens $\operatorname{ind}(G)$ +\item<8-> Die Gesamtzahl der Knoten ist +\[ +n\uncover<9->{=\sum_{\text{Farbe}}\underbrace{|V_{\text{Farbe}}|}_{\le \operatorname{ind}(G)}} +\uncover<10->{\le +\operatorname{chr}(G) +\cdot +\operatorname{ind}(G)} +\] +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/chroma1.tex b/vorlesungen/slides/8/chroma1.tex new file mode 100644 index 0000000..6a55704 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/chroma1.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% chroma1.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Schranke für $\operatorname{chr}(G)$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Proposition} +Ist $G$ ein Graph mit maximalem Grad $d$, dann gilt +\[ +\operatorname{chr}(G) \le d + 1 +\] +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Beispiel} +\begin{itemize} +\item<3-> +Peterson-Graph $G$: maximaler Grad ist $d=3$, aber +\[ +\operatorname{chr}(G) += +3 +< d+1=4 +\] +\item<4-> +Voller Graph $V$: maximaler Grad ist $d=n-1$, +\[ +\operatorname{chr}(V) = n = d+1 +\] +\end{itemize} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.58\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{proof}[Beweis] +Mit vollständiger Induktion, d.~h.~Annahme: Graphen mit $ $X$ ein Graph mit $n$ Knoten +\item<6-> entferne den Knoten $v\in X$, $X'=X\setminus\{v\}$ +\item<7-> $X'$ lässt sich mit höchstens $d+1$ Farben einfärben +\item<8-> $v$ hat höchstens $d$ Nachbarn, die höchsten $d$ verschiedene +Farben haben +\item<9-> Es bleibt eine Farbe für $v$ +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/spanningtree.tex b/vorlesungen/slides/8/spanningtree.tex index 425fe1c..62180d9 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/spanningtree.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/spanningtree.tex @@ -3,6 +3,7 @@ % % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +\bgroup \begin{frame} \frametitle{Spannbäume} @@ -121,7 +122,7 @@ Wieviele Spannbäume gibt es? \begin{column}{0.56\hsize} \uncover<5->{% \begin{block}{Laplace-Matrix} -\vspace{-15pt} +%\vspace{-15pt} \[ L= \tiny @@ -162,3 +163,4 @@ L\text{ ohne }\left\{\begin{array}{c}\text{Zeile $i$}\\\text{Spalte $j$}\end{arr \end{columns} \end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 0089fd1369af66dd7f694d18290f4f677b5046ba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 13 May 2021 18:05:26 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 4 ++ vorlesungen/slides/8/amax.tex | 86 ++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/chapter.tex | 4 ++ vorlesungen/slides/8/chrwilf.tex | 115 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/subgraph.tex | 60 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/weitere.tex | 43 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wilf.m | 22 ++++++++ 7 files changed, 334 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/8/amax.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/chrwilf.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/subgraph.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/weitere.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wilf.m (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index b2823ca..81f91d0 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -31,5 +31,9 @@ chapter8 = \ ../slides/8/chrind.tex \ ../slides/8/chrindprop.tex \ ../slides/8/chroma1.tex \ + ../slides/8/amax.tex \ + ../slides/8/subgraph.tex \ + ../slides/8/chrwilf.tex \ + ../slides/8/weitere.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/amax.tex b/vorlesungen/slides/8/amax.tex new file mode 100644 index 0000000..951400a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/amax.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +% +% amax.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{$\alpha_{\text{max}}$ und $d$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\begin{block}{Definition} +$\alpha_{\text{max}}$ ist der grösste Eigenwert der Adjazenzmatrix +\end{block} +\uncover<2->{ +\begin{block}{Fakten} +\begin{itemize} +\item<3-> +Der Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$ ist einfach +\item<4-> +Es gibt einen positiven Eigenvektor $f$ zum Eigenwert $\alpha_{\text{max}}$ +\item<5-> +$f$ maximiert +\[ +\frac{\langle Af,f\rangle}{\langle f,f\rangle} += +\alpha_{\text{max}} +\] +\end{itemize} +Herkunft: Perron-Frobenius-Theorie positiver Matrizen (nächste Woche) +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Mittlerer Grad} +\[ +\overline{d} += +\frac1{n} \sum_{v} \operatorname{deg}(v) +\le +\alpha_{\text{max}} +\le +d +\] +\end{block}} +\vspace{-10pt} +\uncover<7->{% +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item Konstante Funktion $1$ anstelle von $f$: +\[ +\frac{\langle A1,1\rangle}{\langle 1,1\rangle} +\uncover<8->{= +\frac{\sum_v \operatorname{deg}(v)}{n}} +\uncover<9->{= +\overline{d}} +\uncover<10->{\le +\alpha_{\text{max}}} +\] +\item<11-> Komponenten von $Af$ summieren: +\begin{align*} +\uncover<12->{ +\alpha_{\text{max}} +f(v) &= (Af)(v)}\uncover<13->{ = \sum_{u\sim v} f(u)} +\\ +\uncover<14->{\alpha_{\text{max}} +\sum_{v}f(v) +&= +\sum_v +\operatorname{deg}(v) f(v)} +\\ +&\uncover<15->{\le +d\sum_v f(v)} +\; +\uncover<16->{\Rightarrow +\; +\alpha_{\text{max}} \le d} +\end{align*} +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index 2110bb2..7511e3e 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -33,4 +33,8 @@ \folie{8/chrind.tex} \folie{8/chrindprop.tex} \folie{8/chroma1.tex} +\folie{8/amax.tex} +\folie{8/subgraph.tex} +\folie{8/chrwilf.tex} +\folie{8/weitere.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/8/chrwilf.tex b/vorlesungen/slides/8/chrwilf.tex new file mode 100644 index 0000000..7edb10e --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/chrwilf.tex @@ -0,0 +1,115 @@ +% +% chrwilf.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\def\kante#1#2{ + \draw[shorten >= 0.2cm,shorten <= 0.2cm] (#1) -- (#2); +} +\def\knoten#1#2{ + \uncover<8->{ + \fill[color=#2!30] (#1) circle[radius=0.2]; + \draw[color=#2] (#1) circle[radius=0.2]; + } + \only<-7>{ + \draw (#1) circle[radius=0.2]; + } +} +\def\R{1.5} +\definecolor{rot}{rgb}{1,0,0} +\definecolor{gruen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1} +\begin{frame}[t] +\frametitle{Schranke für die chromatische Zahl} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz (Wilf)} +$\uncover<2->{\operatorname{chr}(X) \le 1+}\alpha_{\text{max}} \le\uncover<2->{ 1 + }d$ +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Beispiel} +\begin{align*} +\uncover<4->{d&= 4} +&&\uncover<5->{\Rightarrow& \operatorname{chr}(G) &\le 5}\\ +\uncover<6->{\alpha_{\text{max}} &= +2.9565} +&&\uncover<7->{\Rightarrow& \operatorname{chr}(G) &\le 3}\\ +\uncover<4->{\overline{d} &= \frac{24}{9}=\rlap{$2.6666$}} +\end{align*} +\vspace{-20pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\coordinate (A) at (0:\R); +\coordinate (B) at (40:\R); +\coordinate (C) at (80:\R); +\coordinate (D) at (120:\R); +\coordinate (E) at (160:\R); +\coordinate (F) at (200:\R); +\coordinate (G) at (240:\R); +\coordinate (H) at (280:\R); +\coordinate (I) at (320:\R); + +\knoten{A}{rot} +\knoten{B}{blau} +\knoten{C}{gruen} +\knoten{D}{blau} +\knoten{E}{rot} +\knoten{F}{blau} +\knoten{G}{rot} +\knoten{H}{gruen} +\knoten{I}{blau} + +\kante{A}{B} +\kante{B}{C} +\kante{C}{D} +\kante{D}{E} +\kante{E}{F} +\kante{F}{G} +\kante{G}{H} +\kante{H}{I} +\kante{I}{A} + +\kante{A}{C} +\kante{A}{D} +\kante{D}{G} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<9->{% +\begin{proof}[Beweis] +Induktion nach der Grösse $n$ des Graphen. +\begin{itemize} +\item<10-> +Entferne $v\in X$ mit minimalem Grad: $X'=X\setminus \{v\}$ +\item<11-> +Induktionsannahme: +\[ +\operatorname{chr}(X') +\le +1+ +\alpha_{\text{max}}' +\] +\item<12-> +$X'$ kann mit höhcstens $1+\alpha_{\text{max}}'\le 1+\alpha_{\text{max}}$ +Farben eingefärbt werden. +\item<13-> +Wegen +\( +\deg(v) \le \overline{d} \le \alpha_{\text{max}} +\) +hat $v$ höchstens $\alpha_{\text{max}}$ Nachbarn, um $v$ zu färben, +braucht man also höchstens $1+\alpha_{\text{max}}$ Farben. +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/subgraph.tex b/vorlesungen/slides/8/subgraph.tex new file mode 100644 index 0000000..f3005f9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/subgraph.tex @@ -0,0 +1,60 @@ +% +% subgraph.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{$\alpha_{\text{max}}$ eines Untergraphen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$X'$ ein echter Untergraph von $X$ mit Adjazenzmatrix $A'$ und grösstem +Eigenwert $\alpha_{\text{max}}'$ +\[ +\alpha_{\text{max}}' \le \alpha_{\text{max}} +\] +\end{block} +\uncover<2->{$V'$ die Knoten von $X'$} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<4-> +$f'$ der positive Eigenvektor von $A'$ +\item<5-> +Definiere +\[ +g(v) += +\begin{cases} +f'(v) &\qquad v\in V'\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +\item<6-> Skalarprodukte: +\begin{align*} +\uncover<7->{\langle f',f'\rangle &= \langle g,g\rangle} +\\ +\uncover<8->{\langle A'f',f'\rangle &\le \langle Ag,g\rangle} +\end{align*} +\item<9-> Vergleich +\[ +\alpha_{\text{max}}' += +\frac{\langle A'f',f'\rangle}{\langle f',f'\rangle} +\uncover<10->{\le +\frac{\langle Ag,g\rangle}{\langle g,g\rangle}} +\uncover<11->{\le +\alpha_{\text{max}}} +\] +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/weitere.tex b/vorlesungen/slides/8/weitere.tex new file mode 100644 index 0000000..46a3da0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/weitere.tex @@ -0,0 +1,43 @@ +% +% weitere.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Weitere Resultate der spektralen Graphentheorie} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz (Hoffmann)} +\[ +\operatorname{chr} X \ge 1 + \frac{\alpha_{\text{max}}}{-\alpha_{\text{min}}} +\] +\end{block} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Satz (Hoffmann)} +\[ +\operatorname{ind} X \le n \biggl(1-\frac{d_{\text{min}}}{\lambda_{\text{max}}}\biggr) +\] +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Korollar} +Für einen regulären Graphen mit $n$ Knoten gilt +\begin{align*} +\operatorname{ind} X +&\le +\frac{n}{\displaystyle 1-\frac{d}{\alpha_{\text{min}}}} +\\ +\operatorname{chr} X +&\ge +1-\frac{d}{\alpha_{\text{min}}} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wilf.m b/vorlesungen/slides/8/wilf.m new file mode 100644 index 0000000..49dc161 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wilf.m @@ -0,0 +1,22 @@ +# +# wilf.m -- chromatische Zahl für einen Graphen +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +N = 9; +A = zeros(N,N); + +for i = (1:N) + j = 1 + rem(i, N) + A(i,j) = 1; +endfor +for i = (1:3:N-3) + j = 1 + rem(i + 2, N) + A(i,j) = 1; +endfor + +A(1,3) = 1; + +A = A + A' + +eig(A) -- cgit v1.2.1 From f1e6ef449cbcb3d5653f23614511b8c6db3dd282 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 13 May 2021 18:41:38 +0200 Subject: typos --- vorlesungen/slides/8/inzidenz.tex | 4 +++- vorlesungen/slides/8/inzidenzd.tex | 4 +++- vorlesungen/slides/8/produkt.tex | 2 +- 3 files changed, 7 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/8/inzidenz.tex b/vorlesungen/slides/8/inzidenz.tex index 952c85b..10f88cd 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/inzidenz.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/inzidenz.tex @@ -5,6 +5,8 @@ % \bgroup \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \begin{frame}[t] \frametitle{Inzidenz- und Adjazenzmatrix} \vspace{-20pt} @@ -67,7 +69,7 @@ \vspace{-10pt} \uncover<5->{% \begin{block}{Definition} -\vspace{-15pt} +%\vspace{-15pt} \begin{align*} B(G)_{ij}&=1&&\Leftrightarrow&&\text{Kante $j$ endet in Knoten $i$}\\ A(G)_{ij}&=1&&\Leftrightarrow&&\text{Kante zwischen Knoten $i$ und $j$} diff --git a/vorlesungen/slides/8/inzidenzd.tex b/vorlesungen/slides/8/inzidenzd.tex index 5f2f51a..43e5330 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/inzidenzd.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/inzidenzd.tex @@ -5,6 +5,8 @@ % \bgroup \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \begin{frame}[t] \frametitle{Inzidenz- und Adjazenz-Matrix} \vspace{-20pt} @@ -67,7 +69,7 @@ \vspace{-15pt} \uncover<5->{% \begin{block}{Definition} -\vspace{-20pt} +%\vspace{-20pt} \begin{align*} B(G)_{ij}&=-1&&\Leftrightarrow&&\text{Kante $j$ von $i$}\\ B(G)_{kj}&=+1&&\Leftrightarrow&&\text{Kante $j$ nach $k$}\\ diff --git a/vorlesungen/slides/8/produkt.tex b/vorlesungen/slides/8/produkt.tex index 1d8b725..93333bc 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/produkt.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/produkt.tex @@ -56,7 +56,7 @@ \end{center} \vspace{-15pt} \begin{block}{Berechne} -\vspace{-20pt} +%\vspace{-20pt} \begin{align*} \uncover<4->{L(G)}&\uncover<4->{=}B(G)B(G)^t \end{align*} -- cgit v1.2.1 From e66a66d3519490e2f7cb50227a9771faf4866068 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 18 May 2021 10:42:05 +0200 Subject: add new presentation files --- vorlesungen/slides/7/exponentialreihe.tex | 24 ++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 24 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/7/exponentialreihe.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/7/exponentialreihe.tex b/vorlesungen/slides/7/exponentialreihe.tex new file mode 100644 index 0000000..b1aeda6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/7/exponentialreihe.tex @@ -0,0 +1,24 @@ +% +% exponentialreihe.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Exponentialreihe} +\begin{align*} +h(s) &= \exp(tA_0 + sB) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (tA_0 + sB)^k +\\ +&= +I + (tA_0 + sB) + \frac{1}{2!}(t^2A_0^2 + ts(A_0B + BA_0) + s^2B^2) ++ \frac{1}{3!}(t^3A_0^3 + t^2s(A_0^2B + A_0BA_0 + BA_0^2) + \dots) ++ \dots +\\ +\frac{dg(s)}{ds} +&= +B + \frac1{2!}t(A_0B+BA_0) + \frac{1}{3!}t^2(A_0^2B+A_0BA_0+BA_0^2) + \dots +\end{align*} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 1678bfd4fa5944538e6961d16be92db9b8fa4ed8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 18 May 2021 12:45:59 +0200 Subject: add slides --- vorlesungen/slides/9/Makefile.inc | 2 + vorlesungen/slides/9/chapter.tex | 3 ++ vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex | 59 +++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex | 84 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 3 +- 5 files changed, 150 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index fa6c29b..a64a09a 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -10,5 +10,7 @@ chapter9 = \ ../slides/9/irreduzibel.tex \ ../slides/9/stationaer.tex \ ../slides/9/pf.tex \ + ../slides/9/pf/positiv.tex \ + ../slides/9/pf/primitiv.tex \ ../slides/9/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index 9e26587..ded0176 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -11,4 +11,7 @@ \folie{9/irreduzibel.tex} \folie{9/pf.tex} +\folie{9/pf/positiv.tex} +\folie{9/pf/primitiv.tex} + diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex new file mode 100644 index 0000000..382dfd6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% positiv.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Positive und nichtnegative Matrizen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Positive Matrix\strut} +Eine Matrix $A$ heisst positiv, wenn +\[ +a_{ij} > 0\quad\forall i,j +\] +Man schreibt $A>0\mathstrut$ +\end{block} +\begin{block}{Relation $>\mathstrut$} +Man schreibt $A>B$ wenn $A-B > 0\mathstrut$ +\end{block} +\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsmatrix} +\[ +W=\begin{pmatrix} +0.7&0.2&0.1\\ +0.2&0.6&0.1\\ +0.1&0.2&0.8 +\end{pmatrix} +\] +Spaltensumme$\mathstrut=1$, Zeilensumme$\mathstrut=?$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Nichtnegative Matrix\strut} +Eine Matrix $A$ heisst nichtnegativ, wenn +\[ +a_{ij} \ge 0\quad\forall i,j +\] +Man schreibt $A\ge 0\mathstrut$ +\end{block} +\begin{block}{Relation $\ge\mathstrut$} +Man schreibt $A\ge B$ wenn $A-B \ge 0\mathstrut$ +\end{block} +\begin{block}{Permutationsmatrix} +\[ +P=\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +1&0&0\\ +0&1&0 +\end{pmatrix} +\] +Genau eine $1$ in jeder Zeile/Spalte +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex new file mode 100644 index 0000000..961b1d5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/primitiv.tex @@ -0,0 +1,84 @@ +% +% primitiv.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Primitive Matrix} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +$A\ge 0$ heisst primitiv, wenn es ein $n>0$ gibt mit $A^n>0$ +\end{block} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Intuition} +\begin{itemize} +\item<10-> +Markov-Ketten: $a_{ij} > 0$ bedeutet, $i$ von $j$ aus erreichbar. +\item<11-> +Band: {\em alle} Verbindung mit allen Nachbarn +\item<12-> +$n$-te Potenz: Pfade der Länge $n$ +\item<13-> +Durchmesser: wenn $n>\text{Durchmesser des Zustandsdiagramms}$, +dann ist $A^n>0$ +\end{itemize} +\end{block} +} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Beispiel: Reduzible W'keitsmatrix} +\vspace{-5pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\fill[color=gray!40] (-1,0) rectangle (0,1); +\fill[color=gray!40] (0,-1) rectangle (1,0); +\draw[line width=0.3pt] (0,-1) -- (0,1); +\draw[line width=0.3pt] (-1,0) -- (1,0); +%\draw (-1,-1) rectangle (1,1); +\node at (0,0) {$\left( \raisebox{0pt}[1cm][1cm]{\hspace*{2cm}} \right)$}; +\node at (-1.3,0) [left] {$\mathstrut W=$}; +\node at (0.5,0.5) {$0$}; +\node at (-0.5,-0.5) {$0$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\vspace{-10pt} + +$\Rightarrow$ $W$ ist nicht primitiv +\end{block}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Beispiel: Bandmatrix} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope} +\clip (-1,-1) rectangle (1,1); +\foreach \n in {3,...,8}{ + \pgfmathparse{0.3*(\n-2)} + \xdef\x{\pgfmathresult} + \only<\n>{ + \fill[color=gray!40] + ({-1.2-\x},1) -- (1,{-1.2-\x}) -- (1,{-0.8+\x}) + -- ({-0.8+\x},1) -- cycle; + } +} +\fill[color=gray] (-1.2,1) -- (1,-1.2) -- (1,-0.8) -- (-0.8,1) -- cycle; +\end{scope} +\foreach \n in {2,...,8}{ + \uncover<\n>{ + \pgfmathparse{int(\n-2)} + \xdef\k{\pgfmathresult} + \node at (-1.3,0) [left] {$\mathstrut B^{\k}=$}; + } +} +\node at (0,0) {$\left( \raisebox{0pt}[1cm][1cm]{\hspace*{2cm}} \right)$}; +\end{tikzpicture} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 7434b0b..6245b76 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,5 +3,6 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{7/logarithmus.tex} +\folie{9/pf/positiv.tex} +\folie{9/pf/primitiv.tex} -- cgit v1.2.1 From 1cc2af1d5f61c848cb1fcccdc021addfb0e1626e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 18 May 2021 20:24:21 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/9/Makefile.inc | 4 ++ vorlesungen/slides/9/chapter.tex | 4 ++ vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex | 19 ++++++ vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex | 99 ++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex | 113 ++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex | 26 ++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 8 ++- 7 files changed, 271 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index a64a09a..e23cf09 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -12,5 +12,9 @@ chapter9 = \ ../slides/9/pf.tex \ ../slides/9/pf/positiv.tex \ ../slides/9/pf/primitiv.tex \ + ../slides/9/pf/trennung.tex \ + ../slides/9/pf/vergleich.tex \ + ../slides/9/pf/vergleich3d.tex \ + ../slides/9/pf/dreieck.tex \ ../slides/9/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index ded0176..595dec9 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -13,5 +13,9 @@ \folie{9/pf/positiv.tex} \folie{9/pf/primitiv.tex} +\folie{9/pf/trennung.tex} +\folie{9/pf/vergleich.tex} +\folie{9/pf/vergleich3d.tex} +\folie{9/pf/dreieck.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..ba26e9e --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +% +% dreieck.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Verallgemeinerte Dreiecksungleichung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex new file mode 100644 index 0000000..9c85849 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/trennung.tex @@ -0,0 +1,99 @@ +% +% trennung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Trennung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\coordinate (u) at (3.5,4.5); +\coordinate (v) at (2.5,2); +\coordinate (va) at ({(3.5/2.5)*2.5},{(3.5/2.5)*2}); + +\uncover<3->{ +\fill[color=darkgreen!20] (0,0) rectangle (5.3,5.3); +\node[color=darkgreen] at (1.5,4.9) {$u\not\ge w$}; +\node[color=darkgreen] at (4.4,0.6) {$u\not\ge w$}; +} + +\uncover<5->{ +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle (5.3,5.3); +\draw[color=darkgreen] (0,0) -- ($3*(v)$); +\end{scope} + +\node[color=darkgreen] at ($1.2*(va)$) + [below,rotate={atan(2/2.5)}] {$(1+\mu)v$}; +} + +\uncover<2->{ + \fill[color=red!20] (0,0) rectangle (u); +} + +\fill[color=red] (u) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (u) [above right] {$u$}; + +\uncover<4->{ + \fill[color=blue!40,opacity=0.5] (0,0) rectangle (v); +} + +\uncover<2->{ + \fill[color=blue] (v) circle[radius=0.08]; + \node[color=blue] at (v) [above] {$v$}; +} + +\uncover<4->{ + \draw[color=blue] (0,0) -- (va); + + \fill[color=blue] (va) circle[radius=0.08]; + \node[color=blue] at (va) [above left] {$(1+\varepsilon)v$}; +} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (5.5,0) coordinate[label={$x_1$}]; +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,5.5) coordinate[label={right:$x_2$}]; + +\uncover<2->{ + \draw[->,color=red] (3.0,-0.2) -- (3.0,1.5); + \node[color=red] at (3.0,-0.2) [below] + {$\{w\in\mathbb{R}^n\;|\; wv\ge 0$\uncover<4->{, dann gibt es $\varepsilon>0$ mit +\[ +u\ge (1+\varepsilon)v +\]}% +\uncover<5->{und für $\mu>\varepsilon$ ist +\[ +u \not\ge (1+\mu)v +\]} +\uncover<6->{% +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<7-> +$u>v$ $\Rightarrow$ $u_i/v_i>1$ falls $v_i>0$ +\item<8-> +\[ +\vartheta = \min_{v_i\ne 0} \frac{u_i}{v_i} > 1 +\] +\uncover<9->{$\varepsilon = \vartheta - 1$} +\end{itemize} +\end{proof}} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex new file mode 100644 index 0000000..c1a1f7a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich.tex @@ -0,0 +1,113 @@ +% +% vergleich.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Vergleich} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\def\a{1.2} \def\b{0.35} +\def\c{0.5} \def\d{1.25} +\def\r{4} + +\coordinate (u) at (3.5,0); +\coordinate (v) at (2.5,0); + +\coordinate (Au) at ({3.5*\a},{3.5*\c}); +\coordinate (Av) at ({2.5*\a},{2.5*\c}); + +\uncover<2->{ + \begin{scope} + \clip (0,0) rectangle (5,5); + \fill[color=red!20] (0,0) circle[radius=4]; + \end{scope} + \node[color=red] at (0,4) [below right] {$\mathbb{R}^n$}; + + \fill[color=blue!40,opacity=0.5] (0,0) -- ({\a*\r},{\c*\r}) + -- plot[domain=0:90,samples=100] + ({\r*(\a*cos(\x)+\b*sin(\x))},{\r*(\c*cos(\x)+\d*sin(\x))}) + -- ({\b*\r},{\d*\r}) -- cycle; + \node[color=blue] at ({\r*\b},{\r*\d}) [below right] {$A\mathbb{R}^n$}; +} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (5.5,0) coordinate[label={$x_1$}]; +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,5.5) coordinate[label={right:$x_2$}]; + +\uncover<3->{ + \fill[color=darkgreen!30,opacity=0.5] + (0,0) rectangle ({3.5*\a},{3.5*\c}); + \draw[color=white,line width=0.7pt] + ({3.5*\a},0) -- ({3.5*\a},{3.5*\c}) -- (0,{3.5*\c}); +} + +\uncover<2->{ + \draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\r*\a},{\r*\c}); + \draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\r*\b},{\r*\d}); + + \draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (4,0); + \draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (0,4); +} + +\draw[color=darkgreen,line width=2pt] (u) -- (v); +\fill[color=darkgreen] (u) circle[radius=0.08]; +\fill[color=darkgreen] (v) circle[radius=0.08]; + +\node[color=darkgreen] at (u) [below right] {$u$}; +\node[color=darkgreen] at (v) [below left] {$v$}; +\node[color=darkgreen] at ($0.5*(u)+0.5*(v)$) [above] {$v\le u$}; + +\uncover<3->{ + \draw[color=darkgreen,line width=2pt] (Au) -- (Av); + \fill[color=darkgreen] (Au) circle[radius=0.08]; + \fill[color=darkgreen] (Av) circle[radius=0.08]; + + \node[color=darkgreen] at (Au) [above left] {$Au$}; + \node[color=darkgreen] at (Av) [above left] {$Av$}; + + \node[color=darkgreen] at ($0.5*(Au)+0.5*(Av)$) + [below,rotate={atan(\c/\a)}] {$Av{und $A > 0$}\uncover<3->{ $\Rightarrow$ $Au>Av$} +\end{block} +\uncover<4->{% +\begin{block}{intuitiv} +$A>0$ befördert $\ge$ zu $>$ +\end{block}} +\uncover<5->{% +\begin{proof}[Beweis] +$d=u-v\ge 0$ +\begin{align*} +(Ad)_i +\uncover<6->{= +\sum_{j} +\underbrace{a_{ij}}_{>0}d_j} +\uncover<7->{> +0} +\uncover<8->{\quad\Rightarrow\quad +Au > Av} +\end{align*} +\uncover<7->{da mindestens ein $d_j>0$ ist} +\end{proof}} +\uncover<9->{% +\begin{block}{Korollar} +$A>0$ und $d\ge 0$ $\Rightarrow$ $Ad > 0$ +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex new file mode 100644 index 0000000..1c019a6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/vergleich3d.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Vergleich} + +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.57\textwidth} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf} +\end{center} +\end{column} +\begin{column}{0.38\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$u\ge v\ge 0$ $\Rightarrow$ $Au>Av$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 6245b76..93f899d 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,6 +3,10 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{9/pf/positiv.tex} -\folie{9/pf/primitiv.tex} +%\folie{9/pf/positiv.tex} +%\folie{9/pf/primitiv.tex} +\folie{9/pf/trennung.tex} +\folie{9/pf/vergleich.tex} +\folie{9/pf/vergleich3d.tex} +\folie{9/pf/dreieck.tex} -- cgit v1.2.1 From cd89b4b8b98a5ac8bfc3f4182df01b1b80f33c79 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 19 May 2021 20:42:21 +0200 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/9/Makefile.inc | 2 + vorlesungen/slides/9/chapter.tex | 2 + vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex | 29 ++++- vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex | 194 ++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/potenz.tex | 15 +++ vorlesungen/slides/test.tex | 10 +- 6 files changed, 246 insertions(+), 6 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/potenz.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index e23cf09..4f8fc40 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -10,11 +10,13 @@ chapter9 = \ ../slides/9/irreduzibel.tex \ ../slides/9/stationaer.tex \ ../slides/9/pf.tex \ + ../slides/9/potenz.tex \ ../slides/9/pf/positiv.tex \ ../slides/9/pf/primitiv.tex \ ../slides/9/pf/trennung.tex \ ../slides/9/pf/vergleich.tex \ ../slides/9/pf/vergleich3d.tex \ ../slides/9/pf/dreieck.tex \ + ../slides/9/pf/folgerungen.tex \ ../slides/9/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index 595dec9..1915073 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -10,6 +10,7 @@ \folie{9/stationaer.tex} \folie{9/irreduzibel.tex} \folie{9/pf.tex} +\folie{9/potenz.tex} \folie{9/pf/positiv.tex} \folie{9/pf/primitiv.tex} @@ -17,5 +18,6 @@ \folie{9/pf/vergleich.tex} \folie{9/pf/vergleich3d.tex} \folie{9/pf/dreieck.tex} +\folie{9/pf/folgerungen.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex index ba26e9e..0a572f3 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/dreieck.tex @@ -10,9 +10,34 @@ \frametitle{Verallgemeinerte Dreiecksungleichung} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.32\textwidth} +\begin{block}{Satz} +\[ +|u+v|\le |u|+|v| +\] +Gleichheit wenn lin.~abh. +\end{block} +\begin{block}{Satz} +\[ +\biggl|\sum_i u_i\biggr| +\le +\sum_i |u_i| +\] +Gleichheit wenn $u_i = \lambda_i u$ +\end{block} +\begin{block}{Satz} +\[ +\biggl|\sum_i z_i\biggr| +\le +\sum_i |z_i| +\] +Gleichheit, wenn $z_i=|z_i|c$, $c\in\mathbb{C}$ +\end{block} \end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.68\textwidth} +\begin{center} +\includegraphics[width=\textwidth]{../../buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/dreieck.pdf} +\end{center} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex new file mode 100644 index 0000000..cef8dd2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex @@ -0,0 +1,194 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Folgerungen für $A>0$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Satz} +$u\ge 0$ ein EV zum EW $ \lambda\ne 0$, +dann ist $u>0$ und $\lambda >0$ +\end{block} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Satz} +$v$ ein EV zum EW $\lambda$ mit $|\lambda| = \varrho(A)$, +dann ist $u=|v|$ mit $u_i=|v_i|$ ein EV mit EW $\varrho(A)$ +\end{block}} +\uncover<29->{% +\begin{block}{Satz} +$v$ ein EV zum EW $\lambda$ mit $|\lambda|=\varrho(A)$, +dann ist $\lambda=\varrho(A)$ +\end{block}} +\uncover<46->{% +\begin{block}{Satz} +Der \only<57->{verallgemeinerte }Eigenraum zu EW $\varrho(A)$ +ist eindimensional +\end{block} +} +\end{column} +\only<-6>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<3-> +Vergleich: $Au>0$ +\item<4-> +$Au=\lambda u > 0$ +\item<5-> +$\lambda >0$ und $u>0$ +\end{itemize} +\end{proof} +\end{column}} +\only<7-20>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{align*} +(Au)_i +&\only<-8>{= +\sum_j a_{ij}u_j} +\only<8-9>{= +\sum_j |a_{ij}v_j|} +\only<9->{\ge} +\only<9-10>{ +\biggl|\sum_j a_{ij}v_j\biggr|} +\only<10>{=} +\only<10-11>{ +|(Av)_i|} +\only<11>{=} +\only<11-12>{ +|\lambda v_i|} +\only<12>{=} +\only<12-13>{ +\varrho(A) |v_i|} +\only<13>{=} +\uncover<13->{ +\varrho(A) u_i} +\hspace*{5cm} +\\ +\uncover<14->{Au&\ge \varrho(A)u} +\intertext{\uncover<15->{Vergleich}} +\uncover<16->{A^2u&> \varrho(A)Au} +\intertext{\uncover<17->{Trennung: $\exists \vartheta >1$ mit}} +\uncover<18->{A^2u&\ge \vartheta \varrho(A) Au }\\ +\uncover<19->{A^3u&\ge (\vartheta \varrho(A))^2 Au }\\ +\uncover<20->{A^ku&\ge (\vartheta \varrho(A))^{k-1} Au }\\ +\end{align*} +\end{proof} +\end{column}} +\only<21-29>{% +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis, Fortsetzung] +Abschätzung der Operatornorm: +\begin{align*} +\|A^k\|\, |Au| +\ge +\|A^{k+1}u\| +\uncover<22->{ +\ge +(\vartheta\varrho(A))^k |Au|} +\end{align*} +\uncover<23->{Abschätzung des Spektralradius} +\begin{align*} +\uncover<24->{\|A^k\| &\ge (\vartheta\varrho(A))^k} +\\ +\uncover<25->{\|A^k\|^{\frac1k} &\ge \vartheta \varrho(A)} +\\ +\uncover<26->{\lim_{k\to\infty}\|A^k\|^{\frac1k} &\ge \vartheta \varrho(A)} +\\ +\uncover<27->{\varrho(A) &\ge \underbrace{\vartheta}_{>1} \varrho(A)} +\end{align*} +\uncover<28->{Widerspruch: $u=v$} +\end{proof} +\end{column}} +\only<30-46>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +$u$ ist EV mit EW $\varrho(A)$: +\[ +Au=\varrho(A)u +\uncover<31->{\Rightarrow +\sum_j a_{ij}|v_j| = {\color<38->{red}\varrho(A) |v_i|}} +\] +\uncover<33->{Andererseits: $Av=\lambda v$} +\[ +\uncover<34->{\sum_{j}a_{ij}v_j=\lambda v_i} +\] +\uncover<35->{Betrag} +\begin{align*} +\uncover<36->{\biggl|\sum_j a_{ij}v_j\biggr| +&= +|\lambda v_i|} +\uncover<37->{= +{\color<38->{red}\varrho(A) |v_i|}} +\uncover<39->{= +\sum_j a_{ij}|v_j|} +\end{align*} +\uncover<40->{Dreiecksungleichung: $v_j=|v_j|c, c\in\mathbb{C}$} +\[ +\uncover<41->{\lambda v = Av} +\uncover<42->{= Acu} +\uncover<43->{= c\varrho(A) u} +\uncover<44->{= \varrho(A)v} +\] +\uncover<45->{$\Rightarrow +\lambda=\varrho(A) +$} +\end{proof} +\end{column}} +\only<47-57>{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<48-> $u>0$ ein EV zum EW $\varrho(A)$ +\item<49-> $v$ ein weiterer EV, man darf $v\in\mathbb{R}^n$ annehmen +\item<50-> Da $u>0$ gibt es $c>0$ mit $u\ge cv$ aber $u\not > cv$ +\item<51-> $u-cv\ge 0$ aber $u-cv\not > 0$ +\item<52-> $A$ anwenden: +\[ +\begin{array}{ccc} +\uncover<53->{A(u-cv)}&\uncover<54->{>&0} +\\ +\uncover<53->{\|}&& +\\ +\uncover<53->{\varrho(A)(u-cv)}&\uncover<55->{\not>&0} +\end{array} +\] +\uncover<56->{Widerspruch: $v$ existiert nicht} +\end{itemize} +\end{proof} +\end{column}} +\only<58->{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{proof}[Beweis] +\begin{itemize} +\item<59-> $Au=\varrho(A)u$ und $A^tp^t=\varrho(A)p^t$ +\item<60-> $u>0$ und $p>0$ $\Rightarrow$ $up>0$ +\item<61-> $px=0$, dann ist +\[ +\uncover<62->{pAx} +\only<62-63>{= +(A^tp^t)^t x} +\only<63-64>{= +\varrho(A) (p^t)^t x} +\uncover<64->{= +\varrho(A) px} +\uncover<65->{= 0} +\] +\uncover<66->{also ist $\{x\in\mathbb{R}^n\;|\; px=0\}$ +invariant} +\item<67-> Annahme: $v\in \mathcal{E}_{\varrho(A)}$ +\item<68-> Dann muss es einen EV zum EW $\varrho(A)$ in +$\mathcal{E}_{\varrho(A)}$ geben +\item<69-> Widerspruch: der Eigenraum ist eindimensional +\end{itemize} +\end{proof} +\end{column}} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/potenz.tex b/vorlesungen/slides/9/potenz.tex new file mode 100644 index 0000000..2c3afa3 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/potenz.tex @@ -0,0 +1,15 @@ +% +% potenz.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Potenzmethode} +\begin{center} +\includegraphics[width=0.9\textwidth]{../../buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 93f899d..e14410d 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -5,8 +5,10 @@ % %\folie{9/pf/positiv.tex} %\folie{9/pf/primitiv.tex} -\folie{9/pf/trennung.tex} -\folie{9/pf/vergleich.tex} -\folie{9/pf/vergleich3d.tex} -\folie{9/pf/dreieck.tex} +%\folie{9/pf/trennung.tex} +%\folie{9/pf/vergleich.tex} +%\folie{9/pf/vergleich3d.tex} +%\folie{9/pf/dreieck.tex} +%\folie{9/pf/folgerungen.tex} +\folie{9/potenz.tex} -- cgit v1.2.1 From be0efa031a6f2e83ea7394c960ec7ad236f89038 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 09:11:40 +0200 Subject: fix handout --- vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex | 9 +++++++++ 1 file changed, 9 insertions(+) (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex index cef8dd2..5042c78 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/folgerungen.tex @@ -32,6 +32,7 @@ ist eindimensional \end{block} } \end{column} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ \only<-6>{ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{proof}[Beweis] @@ -189,6 +190,14 @@ $\mathcal{E}_{\varrho(A)}$ geben \end{itemize} \end{proof} \end{column}} +}{ +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{} +\usebeamercolor[fg]{title} +Beweise: Buch Abschnitt 9.3 +\end{block} +\end{column} +} \end{columns} \end{frame} \egroup -- cgit v1.2.1 From 80416f0ab893f2b80a01be4acc13bd03c7a03682 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 10:09:26 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/9/Makefile.inc | 4 ++ vorlesungen/slides/9/chapter.tex | 4 ++ vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex | 76 ++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex | 51 ++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex | 83 ++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex | 91 +++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex | 15 +++-- vorlesungen/slides/test.tex | 15 ++++- 8 files changed, 333 insertions(+), 6 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index 4f8fc40..2ce78c0 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -18,5 +18,9 @@ chapter9 = \ ../slides/9/pf/vergleich3d.tex \ ../slides/9/pf/dreieck.tex \ ../slides/9/pf/folgerungen.tex \ + ../slides/9/parrondo/erwartung.tex \ + ../slides/9/parrondo/spiela.tex \ + ../slides/9/parrondo/spielb.tex \ + ../slides/9/parrondo/spielbmod.tex \ ../slides/9/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index 1915073..86e528d 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -20,4 +20,8 @@ \folie{9/pf/dreieck.tex} \folie{9/pf/folgerungen.tex} +\folie{9/parrondo/erwartung.tex} +\folie{9/parrondo/spiela.tex} +\folie{9/parrondo/spielb.tex} +\folie{9/parrondo/spielbmod.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex new file mode 100644 index 0000000..67bb61d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% erwartung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Erwartung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zufallsvariable} +\begin{center} +\[ +\begin{array}{c|c} +\text{Werte $X$}&\text{Wahrscheinlichkeit $p$}\\ +\hline +x_1&p_1=P(X=x_1)\\ +x_2&p_2=P(X=x_2)\\ +\vdots&\vdots\\ +x_n&p_n=P(X=x_n) +\end{array} +\] +\end{center} +\end{block} +\begin{block}{Einervektoren/-matrizen} +\[ +U=\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1\\ +1&1&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +\in +M_{n\times m}(\Bbbk) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Erwartungswerte} +\begin{align*} +E(X) +&= +\sum_i x_ip_i += +x^tp += +U^t x\odot p +\\ +E(X^2) +&= +\sum_i x_i^2p_i += +(x\odot x)^tp += +U^t (x\odot x) \odot p +\\ +E(X^k) +&= +\sum_i x_i^kp_i += +U^t x^{\odot k}\odot p +\end{align*} +Substitution: +\begin{align*} +\sum_i &\to U^t\\ +x_i^k &\to x^{\odot k} +\end{align*} +Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex new file mode 100644 index 0000000..4b3b50c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% +% spiela.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spiel $A$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn = Zufallsvariable $X$ mit Werten $\pm 1$ +\begin{align*} +P(X=\phantom{+}1) +&= +\frac12+e +\\ +P(X= - 1) +&= +\frac12-e +\end{align*} +Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12+e$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(X) +&= +P(X=1)\cdot (1) +\\ +&\qquad ++ +P(X=-1)\cdot (-1) +\\ +&= +\biggl(\frac12+e\biggr)\cdot 1 ++ +\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1) +\\ +&=2e +\end{align*} +$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex new file mode 100644 index 0000000..6ad512c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex @@ -0,0 +1,83 @@ +% +% spielb.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spiel $B$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des +aktuellen Kapitals $K$: +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A0) at (90:2); +\coordinate (A1) at (210:2); +\coordinate (A2) at (330:2); + +\node at (A0) {$0$}; +\node at (A1) {$1$}; +\node at (A2) {$2$}; + +\draw (A0) circle[radius=0.4]; +\draw (A1) circle[radius=0.4]; +\draw (A2) circle[radius=0.4]; + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A1); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A2); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) -- (A2); + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) to[out=90,in=-150] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=90,in=-30] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=-150,in=-30] (A1); + +\def\R{1.9} +\def\r{0.7} + +\node at (30:\r) {$\frac{9}{10}$}; +\node at (150:\r) {$\frac1{10}$}; +\node at (270:\r) {$\frac34$}; + +\node at (30:\R) {$\frac{3}{4}$}; +\node at (150:\R) {$\frac1{4}$}; +\node at (270:\R) {$\frac14$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Markov-Kette $Y$} +Übergangsmatrix +\[ +B=\begin{pmatrix} +0&\frac14&\frac34\\ +\frac{1}{10}&0&\frac14\\ +\frac{9}{10}&\frac34&0 +\end{pmatrix} +\] +Gewinnmatrix: +\[ +G=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&1\\ +1&0&-1\\ +-1&1&0 +\end{pmatrix*} +\] +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t(G\odot B)p +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex new file mode 100644 index 0000000..ee1d12d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +% +% spielb.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Modifiziertes Spiel $B$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des +aktuellen Kapitals $K$: +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\coordinate (A0) at (90:2); +\coordinate (A1) at (210:2); +\coordinate (A2) at (330:2); + +\node at (A0) {$0$}; +\node at (A1) {$1$}; +\node at (A2) {$2$}; + +\draw (A0) circle[radius=0.4]; +\draw (A1) circle[radius=0.4]; +\draw (A2) circle[radius=0.4]; + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A1); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A0) -- (A2); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) -- (A2); + +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A1) to[out=90,in=-150] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=90,in=-30] (A0); +\draw[->,shorten >= 0.4cm,shorten <= 0.4cm] (A2) to[out=-150,in=-30] (A1); + +\def\R{1.9} +\def\r{0.7} + +\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}+\varepsilon$}; +\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}-\varepsilon$}; +\node at (270:\r) {$\frac34-\varepsilon$}; + +\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}-\varepsilon$}; +\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}+\varepsilon$}; +\node at (270:\R) {$\frac14+\varepsilon$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Markov-Kette $\tilde{Y}$} +Übergangsmatrix +\[ +\tilde{B}= +B+\varepsilon F += +B+\varepsilon\begin{pmatrix*}[r] +0&1&-1\\ +-1&0&1\\ +1&-1&0 +\end{pmatrix*} +\] +Gewinnmatrix: +\[ +G=\begin{pmatrix*}[r] +0&-1&1\\ +1&0&-1\\ +-1&1&0 +\end{pmatrix*} +\] +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(\tilde{Y}) +&= +U^t(G\odot \tilde{B})p +\\ +&= +E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p += +\frac1{15}+2\varepsilon +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex b/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex index 382dfd6..d7e833d 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/pf/positiv.tex @@ -18,9 +18,11 @@ a_{ij} > 0\quad\forall i,j \] Man schreibt $A>0\mathstrut$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Relation $>\mathstrut$} Man schreibt $A>B$ wenn $A-B > 0\mathstrut$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<5->{% \begin{block}{Wahrscheinlichkeitsmatrix} \[ W=\begin{pmatrix} @@ -30,19 +32,22 @@ W=\begin{pmatrix} \end{pmatrix} \] Spaltensumme$\mathstrut=1$, Zeilensumme$\mathstrut=?$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Nichtnegative Matrix\strut} Eine Matrix $A$ heisst nichtnegativ, wenn \[ a_{ij} \ge 0\quad\forall i,j \] Man schreibt $A\ge 0\mathstrut$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<4->{% \begin{block}{Relation $\ge\mathstrut$} Man schreibt $A\ge B$ wenn $A-B \ge 0\mathstrut$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<6->{% \begin{block}{Permutationsmatrix} \[ P=\begin{pmatrix} @@ -52,7 +57,7 @@ P=\begin{pmatrix} \end{pmatrix} \] Genau eine $1$ in jeder Zeile/Spalte -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index e14410d..c1cf856 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,6 +3,12 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % +%\folie{9/google.tex} +%\folie{9/markov.tex} +%\folie{9/stationaer.tex} +%\folie{9/irreduzibel.tex} +%\folie{9/pf.tex} + %\folie{9/pf/positiv.tex} %\folie{9/pf/primitiv.tex} %\folie{9/pf/trennung.tex} @@ -10,5 +16,12 @@ %\folie{9/pf/vergleich3d.tex} %\folie{9/pf/dreieck.tex} %\folie{9/pf/folgerungen.tex} -\folie{9/potenz.tex} +%\folie{9/potenz.tex} + +\folie{9/parrondo/erwartung.tex} +%\folie{9/parrondo/uebersicht.tex} +\folie{9/parrondo/spiela.tex} +\folie{9/parrondo/spielb.tex} +\folie{9/parrondo/spielbmod.tex} +%\folie{9/parrondo/kombiniert.tex} -- cgit v1.2.1 From afde1752bdb1adfec3fd1c369ecc69833ea6c2c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 13:17:08 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/9/Makefile.inc | 2 + vorlesungen/slides/9/chapter.tex | 2 + vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex | 36 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex | 68 +++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 3 +- 5 files changed, 110 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index 2ce78c0..095fc12 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -22,5 +22,7 @@ chapter9 = \ ../slides/9/parrondo/spiela.tex \ ../slides/9/parrondo/spielb.tex \ ../slides/9/parrondo/spielbmod.tex \ + ../slides/9/parrondo/kombiniert.tex \ + ../slides/9/parrondo/deformation.tex \ ../slides/9/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index 86e528d..0a00d8d 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -24,4 +24,6 @@ \folie{9/parrondo/spiela.tex} \folie{9/parrondo/spielb.tex} \folie{9/parrondo/spielbmod.tex} +\folie{9/parrondo/kombiniert.tex} +\folie{9/parrondo/deformation.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex new file mode 100644 index 0000000..4ab7066 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +% +% deformation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Deformation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Verlustspiele} +Durch Deformation (Parameter $e$ und $\varepsilon$) kann man +aus $A_e$ und $B_\varepsilon$ Spiele mit negativer Gewinnerwartung machen +\begin{align*} +E(X)&=0&&\rightarrow&E(X_e)&<0\\ +E(Y)&=0&&\rightarrow&E(Y_\varepsilon)&<0\\ +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Kombiniertes Spiel} +Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$ +\begin{align*} +E(Z)&=\frac{18}{709} +&&\rightarrow& +E(Z_*)&>0 +\end{align*} +Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex new file mode 100644 index 0000000..8a7fe43 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +% +% kombiniert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Kombiniertes Spiel $C$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Ein fairer Münzwurf entscheidet, ob +Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt wird +\end{block} +\begin{block}{Übergangsmatrix} +Münzwurf $X$ +\begin{align*} +C +&= +P(X=\text{Kopf})\cdot A ++ +P(X=\text{Zahl})\cdot B +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 0&\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\ +\frac{3}{10}& 0&\frac{3}{8}\\ +\frac{7}{10}&\frac{5}{8}& 0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung im Einzelspiel} +\[ +p=\frac13U +\Rightarrow +U^t(G\odot C)p += +-\frac{1}{30} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Iteriertes Spiel} +\[ +\overline{p}=C\overline{p} +\quad +\Rightarrow +\quad +\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\begin{block}{Gewinnerwartung} +\begin{align*} +E(Z) +&= +U^t (G\odot C) \overline{p} += +\frac{18}{709} +\end{align*} +$C$ ist ein Gewinnspiel! +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index c1cf856..4289c44 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -23,5 +23,6 @@ \folie{9/parrondo/spiela.tex} \folie{9/parrondo/spielb.tex} \folie{9/parrondo/spielbmod.tex} -%\folie{9/parrondo/kombiniert.tex} +\folie{9/parrondo/kombiniert.tex} +\folie{9/parrondo/deformation.tex} -- cgit v1.2.1 From d3b772e811ac42cb912cce367b8e7bee07881084 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 20 May 2021 20:24:26 +0200 Subject: add slides --- vorlesungen/slides/9/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/9/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex | 21 ++++++++---- vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex | 41 +++++++++++++----------- vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex | 31 ++++++++++-------- vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex | 25 ++++++++------- vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex | 25 ++++++++++++--- vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex | 46 +++++++++++++++++---------- vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex | 17 ++++++++++ 9 files changed, 138 insertions(+), 70 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc index 095fc12..2257810 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/9/Makefile.inc @@ -18,6 +18,7 @@ chapter9 = \ ../slides/9/pf/vergleich3d.tex \ ../slides/9/pf/dreieck.tex \ ../slides/9/pf/folgerungen.tex \ + ../slides/9/parrondo/uebersicht.tex \ ../slides/9/parrondo/erwartung.tex \ ../slides/9/parrondo/spiela.tex \ ../slides/9/parrondo/spielb.tex \ diff --git a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex index 0a00d8d..cbab0f0 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/chapter.tex @@ -20,6 +20,7 @@ \folie{9/pf/dreieck.tex} \folie{9/pf/folgerungen.tex} +\folie{9/parrondo/uebersicht.tex} \folie{9/parrondo/erwartung.tex} \folie{9/parrondo/spiela.tex} \folie{9/parrondo/spielb.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex index 4ab7066..40d2eb9 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/deformation.tex @@ -14,22 +14,31 @@ \begin{block}{Verlustspiele} Durch Deformation (Parameter $e$ und $\varepsilon$) kann man aus $A_e$ und $B_\varepsilon$ Spiele mit negativer Gewinnerwartung machen +\uncover<2->{% \begin{align*} E(X)&=0&&\rightarrow&E(X_e)&<0\\ E(Y)&=0&&\rightarrow&E(Y_\varepsilon)&<0\\ -\end{align*} +\end{align*}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Kombiniertes Spiel} -Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$ +\uncover<3->{% +Die Deformation für das Spiel $C$ startet mit Erwartungswert $\frac{18}{709}$}% \begin{align*} -E(Z)&=\frac{18}{709} -&&\rightarrow& -E(Z_*)&>0 +\uncover<4->{E(Z)&=\frac{18}{709}>0} +&&\uncover<5->{\rightarrow& +E(Z_*)&>0} \end{align*} -Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel +\uncover<6->{Wegen Stetigkeit!} +\\ +\uncover<5->{Die Deformation ist immer noch ein Gewinnspiel (für Parameter klein genug)} \end{block} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Parrondo-Paradoxon} +Zufällig zwischen zwei Verlustspielen auswählen kann trotzdem ein +Gewinnspiel ergeben +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex index 67bb61d..b58c37f 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/erwartung.tex @@ -25,6 +25,7 @@ x_n&p_n=P(X=x_n) \] \end{center} \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Einervektoren/-matrizen} \[ U=\begin{pmatrix} @@ -36,9 +37,10 @@ U=\begin{pmatrix} \in M_{n\times m}(\Bbbk) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Erwartungswerte} \begin{align*} E(X) @@ -46,30 +48,33 @@ E(X) \sum_i x_ip_i = x^tp -= -U^t x\odot p +\uncover<5->{= +U^t x\odot p} +\hspace*{3cm} \\ -E(X^2) +\uncover<2->{E(X^2) &= -\sum_i x_i^2p_i -= -(x\odot x)^tp -= -U^t (x\odot x) \odot p +\sum_i x_i^2p_i} +\ifthenelse{\boolean{presentation}}{ +\only<6>{= +(x\odot x)^tp}}{} +\uncover<7->{= +U^t (x\odot x) \odot p} \\ -E(X^k) +\uncover<3->{E(X^k) &= -\sum_i x_i^kp_i -= -U^t x^{\odot k}\odot p +\sum_i x_i^kp_i} +\uncover<8->{= +U^t x^{\odot k}\odot p} \end{align*} +\uncover<9->{% Substitution: \begin{align*} -\sum_i &\to U^t\\ -x_i^k &\to x^{\odot k} -\end{align*} -Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden -\end{block} +\uncover<10->{\sum_i &\to U^t}\\ +\uncover<11->{x_i^k &\to x^{\odot k}} +\end{align*}}% +\uncover<12->{Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex index 8a7fe43..5012d06 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/kombiniert.tex @@ -15,6 +15,7 @@ Ein fairer Münzwurf entscheidet, ob Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt wird \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Übergangsmatrix} Münzwurf $X$ \begin{align*} @@ -24,44 +25,48 @@ P(X=\text{Kopf})\cdot A + P(X=\text{Zahl})\cdot B \\ -&= +&\uncover<3->{= \begin{pmatrix} 0&\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\ \frac{3}{10}& 0&\frac{3}{8}\\ \frac{7}{10}&\frac{5}{8}& 0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\vspace{-8pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Gewinnerwartung im Einzelspiel} \[ p=\frac13U \Rightarrow U^t(G\odot C)p -= --\frac{1}{30} +\uncover<5->{= +-\frac{1}{30}} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Iteriertes Spiel} \[ \overline{p}=C\overline{p} \quad -\Rightarrow +\uncover<7->{\Rightarrow \quad -\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix} +\overline{p}=\frac{1}{709}\begin{pmatrix}245\\180\\284\end{pmatrix}} \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<8->{% \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} E(Z) &= U^t (G\odot C) \overline{p} -= -\frac{18}{709} +\uncover<9->{= +\frac{18}{709}} \end{align*} -$C$ ist ein Gewinnspiel! -\end{block} +\uncover<10->{$C$ ist ein Gewinnspiel!} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex index 4b3b50c..629586f 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spiela.tex @@ -16,35 +16,36 @@ Gewinn = Zufallsvariable $X$ mit Werten $\pm 1$ \begin{align*} P(X=\phantom{+}1) &= -\frac12+e +\frac12\uncover<2->{+e} \\ P(X= - 1) &= -\frac12-e +\frac12\uncover<2->{-e} \end{align*} -Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12+e$ +Bernoulli-Experiment mit $p=\frac12\uncover<2->{+e}$ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{ \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} E(X) -&= -P(X=1)\cdot (1) +&=\uncover<4->{ +P(X=1)\cdot (1)} \\ &\qquad -+ -P(X=-1)\cdot (-1) +\uncover<4->{+ +P(X=-1)\cdot (-1)} \\ -&= +&\uncover<5->{= \biggl(\frac12+e\biggr)\cdot 1 + -\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1) +\biggl(\frac12-e\biggr)\cdot (-1)} \\ -&=2e +&\uncover<6->{=2e} \end{align*} -$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$} -\end{block} +\uncover<7->{$\Rightarrow$ {\usebeamercolor[fg]{title}Verlustspiel für $e<0$}} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex index 6ad512c..f65564f 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielb.tex @@ -15,6 +15,7 @@ Gewinn $\pm 1$, Wahrscheinlichkeit abhängig vom 3er-Rest des aktuellen Kapitals $K$: \begin{center} +\uncover<2->{% \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \coordinate (A0) at (90:2); \coordinate (A1) at (210:2); @@ -47,11 +48,12 @@ aktuellen Kapitals $K$: \node at (150:\R) {$\frac1{4}$}; \node at (270:\R) {$\frac14$}; -\end{tikzpicture} +\end{tikzpicture}} \end{center} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Markov-Kette $Y$} Übergangsmatrix \[ @@ -61,22 +63,37 @@ B=\begin{pmatrix} \frac{9}{10}&\frac34&0 \end{pmatrix} \] +\vspace{-10pt} + +\uncover<4->{% Gewinnmatrix: +\vspace{-2pt} \[ G=\begin{pmatrix*}[r] 0&-1&1\\ 1&0&-1\\ -1&1&0 \end{pmatrix*} -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} +\vspace{-12pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} +&&&& E(Y) &= U^t(G\odot B)p +\\ +p&={\textstyle\frac13}U +&&\Rightarrow& +E(Y)&={\textstyle\frac1{15}} +\\ +\overline{p}&={\tiny\frac{1}{13}\begin{pmatrix}5\\2\\6\end{pmatrix}} +&&\Rightarrow& +E(Y)&=0 \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex index ee1d12d..66d39bc 100644 --- a/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/spielbmod.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Modifiziertes Spiel $B$} +\frametitle{Modifiziertes Spiel $\tilde{B}$} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} @@ -39,13 +39,13 @@ aktuellen Kapitals $K$: \def\R{1.9} \def\r{0.7} -\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}+\varepsilon$}; -\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}-\varepsilon$}; -\node at (270:\r) {$\frac34-\varepsilon$}; +\node at (30:{0.9*\r}) {\tiny $\frac{9}{10}\uncover<2->{+\varepsilon}$}; +\node at (150:{0.9*\r}) {\tiny $\frac1{10}\uncover<2->{-\varepsilon}$}; +\node at (270:\r) {$\frac34\uncover<2->{-\varepsilon}$}; -\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}-\varepsilon$}; -\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}+\varepsilon$}; -\node at (270:\R) {$\frac14+\varepsilon$}; +\node at (30:{1.1*\R}) {$\frac{3}{4}\uncover<2->{-\varepsilon}$}; +\node at (150:{1.1*\R}) {$\frac1{4}\uncover<2->{+\varepsilon}$}; +\node at (270:\R) {$\frac14\uncover<2->{+\varepsilon}$}; \end{tikzpicture} \end{center} @@ -56,14 +56,17 @@ aktuellen Kapitals $K$: Übergangsmatrix \[ \tilde{B}= -B+\varepsilon F -= +B\uncover<2->{+\varepsilon F} +\uncover<3->{= B+\varepsilon\begin{pmatrix*}[r] 0&1&-1\\ -1&0&1\\ 1&-1&0 -\end{pmatrix*} +\end{pmatrix*}} \] +\vspace{-12pt} + +\uncover<4->{% Gewinnmatrix: \[ G=\begin{pmatrix*}[r] @@ -71,20 +74,29 @@ G=\begin{pmatrix*}[r] 1&0&-1\\ -1&1&0 \end{pmatrix*} -\] +\]} \end{block} +\vspace{-12pt} +\uncover<5->{% \begin{block}{Gewinnerwartung} \begin{align*} -E(\tilde{Y}) +\uncover<6->{E(\tilde{Y}) &= -U^t(G\odot \tilde{B})p +U^t(G\odot \tilde{B})p} \\ +&\uncover<7->{= +E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p} +\uncover<8->{= +{\textstyle\frac1{15}}+2\varepsilon} +\\ +\uncover<9->{ +\text{rep.} &= -E(Y) + \varepsilon U^t(G\odot F)p -= -\frac1{15}+2\varepsilon +-{\textstyle\frac{294}{169}}\varepsilon+O(\varepsilon^2) +\quad\text{Verlustspiel} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex new file mode 100644 index 0000000..2f3597a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/9/parrondo/uebersicht.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +% +% uebersicht.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame} +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Parrondo-Paradoxon} +\begin{center} +\Large +Zufällige +Wahl zwischen zwei Verlustspielen = Gewinnspiel? +\end{center} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 4aa6200c8c18b9bb70e97d07e6d846d392459cd0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 27 May 2021 09:49:53 +0200 Subject: laplace basis slides --- vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 3 + vorlesungen/slides/8/chapter.tex | 3 + vorlesungen/slides/8/wavelets/Makefile | 8 + vorlesungen/slides/8/wavelets/ev.m | 97 ++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 19 +++ vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex | 76 ++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex | 62 ++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/vektoren.tex | 200 +++++++++++++++++++++++++ 8 files changed, 468 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/Makefile create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/ev.m create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/vektoren.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index 81f91d0..9a059b3 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -35,5 +35,8 @@ chapter8 = \ ../slides/8/subgraph.tex \ ../slides/8/chrwilf.tex \ ../slides/8/weitere.tex \ + ../slides/8/wavelets/funktionen.tex \ + ../slides/8/wavelets/laplacebasis.tex \ + ../slides/8/wavelets/vektoren.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index 7511e3e..dc6b522 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -38,3 +38,6 @@ \folie{8/chrwilf.tex} \folie{8/weitere.tex} +\folie{8/wavelets/funktionen.tex} +\folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} + diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/Makefile b/vorlesungen/slides/8/wavelets/Makefile new file mode 100644 index 0000000..3b4a5ce --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/Makefile @@ -0,0 +1,8 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +vektoren.tex: ev.m + octave ev.m diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/ev.m b/vorlesungen/slides/8/wavelets/ev.m new file mode 100644 index 0000000..7f4dd55 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/ev.m @@ -0,0 +1,97 @@ +# +# ev.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +L = [ + 2, -1, 0, -1, 0; + -1, 4, -1, -1, -1; + 0, -1, 2, 0, -1; + -1, -1, 0, 3, -1; + 0, -1, -1, -1, 3 +]; + +[v, lambda] = eig(L); + +function knoten(fn, wert, punkt) + if (wert > 0) + farbe = sprintf("red!%02d", round(100 * wert)); + else + farbe = sprintf("blue!%02d", round(-100 * wert)); + end + fprintf(fn, "\t\\fill[color=%s] %s circle[radius=0.25];\n", + farbe, punkt); + fprintf(fn, "\t\\draw %s circle[radius=0.25];\n", punkt); +endfunction + +function vektor(fn, v, name, lambda) + fprintf(fn, "\\def\\%s{\n", name); + fprintf(fn, "\t\\coordinate (A) at ({0*\\a},0);\n"); + fprintf(fn, "\t\\coordinate (B) at ({1*\\a},0);\n"); + fprintf(fn, "\t\\coordinate (C) at ({2*\\a},0);\n"); + fprintf(fn, "\t\\coordinate (D) at ({0.5*\\a},{-\\b});\n"); + fprintf(fn, "\t\\coordinate (E) at ({1.5*\\a},{-\\b});\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (A) -- (B);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (A) -- (D);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (B) -- (C);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (B) -- (D);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (B) -- (E);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (C) -- (E);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw (D) -- (E);\n"); + fprintf(fn, "\t\\node at (-2.8,{-0.5*\\b}) [right] {$\\lambda=%.4f$};\n", + round(1000 * abs(lambda)) / 10000); + w = v / max(abs(v)); + knoten(fn, w(1,1), "(A)"); + knoten(fn, w(2,1), "(B)"); + knoten(fn, w(3,1), "(C)"); + knoten(fn, w(4,1), "(D)"); + knoten(fn, w(5,1), "(E)"); + fprintf(fn, "}\n"); +endfunction + +function punkt(fn, x, wert) + fprintf(fn, "({%.4f*\\c},{%.4f*\\d})", x, wert); +endfunction + +function funktion(fn, v, name, lambda) + fprintf(fn, "\\def\\%s{\n", name); + fprintf(fn, "\t\\draw[color=red,line width=1.4pt]\n\t\t"); + punkt(fn, -2, v(1,1)); + fprintf(fn, " --\n\t\t"); + punkt(fn, -1, v(4,1)); + fprintf(fn, " --\n\t\t"); + punkt(fn, 0, v(2,1)); + fprintf(fn, " --\n\t\t"); + punkt(fn, 1, v(5,1)); + fprintf(fn, " --\n\t\t"); + punkt(fn, 2, v(3,1)); + fprintf(fn, ";\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw[->] ({-2.1*\\c},0) -- ({2.1*\\c},0);\n"); + fprintf(fn, "\t\\draw[->] (0,{-1.1*\\d}) -- (0,{1.1*\\d});\n"); + for x = (-2:2) + fprintf(fn, "\t\\fill ({%d*\\c},0) circle[radius=0.05];\n", x); + endfor + fprintf(fn, "}\n"); +endfunction + +fn = fopen("vektoren.tex", "w"); + +vektor(fn, v(:,1), "vnull", lambda(1,1)); +funktion(fn, v(:,1), "fnull", lambda(1,1)); + +vektor(fn, v(:,2), "vone", lambda(2,2)); +funktion(fn, v(:,2), "fone", lambda(2,2)); + +vektor(fn, v(:,3), "vtwo", lambda(3,3)); +funktion(fn, v(:,3), "ftwo", lambda(3,3)); + +vektor(fn, v(:,4), "vthree", lambda(4,4)); +funktion(fn, v(:,4), "fthree", lambda(4,4)); + +vektor(fn, v(:,5), "vfour", lambda(5,5)); +funktion(fn, v(:,5), "ffour", lambda(5,5)); + +fclose(fn); + + diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex new file mode 100644 index 0000000..4bd507b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +% +% fourier.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Fourier} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex new file mode 100644 index 0000000..f9667ee --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% funktionen.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\knoten#1#2{ + \draw #1 circle[radius=0.25]; + \node at #1 {$#2$}; +} +\def\kante#1#2{ + \draw[shorten >= 0.25cm,shorten <= 0.25cm] #1 -- #2; +} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Funktionen auf einem Graphen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Ein Graph $G=(V,E)$, eine Funktion auf dem Graphen ist +\[ +f\colon V \to \mathbb{R} : v\mapsto f(v) +\] +Knoten: $V=\{1,\dots,n\}$ +\\ +Vektorschreibweise +\[ +f = \begin{pmatrix} +f(1)\\f(2)\\\vdots\\f(n) +\end{pmatrix} +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Matrizen} +Adjazenz-, Grad- und Laplace-Matrix operieren auf Funktionen auf Graphen: +\[ +L += +\begin{pmatrix*}[r] + 2&-1& 0&-1& 0\\ +-1& 4&-1&-1&-1\\ + 0&-1& 2& 0&-1\\ +-1&-1& 0& 3&-1\\ + 0&-1&-1&-1& 3\\ +\end{pmatrix*} +\] +\end{block} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\a{2} +\coordinate (A) at (0,0); +\coordinate (B) at (\a,0); +\coordinate (C) at ({2*\a},0); +\coordinate (D) at ({0.5*\a},{-0.5*sqrt(3)*\a}); +\coordinate (E) at ({1.5*\a},{-0.5*sqrt(3)*\a}); +\knoten{(A)}{1} +\knoten{(B)}{2} +\knoten{(C)}{3} +\knoten{(D)}{4} +\knoten{(E)}{5} +\kante{(A)}{(B)} +\kante{(B)}{(C)} +\kante{(A)}{(D)} +\kante{(B)}{(D)} +\kante{(B)}{(E)} +\kante{(C)}{(E)} +\kante{(D)}{(E)} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex new file mode 100644 index 0000000..a59fbaa --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\a{2} +\def\b{0.8} +\def\c{1} +\def\d{0.6} +\input{../slides/8/wavelets/vektoren.tex} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Laplace-Basis} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\begin{scope}[yshift=-0.4cm,xshift=-5.5cm]] +\fnull +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-1.8cm,xshift=-5.5cm]] +\fone +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-5.5cm]] +\ftwo +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-4.6cm,xshift=-5.5cm]] +\fthree +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-6.0cm,xshift=-5.5cm]] +\ffour +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=0cm] +\vnull +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-1.4cm] +\vone +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-2.8cm] +\vtwo +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-4.2cm] +\vthree +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-5.6cm] +\vfour +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/vektoren.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/vektoren.tex new file mode 100644 index 0000000..2315d53 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/vektoren.tex @@ -0,0 +1,200 @@ +\def\vnull{ + \coordinate (A) at ({0*\a},0); + \coordinate (B) at ({1*\a},0); + \coordinate (C) at ({2*\a},0); + \coordinate (D) at ({0.5*\a},{-\b}); + \coordinate (E) at ({1.5*\a},{-\b}); + \draw (A) -- (B); + \draw (A) -- (D); + \draw (B) -- (C); + \draw (B) -- (D); + \draw (B) -- (E); + \draw (C) -- (E); + \draw (D) -- (E); + \node at (-2.8,{-0.5*\b}) [right] {$\lambda=0.0000$}; + \fill[color=red!100] (A) circle[radius=0.25]; + \draw (A) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (B) circle[radius=0.25]; + \draw (B) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (C) circle[radius=0.25]; + \draw (C) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (D) circle[radius=0.25]; + \draw (D) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (E) circle[radius=0.25]; + \draw (E) circle[radius=0.25]; +} +\def\fnull{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({-2.0000*\c},{0.4472*\d}) -- + ({-1.0000*\c},{0.4472*\d}) -- + ({0.0000*\c},{0.4472*\d}) -- + ({1.0000*\c},{0.4472*\d}) -- + ({2.0000*\c},{0.4472*\d}); + \draw[->] ({-2.1*\c},0) -- ({2.1*\c},0); + \draw[->] (0,{-1.1*\d}) -- (0,{1.1*\d}); + \fill ({-2*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({-1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({0*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({2*\c},0) circle[radius=0.05]; +} +\def\vone{ + \coordinate (A) at ({0*\a},0); + \coordinate (B) at ({1*\a},0); + \coordinate (C) at ({2*\a},0); + \coordinate (D) at ({0.5*\a},{-\b}); + \coordinate (E) at ({1.5*\a},{-\b}); + \draw (A) -- (B); + \draw (A) -- (D); + \draw (B) -- (C); + \draw (B) -- (D); + \draw (B) -- (E); + \draw (C) -- (E); + \draw (D) -- (E); + \node at (-2.8,{-0.5*\b}) [right] {$\lambda=0.1586$}; + \fill[color=blue!100] (A) circle[radius=0.25]; + \draw (A) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!00] (B) circle[radius=0.25]; + \draw (B) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (C) circle[radius=0.25]; + \draw (C) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!41] (D) circle[radius=0.25]; + \draw (D) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!41] (E) circle[radius=0.25]; + \draw (E) circle[radius=0.25]; +} +\def\fone{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({-2.0000*\c},{-0.6533*\d}) -- + ({-1.0000*\c},{-0.2706*\d}) -- + ({0.0000*\c},{-0.0000*\d}) -- + ({1.0000*\c},{0.2706*\d}) -- + ({2.0000*\c},{0.6533*\d}); + \draw[->] ({-2.1*\c},0) -- ({2.1*\c},0); + \draw[->] (0,{-1.1*\d}) -- (0,{1.1*\d}); + \fill ({-2*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({-1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({0*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({2*\c},0) circle[radius=0.05]; +} +\def\vtwo{ + \coordinate (A) at ({0*\a},0); + \coordinate (B) at ({1*\a},0); + \coordinate (C) at ({2*\a},0); + \coordinate (D) at ({0.5*\a},{-\b}); + \coordinate (E) at ({1.5*\a},{-\b}); + \draw (A) -- (B); + \draw (A) -- (D); + \draw (B) -- (C); + \draw (B) -- (D); + \draw (B) -- (E); + \draw (C) -- (E); + \draw (D) -- (E); + \node at (-2.8,{-0.5*\b}) [right] {$\lambda=0.3000$}; + \fill[color=red!100] (A) circle[radius=0.25]; + \draw (A) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!00] (B) circle[radius=0.25]; + \draw (B) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (C) circle[radius=0.25]; + \draw (C) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!100] (D) circle[radius=0.25]; + \draw (D) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!100] (E) circle[radius=0.25]; + \draw (E) circle[radius=0.25]; +} +\def\ftwo{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({-2.0000*\c},{0.5000*\d}) -- + ({-1.0000*\c},{-0.5000*\d}) -- + ({0.0000*\c},{-0.0000*\d}) -- + ({1.0000*\c},{-0.5000*\d}) -- + ({2.0000*\c},{0.5000*\d}); + \draw[->] ({-2.1*\c},0) -- ({2.1*\c},0); + \draw[->] (0,{-1.1*\d}) -- (0,{1.1*\d}); + \fill ({-2*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({-1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({0*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({2*\c},0) circle[radius=0.05]; +} +\def\vthree{ + \coordinate (A) at ({0*\a},0); + \coordinate (B) at ({1*\a},0); + \coordinate (C) at ({2*\a},0); + \coordinate (D) at ({0.5*\a},{-\b}); + \coordinate (E) at ({1.5*\a},{-\b}); + \draw (A) -- (B); + \draw (A) -- (D); + \draw (B) -- (C); + \draw (B) -- (D); + \draw (B) -- (E); + \draw (C) -- (E); + \draw (D) -- (E); + \node at (-2.8,{-0.5*\b}) [right] {$\lambda=0.4414$}; + \fill[color=red!41] (A) circle[radius=0.25]; + \draw (A) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!00] (B) circle[radius=0.25]; + \draw (B) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!41] (C) circle[radius=0.25]; + \draw (C) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!100] (D) circle[radius=0.25]; + \draw (D) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!100] (E) circle[radius=0.25]; + \draw (E) circle[radius=0.25]; +} +\def\fthree{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({-2.0000*\c},{0.2706*\d}) -- + ({-1.0000*\c},{-0.6533*\d}) -- + ({0.0000*\c},{0.0000*\d}) -- + ({1.0000*\c},{0.6533*\d}) -- + ({2.0000*\c},{-0.2706*\d}); + \draw[->] ({-2.1*\c},0) -- ({2.1*\c},0); + \draw[->] (0,{-1.1*\d}) -- (0,{1.1*\d}); + \fill ({-2*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({-1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({0*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({2*\c},0) circle[radius=0.05]; +} +\def\vfour{ + \coordinate (A) at ({0*\a},0); + \coordinate (B) at ({1*\a},0); + \coordinate (C) at ({2*\a},0); + \coordinate (D) at ({0.5*\a},{-\b}); + \coordinate (E) at ({1.5*\a},{-\b}); + \draw (A) -- (B); + \draw (A) -- (D); + \draw (B) -- (C); + \draw (B) -- (D); + \draw (B) -- (E); + \draw (C) -- (E); + \draw (D) -- (E); + \node at (-2.8,{-0.5*\b}) [right] {$\lambda=0.5000$}; + \fill[color=red!25] (A) circle[radius=0.25]; + \draw (A) circle[radius=0.25]; + \fill[color=blue!100] (B) circle[radius=0.25]; + \draw (B) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!25] (C) circle[radius=0.25]; + \draw (C) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!25] (D) circle[radius=0.25]; + \draw (D) circle[radius=0.25]; + \fill[color=red!25] (E) circle[radius=0.25]; + \draw (E) circle[radius=0.25]; +} +\def\ffour{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({-2.0000*\c},{0.2236*\d}) -- + ({-1.0000*\c},{0.2236*\d}) -- + ({0.0000*\c},{-0.8944*\d}) -- + ({1.0000*\c},{0.2236*\d}) -- + ({2.0000*\c},{0.2236*\d}); + \draw[->] ({-2.1*\c},0) -- ({2.1*\c},0); + \draw[->] (0,{-1.1*\d}) -- (0,{1.1*\d}); + \fill ({-2*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({-1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({0*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({1*\c},0) circle[radius=0.05]; + \fill ({2*\c},0) circle[radius=0.05]; +} -- cgit v1.2.1 From 869af42fd6421de39f60c921295b7636a721cdb2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 27 May 2021 10:16:20 +0200 Subject: Fourier-Transformation --- vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/8/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++++++- 3 files changed, 61 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index 9a059b3..73a9061 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -38,5 +38,6 @@ chapter8 = \ ../slides/8/wavelets/funktionen.tex \ ../slides/8/wavelets/laplacebasis.tex \ ../slides/8/wavelets/vektoren.tex \ + ../slides/8/wavelets/fourier.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index dc6b522..38a656a 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -40,4 +40,5 @@ \folie{8/wavelets/funktionen.tex} \folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} +\folie{8/wavelets/fourier.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex index 4bd507b..6b44fb8 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -7,12 +7,70 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Fourier} +\frametitle{Fourier-Transformation} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Aufgabe} +Gegeben: Funktion $f$ auf dem Graphen +\\ +Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis +\end{block} +\begin{block}{Definition $\chi$-Matrix} +Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture} +\node at (-1.9,0) [left] {$\chi=\mathstrut$}; +\node at (0,0) {$\left(\raisebox{0pt}[1.7cm][1.7cm]{\hspace{3.5cm}}\right)$}; + +\fill[color=blue!20] (-1.7,-1.7) rectangle (-1.1,1.7); +\draw[color=blue] (-1.7,-1.7) rectangle (-1.1,1.7); +\node at (-1.4,0) [rotate=90] {$v_1=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_1$\strut}; + +\fill[color=blue!20] (-1.0,-1.7) rectangle (-0.4,1.7); +\draw[color=blue] (-1.0,-1.7) rectangle (-0.4,1.7); +\node at (-0.7,0) [rotate=90] {$v_2=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_2$\strut}; + +\fill[color=blue!20] (1.1,-1.7) rectangle (1.7,1.7); +\draw[color=blue] (1.1,-1.7) rectangle (1.7,1.7); +\node at (1.4,0) [rotate=90] {$v_n=\mathstrut$EV zum EW $\lambda_n$\strut}; + +\node at (0.4,0) {$\dots$}; + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Transformation} +$L$ symmetrisch +\\ +$\Rightarrow$ +Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden +\\ +$\Rightarrow$ +Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden: +\[ +\hat{f}(k) += +\langle v_k, f\rangle +\quad\Rightarrow\quad +\hat{f} += +\chi^tf +\] +$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation} +\end{block} +\begin{block}{Rücktransformation} +Eigenvektoren orthonormiert +\\ +$\Rightarrow$ +$\chi$ orthogonal +\[ +\chi\chi^t = I +\] +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 033606388c772b07adcb0f7f5619862674068fad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 27 May 2021 16:21:20 +0200 Subject: add new slides --- vorlesungen/slides/8/Makefile.inc | 9 +++ vorlesungen/slides/8/chapter.tex | 9 +++ vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex | 44 +++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex | 62 ++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex | 46 ++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex | 41 +++++++---- vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex | 66 +++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex | 71 ++++++++++++++++++ .../slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex | 78 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex | 6 +- vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex | 85 ++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex | 10 +-- .../slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex | 46 ++++++++++++ vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex | 39 ++++++++++ 14 files changed, 589 insertions(+), 23 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc index 73a9061..6ac5665 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/8/Makefile.inc @@ -39,5 +39,14 @@ chapter8 = \ ../slides/8/wavelets/laplacebasis.tex \ ../slides/8/wavelets/vektoren.tex \ ../slides/8/wavelets/fourier.tex \ + ../slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex \ + ../slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex \ + ../slides/8/wavelets/dilatation.tex \ + ../slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex \ + ../slides/8/wavelets/gundh.tex \ + ../slides/8/wavelets/dilbei.tex \ + ../slides/8/wavelets/frame.tex \ + ../slides/8/wavelets/framekonstanten.tex \ + ../slides/8/wavelets/beispiel.tex \ ../slides/8/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex index 38a656a..69b7231 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/chapter.tex @@ -41,4 +41,13 @@ \folie{8/wavelets/funktionen.tex} \folie{8/wavelets/laplacebasis.tex} \folie{8/wavelets/fourier.tex} +\folie{8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex} +\folie{8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex} +\folie{8/wavelets/dilatation.tex} +\folie{8/wavelets/matrixdilatation.tex} +\folie{8/wavelets/gundh.tex} +\folie{8/wavelets/frame.tex} +\folie{8/wavelets/dilbei.tex} +\folie{8/wavelets/framekonstanten.tex} +\folie{8/wavelets/beispiel.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..dcc33d4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/beispiel.tex @@ -0,0 +1,44 @@ +% +% beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\bild#1#2{ +\node at (0,0) [rotate=-90] +{\includegraphics[width=#1\textwidth]{../../../SeminarWavelets/buch/papers/sgwt/images/#2}}; +} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wavelets auf einer Kugel} +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\only<1>{ \bild{0.6}{wavelets-phi-sphere-334.pdf} } + +\only<2>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-5-sphere-334.pdf} } +\only<3>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-4-sphere-334.pdf} } +\only<4>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-3-sphere-334.pdf} } +\only<5>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-2-sphere-334.pdf} } +\only<6>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-1-sphere-334.pdf} } + +\only<1>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_1$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_2$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_3$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_4$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_5$}; } +\only<6>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Tiefpass mit $h$}; } + +\only<1>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_1}\chi_*$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_2}\chi_*$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_3}\chi_*$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_4}\chi_*$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_5}\chi_*$}; } +\only<6>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{h}\chi_*$}; } + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex new file mode 100644 index 0000000..881f760 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilatation.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Dilatation} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Dilatation in $\mathbb{R}$} +$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ +Definition im Ortsraum: +\[ +(D_af)(x) += +\frac{1}{\sqrt{|a|}} +f\biggl(\frac{x}{a}\biggr) +\] +\uncover<2->{% +Dilatation im Frequenzraum: +\[ +\widehat{D_af}(\omega) += +D_{1/a}\hat{f}(\omega) +\]} +\uncover<3->{% +Spektrum wird mit $1/a$ skaliert!} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{``Dilatation'' auf einem Graphen} +\begin{itemize} +\item<5-> Dilatation auf dem Graphen gibt es nicht +\item<6-> Dilatation im Spektrum $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ gibt es nicht +\item<7-> ``Spektrale Dilatation'' verwenden +\begin{enumerate} +\item<8-> Start: $e_k$ +\item<9-> Fourier-Transformation: $\chi^te_k$ +\item<10-> Spektrum skalieren: mit +$D_{1/a}g$ filtern +\item<11-> Rücktransformation +\[ +D_{g,a}e_k += +\chi +\uncover<12->{\operatorname{diag}(\tilde{D}_{1/a}g(\lambda_*)) +\chi^t e_k} +\] +\end{enumerate} +\end{itemize} + + +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex new file mode 100644 index 0000000..fc66a0a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/dilbei.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\def\bild#1#2{ +\node at (0,0) [rotate=-90] +{\includegraphics[width=#1\textwidth]{../../../SeminarWavelets/buch/papers/sgwt/images/#2}}; +} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wavelets einer Strecke} +\vspace{-10pt} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\only<1>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-5-10.pdf} } +\only<2>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-4-10.pdf} } +\only<3>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-3-10.pdf} } +\only<4>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-2-10.pdf} } +\only<5>{ \bild{0.6}{wavelets-psi-line-1-10.pdf} } + +\only<6>{ \bild{0.6}{wavelets-phi-line-10.pdf} } + +\only<1>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_1$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_2$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_3$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_4$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Bandpass mit $g_5$}; } +\only<6>{ \node at (-7.6,2.8) [right] {Tiefpass mit $h$}; } + + +\only<1>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_1}\chi_*$}; } +\only<2>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_2}\chi_*$}; } +\only<3>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_3}\chi_*$}; } +\only<4>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_4}\chi_*$}; } +\only<5>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{g,1/a_5}\chi_*$}; } + +\only<6>{ \node at (-7.6,2) [right] {$D_{h}\chi_*$}; } + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex index 6b44fb8..3195ec8 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/fourier.tex @@ -14,8 +14,10 @@ \begin{block}{Aufgabe} Gegeben: Funktion $f$ auf dem Graphen \\ -Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis +\uncover<2->{% +Gesucht: Koeffizienten $\hat{f}$ der Darstellung in der Laplace-Basis} \end{block} +\uncover<3->{% \begin{block}{Definition $\chi$-Matrix} Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ \vspace{-10pt} @@ -40,37 +42,44 @@ Eigenwerte $0=\lambda_1<\lambda_2\le \dots \le \lambda_n$ von $L$ \end{tikzpicture} \end{center} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Transformation} $L$ symmetrisch \\ -$\Rightarrow$ -Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden +\uncover<5->{$\Rightarrow$ +Die Eigenvektoren von $L$ können orthonormiert gewählt werden} \\ -$\Rightarrow$ -Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden: +\uncover<6->{$\Rightarrow$ +Koeffizienten können durch Skalarprodukte ermittelt werden:} +\uncover<7->{% \[ \hat{f}(k) = +\hat{f}(\lambda_k) +\uncover<8->{= \langle v_k, f\rangle \quad\Rightarrow\quad -\hat{f} -= -\chi^tf -\] -$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation} -\end{block} +\hat{f}} +\uncover<9->{= +\chi^tf} +\]} +\uncover<10->{% +$\chi$ ist die {\em Fourier-Transformation}} +\end{block}} +\uncover<11->{% \begin{block}{Rücktransformation} Eigenvektoren orthonormiert \\ -$\Rightarrow$ -$\chi$ orthogonal +\uncover<12->{$\Rightarrow$ +$\chi$ orthogonal} +\uncover<13->{ \[ \chi\chi^t = I -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex new file mode 100644 index 0000000..4d0c7d1 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frame.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Graph Wavelet Frame} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frame-Vektoren} +Zu Dilatationsfaktoren $A=\{a_i\,|\,i=1,\dots,N\}$ +konstruiere das Frame +\begin{align*} +F= +\{&D_he_1,\dots,D_he_n,\\ + &Dg_1e_1,\dots,Dg_1e_n,\\ + &Dg_2e_1,\dots,Dg_2e_n,\\ + &\dots\\ + &Dg_Ne_1,\dots,Dg_Ne_n\} +\end{align*} +\uncover<2->{Notation: +\begin{align*} +v_{0,k} +&= +D_he_k +\\ +v_{i,k} +&= +Dg_ie_k +\end{align*}} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Frameoperator} +\begin{align*} +\mathcal{T}\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{nN} +: +v +&\mapsto +\begin{pmatrix} +\uncover<4->{\langle D_he_1,v\rangle}\\ +\uncover<4->{\vdots}\\ +\uncover<4->{\langle D_he_n,v\rangle}\\ +\hline +\uncover<5->{\langle D_{g_1}e_1,v\rangle}\\ +\uncover<5->{\vdots}\\ +\uncover<5->{\langle D_{g_1}e_n,v\rangle}\\ +\hline +\uncover<6->{\vdots}\\ +\uncover<6->{\vdots}\\ +\hline +\uncover<7->{\langle D_{g_N}e_1,v\rangle}\\ +\uncover<7->{\vdots}\\ +\uncover<7->{\langle D_{g_N}e_n,v\rangle} +\end{pmatrix} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex new file mode 100644 index 0000000..a436536 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/framekonstanten.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Framekonstanten} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Eine Menge $\mathcal{F}$ von Vektoren heisst ein Frame, +falls es Konstanten $A$ und $B$ gibt derart, dass +\[ +A\|v\|^2 +\le +\|\mathcal{T}v\|^2 +\sum_{b\in\mathcal{F}} |\langle b,v\rangle|^2 +\le +B\|v\|^2 +\] +\uncover<2->{$A>0$ garantiert Invertierbarkeit} +\end{block} +\uncover<3->{% +\begin{block}{$\|\mathcal{T}v\|$ für Graph-Wavelets} +\begin{align*} +\|\mathcal{T}v\|^2 +&= +\sum_k |\langle D_he_k,v\rangle|^2 ++ +\sum_{i,k} |\langle D_{g_i}e_k, v\rangle|^2 +\\ +&\uncover<4->{= +\sum_k |h(\lambda_k) \hat{v}(k)|^2 ++ +\sum_{k,i} |g_i(\lambda_k) \hat{v}(k)|^2} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{% +\begin{block}{$A$ und $B$} +Frame-Norm-Funktion +\begin{align*} +f(\lambda) +&= +h(\lambda) ++ +\sum_i g_i(\lambda) +\\ +&\uncover<6->{= +h(\lambda) ++ +\sum_i g(a_i\lambda)} +\end{align*} +\uncover<7->{Abschätzung für Frame-Konstanten +\begin{align*} +A&\uncover<8->{= +\min_{i} f(\lambda_i)} +\\ +B&\uncover<9->{= +\max_{i} f(\lambda_i)} +\end{align*}} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex new file mode 100644 index 0000000..c78e6dd --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/frequenzlokalisierung.tex @@ -0,0 +1,78 @@ +% +% frequenzlokalisierung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup + +\def\kurve#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=400] + ({\x},{7*\x*exp(-(\x/#1)*(\x/#1))/#1}); +} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lokalisierung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Bandpass} +Gegeben durch $g(\lambda)\ge 0$: +\begin{align*} +g(0) &= 0\\ +\lim_{\lambda\to\infty}g(\lambda)&= 0 +\end{align*} +\vspace{-10pt} +\begin{enumerate} +\item<3-> Fourier-transformieren +\item<4-> Amplituden mit $g(\lambda)$ multiplizieren +\item<5-> Rücktransformieren +\end{enumerate} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% +\begin{block}{Tiefpass} +Gegeben durch $h(\lambda)\ge0$: +\begin{align*} +h(0) &= 1\\ +\lim_{\lambda\to\infty}h(\lambda)&= 0 +\end{align*} +\vspace{-10pt} +\begin{enumerate} +\item<8-> Fourier-Transformation +\item<9-> Amplituden mit $h(\lambda)$ multiplizieren +\item<10-> Rücktransformation +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8] + +\uncover<2->{ +\begin{scope}[xshift=-4.5cm] +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; +\kurve{3}{red} +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3); +\end{scope} +} + +\uncover<7->{ +\begin{scope}[xshift=4.5cm] +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=100] + ({\x},{3*exp(-(\x/0.5)*(\x/0.5)}); + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3) coordinate[label={right:$\color{darkgreen}h(\lambda)$}]; +\end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex index f9667ee..2e3ae9b 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/funktionen.tex @@ -25,15 +25,17 @@ f\colon V \to \mathbb{R} : v\mapsto f(v) \] Knoten: $V=\{1,\dots,n\}$ \\ +\uncover<2->{% Vektorschreibweise \[ f = \begin{pmatrix} f(1)\\f(2)\\\vdots\\f(n) \end{pmatrix} -\] +\]} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Matrizen} Adjazenz-, Grad- und Laplace-Matrix operieren auf Funktionen auf Graphen: \[ @@ -69,7 +71,7 @@ L \kante{(C)}{(E)} \kante{(D)}{(E)} \end{tikzpicture} -\end{center} +\end{center}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex new file mode 100644 index 0000000..2d6c677 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/gundh.tex @@ -0,0 +1,85 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\kurve#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=400] + ({\x},{7*\x*exp(-(\x/#1)*(\x/#1))/#1}); +} + +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wavelets} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Mutterwavelets + Dilatation} +Eine Menge von Dilatationsfaktoren +\[ +A= \{a_1,a_2,\dots,a_N\} +\] +wählen\uncover<2->{, und mit Funktionen +\[ +{\color{blue}g_i} = \tilde{D}_{1/a_i}{\color{red}g} +\] +die Standardbasisvektoren filtern} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<5->{ +\begin{block}{Vaterwavelets} +Tiefpass mit Funktion ${\color{darkgreen}h(\lambda)}$, +Standardbasisvektoren mit ${\color{darkgreen}h}$ filtern: +\[ +D_{\color{darkgreen}h}e_k +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope} + +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; + +\kurve{1}{red} +\uncover<4->{ +\foreach \k in {0,...,4}{ + \pgfmathparse{0.30*exp(ln(2)*\k)} + \xdef\l{\pgfmathresult} + \kurve{\l}{blue} +} +} + +\node[color=red] at ({0.7*1},3) [above] {$g(\lambda)$}; +\uncover<4->{ +\node[color=blue] at ({0.7*0.3*16},3) [above] {$g_i(\lambda)$}; +} + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=7cm] + +\uncover<6->{ +\draw[->] (-0.1,0) -- (6.6,0) coordinate[label={$\lambda$}]; + +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.3,samples=100] + ({\x},{3*exp(-(\x/0.5)*(\x/0.5)}); + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,3.3) coordinate[label={right:$\color{darkgreen}h(\lambda)$}]; +} + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex index a59fbaa..ced4c09 100644 --- a/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/laplacebasis.tex @@ -16,23 +16,23 @@ \begin{center} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] -\begin{scope}[yshift=-0.4cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-0.4cm,xshift=-5.5cm] \fnull \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-1.8cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-1.8cm,xshift=-5.5cm] \fone \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-3.2cm,xshift=-5.5cm] \ftwo \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-4.6cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-4.6cm,xshift=-5.5cm] \fthree \end{scope} -\begin{scope}[yshift=-6.0cm,xshift=-5.5cm]] +\begin{scope}[yshift=-6.0cm,xshift=-5.5cm] \ffour \end{scope} diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex new file mode 100644 index 0000000..d6575d0 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/lokalisierungsvergleich.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% lokalisierungsvergleich.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lokalisierung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Ortsraum} +Ortsraum$\mathstrut=V$ +\begin{itemize} +\item<3-> Standardbasis +\item<5-> lokalisiert in den Knoten +\item<7-> die meisten $\hat{f}(k)$ gross +\item<9-> vollständig delokalisiert im Frequenzraum +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frequenzraum} +\uncover<2->{Frequenzraum $\mathstrut=\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}$} +\begin{itemize} +\item<4-> Laplace-Basis +\item<6-> lokalisiert in den Eigenwerten +\item<8-> die meisten Komponenten gross +\item<10-> vollständig delokalisiert im Ortsraum +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<11->{% +\begin{block}{Plan} +Gesucht sind Funktionen auf dem Graphen derart, die +\begin{enumerate} +\item<12-> in der Nähe einzelner Knoten konzentriert/lokalisiert sind und +\item<13-> deren Fourier-Transformation in der Nähe einzelner Eigenwerte +konzentriert/lokalisiert ist +\end{enumerate} +\end{block}} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex b/vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex new file mode 100644 index 0000000..3536736 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/8/wavelets/matrixdilatation.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +% +% matrixdilatation.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Dilatation in Matrixform} +Dilatationsfaktor $a$, skaliertes Wavelet beim Knoten $k$ mit Spektrum +$\tilde{D}_{1/a}g$ +\begin{align*} +D_{g,a}e_k +&= +\chi +\begin{pmatrix} +g(a\lambda_1)& 0 & \dots & 0 \\ + 0 &g(a\lambda_2)& \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots &g(a\lambda_n) +\end{pmatrix} +\chi^t +e_k +\intertext{\uncover<2->{``verschmierter'' Standardbasisvektor am Knoten $k$}} +\uncover<2->{D_he_k +&= +\chi +\begin{pmatrix} +h(\lambda_1)& 0 & \dots & 0 \\ + 0 &h(\lambda_2)& \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots &h(\lambda_n) +\end{pmatrix} +\chi^t +e_k} +\end{align*} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 9aa06203d62e6d9092597fc7f89a0a8e3a6636c9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 08:28:20 +0200 Subject: new slides --- vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 5 ++ vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 5 ++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex | 61 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex | 59 +++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 57 +++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 29 ++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 75 +++++++++++++++++++++++++ 7 files changed, 291 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index c857fec..b2af216 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -17,5 +17,10 @@ chapter2 = \ ../slides/2/frobeniusanwendung.tex \ ../slides/2/quotient.tex \ ../slides/2/quotientv.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/definition.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 49e656a..2fe48c1 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -15,3 +15,8 @@ \folie{2/frobeniusanwendung.tex} \folie{2/quotient.tex} \folie{2/quotientv.tex} +\folie{2/hilbertraum/definition.tex} +\folie{2/hilbertraum/l2beispiel.tex} +\folie{2/hilbertraum/basis.tex} +\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex} +\folie{2/hilbertraum/l2.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex new file mode 100644 index 0000000..46c2320 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% basis.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hilbert-Basis} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn +\begin{itemize} +\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ +\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist +dicht: +Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$ +approximiert werden. +\end{itemize} +Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel} +\end{block} +\begin{block}{Endlichdimensional} +Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Konstruktion} +Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$ +\begin{enumerate} +\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ +\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor +\begin{align*} +x\in V_k^{\perp} +&= +\{ +x\in H\;|\; x\perp V_k +\} +\\ +&= +\{x\in H\;|\; +x\perp y\;\forall y\in V_k +\} +\end{align*} +\item $b_{k+1} = x/\|x\|$ +\[ +\mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\} +\] +\end{enumerate} +Wenn $H$ separabel ist, dann ist +\[ +\mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k +\] +eine Hilbertbasis für $H$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex new file mode 100644 index 0000000..ed0ab13 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% definition.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hilbertraum --- Definition} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$} +\begin{enumerate} +\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein +\item Sesquilineares Skalarprodukt +\[ +\langle \cdot,\cdot\rangle +\colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle +\] +Dazugehörige Norm: +\[ +\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} +\] +\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert +\end{enumerate} +Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum} +\end{block} +\begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum} +Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\begin{itemize} +\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: +Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass +\[ +\| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N +\] +\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle +$\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass +\[ +\|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N +\] +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} +\[ +|\langle x,y\rangle| +\le \|x\| \cdot \|y\| +\] +Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex new file mode 100644 index 0000000..2991aca --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% +% l2.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{$L^2$-Hilbertraum} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +Vektorraum: Funktionen +\[ +f\colon [a,b] \to \mathbb{C} +\] +\item +Sesquilineares Skalarprodukt +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx +\] +\item +Norm: +\[ +\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx +\] +\item Vollständigkeit? +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\begin{itemize} +\item +Funktioniert nicht für Riemann-Integral +\item +Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach +Henri Lebesgue) +\item +Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen +\item +Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge +unterscheiden +\item +Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..29a1822 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +% +% l2beispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item Folgen von komplexen Zahlen +\[ +l^2 += +\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\] +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex new file mode 100644 index 0000000..3caa54d --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -0,0 +1,75 @@ +% +% plancherel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Plancherel-Gleichung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Hilbertraum mit Hilbert-Basis} +$H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis +$\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ +\end{block} +\begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} +\begin{align*} +a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} +\begin{align*} +\tilde{x} +&= +\sum_k a_k b_k += +\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} +\begin{align*} +\langle b_l,\tilde{x}\rangle +&= +\biggl\langle +b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k +\biggr\rangle += +\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle += +\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl} += +\langle b_l,x\rangle += +\hat{x}_l +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Plancherel-Gleichung} +\begin{align*} +\|\tilde{x}\|^2 +&= +\langle \tilde{x},\tilde{x}\rangle += +\biggl\langle +\sum_k \hat{x}_kb_k, +\sum_l \hat{x}_lb_l +\biggr\rangle +\\ +&= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle += +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl} +\\ +\|\tilde{x}\|^2 +&= +\sum_k |\hat{x}_k|^2 +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 9e7524c25a0ba5a643fbb7555d01311f69aa603e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 17:18:58 +0200 Subject: add slides --- vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 9 ++ vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 9 ++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex | 79 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex | 62 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 2 + vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 57 ++++++++++++- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex | 62 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 23 +++++- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex | 82 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 66 +++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex | 96 ++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex | 48 +++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 87 ++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex | 56 +++++++++++++ 14 files changed, 734 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index b2af216..cbd4dfe 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -22,5 +22,14 @@ chapter2 = \ ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \ ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \ ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/riesz.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/spektral.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/sturm.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/laplace.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/qm.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/energie.tex \ + ../slides/2/hilbertraum/sobolev.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index 2fe48c1..d3714c3 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -20,3 +20,12 @@ \folie{2/hilbertraum/basis.tex} \folie{2/hilbertraum/plancherel.tex} \folie{2/hilbertraum/l2.tex} +\folie{2/hilbertraum/riesz.tex} +\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex} +\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex} +\folie{2/hilbertraum/spektral.tex} +\folie{2/hilbertraum/sturm.tex} +\folie{2/hilbertraum/laplace.tex} +\folie{2/hilbertraum/qm.tex} +\folie{2/hilbertraum/energie.tex} +\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex new file mode 100644 index 0000000..afafab8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% adjungiert.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Adjungierter Operator} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\begin{itemize} +\item +$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$ +\item +\[ +H\to\mathbb{C} +: +x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L +\] +ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$ +\item +Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit +\[ +\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H +\quad +\forall x\in H +\] +\end{itemize} +Die Abbildung +\[ +L\to H +: +y\mapsto v =: A^*y +\] +heisst {\em adjungierte Abbildung} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)} +\[ +A^* = \overline{A}^t +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstabbildungen} +Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ +\[ +\langle x,Ay\rangle += +\langle A^*x, y\rangle +\quad +\forall x,y\in H +\] +\end{block} +\vspace{-8pt} +\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren} +\[ +A=A^* +\;\Leftrightarrow\; +\langle x,Ay \rangle += +\langle A^*x,y \rangle += +\langle Ax,y \rangle +\] +Matrizen: +\begin{itemize} +\item hermitesch +\item für reelle Hilberträume: symmetrisch +\end{itemize} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex new file mode 100644 index 0000000..7868cb4 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% energie.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Energie --- Zeitentwicklung --- Schrödinger} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.30\textwidth} +\begin{block}{Totale Energie} +Hamilton-Funktion +\begin{align*} +H +&= +\frac12mv^2 + V(x) +\\ +&= +\frac{p^2}{2m} + V(x) +\end{align*} +\end{block} +\begin{block}{Quantisierungsregel} +\begin{align*} +\text{Variable}&\to \text{Operator} +\\ +x_k & \to x_k +\\ +p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.66\textwidth} +\begin{block}{Energie-Operator} +\[ +H += +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x) +\] +\end{block} +\begin{block}{Eigenwertgleichung} +\[ +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t) +\] +Zeitunabhängige Schrödingergleichung +\end{block} +\begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung} +\[ +-\frac{\hbar}{i} +\frac{\partial}{\partial t} +\psi(x,t) += +-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) +\] +Eigenwertgleichung durch Separation von $t$ +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex index 2991aca..e2f2262 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -31,6 +31,8 @@ Norm: \|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx \] \item Vollständigkeit? +$\rightarrow$ +Lebesgue Konvergenz-Satz \end{itemize} \end{block} \end{column} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index 29a1822..c030eb7 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -7,22 +7,73 @@ \begin{frame}[t] \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} -\frametitle{Beispiel: $l^2$} +\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Folgen von komplexen Zahlen +\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = -\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\} +\biggl\{ +(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty +\biggr\} +\] +\item Skalarprodukt: +\begin{align*} +\langle x,y\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, +& +\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\end{align*} +\item Vollständigkeit, +Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung +\[ +\biggl| +\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k +\biggr| +\le +\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2 \] \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Standardbasisvektoren} +\begin{align*} +e_i +&= +(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) +\\ +(e_i)_k &= \delta_{ik} +\end{align*} +sind orthonormiert: +\begin{align*} +\langle e_i,e_j\rangle +&= +\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} += +\delta_{ij} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-16pt} +\begin{block}{Analyse} +$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: +\begin{align*} +\hat{x}_i += +\langle e_i,x\rangle +&= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k += +x_i +\end{align*} +(Fourier-Koeffizienten) +\end{block} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex new file mode 100644 index 0000000..5e0bba9 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% laplace.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Höhere Dimension} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.44\textwidth} +\begin{block}{Problem} +Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet +\\ +Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$ +\end{block} +\begin{block}{Funktionen} +Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$ +mit $f_{|\partial\Omega}=0$ +\end{block} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x) +\] +\end{block} +\begin{block}{Laplace-Operator} +\[ +\Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\begin{block}{Selbstadjungiert} +\begin{align*} +\langle f,\Delta g\rangle +&= +\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x) +\\ +&= +\int_{\partial\Omega} +\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x) +\\ +&\qquad +- +\int_{\Omega} +\operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x) +\,d\mu(x) +\\ +&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x) +\\ +&= +\langle \Delta f,g\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex index 3caa54d..eaf8aaa 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -17,9 +17,12 @@ $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ \end{block} \begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} \begin{align*} -a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle +a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle +\\ +\hat{x}&=\mathcal{F}x \end{align*} \end{block} +\vspace{-10pt} \begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} \begin{align*} \tilde{x} @@ -29,6 +32,7 @@ a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle \sum_k \langle x,b_k\rangle b_k \end{align*} \end{block} +\vspace{-6pt} \begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} \begin{align*} \langle b_l,\tilde{x}\rangle @@ -67,7 +71,24 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \|\tilde{x}\|^2 &= \sum_k |\hat{x}_k|^2 += +\|\hat{x}\|_{l^2}^2 += +\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2 +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-12pt} +\begin{block}{Isometrie} +\begin{align*} +\mathcal{F} +\colon +H \to l^2 +\colon +x\mapsto \hat{x} \end{align*} +Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via +%Fourier-Transformation +$\mathcal{F}$ \end{block} \end{column} \end{columns} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex new file mode 100644 index 0000000..1a2bbbc --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +% +% qm.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Anwendung: Quantenmechanik} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Zustände (Wellenfunktion)} +$L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ +\[ +\psi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{C} +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation} +\[ +|\psi(x)|^2 = \left\{ +\begin{minipage}{4.6cm}\raggedright +Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens +\end{minipage}\right. +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\[ +\langle\psi,\psi\rangle += +\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1 +\] +\end{block} +\vspace{-6pt} +\begin{block}{Messgrösse $A$} +Selbstadjungierter Operator $A$ +\\ +$\rightarrow$ +Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Überlagerung} +\begin{align*} +|\psi\rangle +&= +\sum_i +w_i|i\rangle +\\ +\langle \psi|\psi\rangle +&= +\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)} +\end{align*} +$|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$ +\end{block} +\begin{block}{Erwartungswert} +\begin{align*} +E(A) +&= +\sum_i |w_i|^2 \alpha_i += +\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i +\\ +&= +\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle += +\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle +\\ +&= +\sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j| +A|i\rangle += +\langle \psi| A |\psi\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex new file mode 100644 index 0000000..88c456c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% +% riesz.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Darstellungssatz von Riesz} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Dualraum} +$V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen +\[ +f\colon V\to \mathbb{C} +\] +\end{block} +\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$} +$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$, +Linearformen: +\begin{align*} +f(x) +&= +\sum_{i=0}^\infty f_ix_i +\\ +\|f\| +&= +\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1} +|f(x)| += +\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k| +\\ +\Rightarrow +l^{\infty*} +&= +l^1 +\qquad(\ne l^2) +\\ +&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\} +\end{align*} + +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$} +${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$ +\end{block} +\begin{theorem}[Riesz] +Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit +\[ +f(x) = \langle v,x\rangle +\quad\forall x\in H +\] +und $\|f\| = \|v\|$ +\end{theorem} +\begin{block}{Dualraum von $H$} +$H^*=H$ +\end{block} +Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale'' +Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$ +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..e2c26f5 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex @@ -0,0 +1,96 @@ +% +% rieszbeispiel.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Linearform auf $L^2$-Funktionen} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearform auf $\mathbb{C}^n$} +\begin{align*} +{\color{blue}x}&=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}, +& +f({\color{blue}x}) +&= +\begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x} +\\ +{\color{red}v}&= +\rlap{$ +\begin{pmatrix} +\overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n +\end{pmatrix}^t +\;\Rightarrow\; +f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle +$} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$} +\begin{align*} +{\color{red}x}&\in L^2([a,b]) +\\ +f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C} +: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x}) +\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$} +f({\color{red}x}) +&= +\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{scope}[xshift=-3.5cm] +\def\s{0.058} +\foreach \n in {0,...,5}{ + \draw[color=red,line width=3pt] + ({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0); + \node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)}) + [above right] {$v_\n\mathstrut$}; + \draw[color=blue,line width=3pt] + ({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0); + \node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) + [above left] {$x_\n\mathstrut$}; +} +\draw[->] (-0.6,0) -- (6,0) coordinate[label={$n$}]; +\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}]; +\foreach \n in {0,...,5}{ + \fill (\n,0) circle[radius=0.08]; + \node at (\n,0) [below] {$\n$\strut}; +} +\node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut}; +\end{scope} +\begin{scope}[xshift=3.5cm] +\fill[color=red!40,opacity=0.5] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}) + -- + (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\fill[color=blue!40,opacity=0.5] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}) + -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}); +\node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$}; + +\draw[color=blue,line width=1.4pt] + plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}); +\node[color=blue] at (4.5,2) [right]{$v(t)$}; + +\draw[->] (-0.6,0) -- (6.0,0) coordinate[label={$t$}]; +\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}]; +\draw (0.0,-0.1) -- (0.0,0.1); +\node at (0.0,0) [below] {$a$\strut}; +\draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1); +\node at (5.0,0) [below] {$b$\strut}; +\end{scope} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex new file mode 100644 index 0000000..425c263 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex @@ -0,0 +1,48 @@ +% +% sobolev.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Sobolev-Raum} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vektorrraum $W$} +Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$ +\begin{itemize} +\item +$f\in L^2(\Omega)$ +\item +$\nabla f\in L^2(\Omega)$ +\item +homogene Randbedingungen: +$f_{|\partial \Omega}=0$ +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Skalarprodukt} +\begin{align*} +\langle f,g\rangle_W +&= +\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x) +\\ +&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x) +\\ +&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Vollständigkeit} +\dots +\end{block} +\begin{block}{Anwendung} +``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem'' +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex new file mode 100644 index 0000000..b7a44f8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex @@ -0,0 +1,87 @@ +% +% spektral.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Voraussetzungen} +\begin{itemize} +\item +Hilbertraum $H$ +\item +$A\colon H\to H$ linear +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Eigenwerte} +$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$ +\begin{align*} +\langle x,x\rangle +&= +\frac1{\lambda} +\langle x,\lambda x\rangle += +\frac1{\lambda} +\langle x,Ax\rangle +\\ +&= +\frac1{\lambda} +\langle Ax,x\rangle += +\frac{\overline{\lambda}}{\lambda} +\langle x,x\rangle +\\ +\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 +\quad\Rightarrow\quad +\overline{\lambda} = \lambda +\quad\Rightarrow\quad +\lambda\in\mathbb{R} +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthogonalität} +$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$ +\begin{align*} +\langle u,v\rangle +&= +\frac{1}{\mu} +\langle \mu u,v\rangle += +\frac{1}{\mu} +\langle Au,v\rangle +\\ +&= +\frac{1}{\mu} +\langle u,Av\rangle += +\frac{1}{\mu} +\langle u,\lambda v\rangle += +\frac{\lambda}{\mu} +\langle u,v\rangle +\\ +\Rightarrow +\; +0 +&= +\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0} +\langle u,v\rangle +\;\Rightarrow\; +\langle u,v\rangle = 0 +\end{align*} +EV zu verschiedenen EW sind orthogonal +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Spektralsatz} +Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$ +\end{block} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex new file mode 100644 index 0000000..1d772d6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% sturm.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Sturm-Liouville-Problem} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Wellengleichung} +Saite mit variabler Massedichte führt auf die DGL +\[ +-y''(t) + q(t) y(t) = \lambda y(t), +\quad +q(t) > 0 +\] +mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$ +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Sturm-Liouville-Operator} +\[ +A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p +\] +auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten +\[ +f(0)=f(1)=0 +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\begin{block}{Selbstadjungiert} +\begin{align*} +\langle f,Ag \rangle +&= +\langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle += +- +\int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt ++\langle f,qg\rangle +\\ +&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} ++\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt ++\langle f,qg\rangle +=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt ++\langle qf,g\rangle +\\ +&=\langle Af,g\rangle +\end{align*} +\end{block} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 680e1e763b8d899b3601b5ab0cf6f1fc2a114e1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 3 Jun 2021 18:51:36 +0200 Subject: phases --- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex | 34 ++++++------ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex | 22 ++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex | 22 ++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex | 17 +++--- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 24 +++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 34 ++++++------ vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex | 30 ++++++----- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 60 +++++++++++---------- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex | 50 +++++++++-------- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 32 +++++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex | 27 +++++++--- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex | 23 ++++---- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 62 ++++++++++++---------- vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex | 20 +++---- 14 files changed, 263 insertions(+), 194 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex index afafab8..da41576 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex @@ -13,16 +13,16 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item +\item<2-> $A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$ -\item +\item<3-> \[ H\to\mathbb{C} : x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L \] ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$ -\item +\item<4-> Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit \[ \langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H @@ -30,22 +30,25 @@ Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit \forall x\in H \] \end{itemize} +\uncover<5->{% Die Abbildung \[ L\to H : y\mapsto v =: A^*y \] -heisst {\em adjungierte Abbildung} +heisst {\em adjungierte Abbildung}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)} \[ A^* = \overline{A}^t \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-8pt} +\uncover<7->{% \begin{block}{Selbstabbildungen} Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ \[ @@ -55,24 +58,25 @@ Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$ \quad \forall x,y\in H \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-8pt} +\uncover<9->{% \begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren} \[ A=A^* -\;\Leftrightarrow\; +\uncover<10->{\;\Leftrightarrow\; \langle x,Ay \rangle = -\langle A^*x,y \rangle -= -\langle Ax,y \rangle +\langle A^*x,y \rangle} +\uncover<11->{= +\langle Ax,y \rangle} \] -Matrizen: +\uncover<12->{Matrizen: \begin{itemize} -\item hermitesch -\item für reelle Hilberträume: symmetrisch -\end{itemize} -\end{block} +\item<13-> hermitesch +\item<14-> für reelle Hilberträume: symmetrisch +\end{itemize}} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex index 46c2320..022fa07 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex @@ -14,24 +14,27 @@ \begin{block}{Definition} Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn \begin{itemize} -\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ -\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist +\item<2-> $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$ +\item<3-> Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist dicht: Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$ approximiert werden. \end{itemize} -Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel} +\uncover<4->{% +Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}} \end{block} +\uncover<5->{% \begin{block}{Endlichdimensional} Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Konstruktion} Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$ \begin{enumerate} -\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ -\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor +\item<7-> $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$ +\item<8-> Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor \begin{align*} x\in V_k^{\perp} &= @@ -44,17 +47,18 @@ x\in H\;|\; x\perp V_k x\perp y\;\forall y\in V_k \} \end{align*} -\item $b_{k+1} = x/\|x\|$ +\item<9-> $b_{k+1} = x/\|x\|$ \[ \mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\} \] \end{enumerate} +\uncover<10->{% Wenn $H$ separabel ist, dann ist \[ \mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k \] -eine Hilbertbasis für $H$ -\end{block} +eine Hilbertbasis für $H$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex index ed0ab13..d101637 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex @@ -13,8 +13,8 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$} \begin{enumerate} -\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein -\item Sesquilineares Skalarprodukt +\item<2-> $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein +\item<3-> Sesquilineares Skalarprodukt \[ \langle \cdot,\cdot\rangle \colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle @@ -23,36 +23,40 @@ Dazugehörige Norm: \[ \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} \] -\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert +\item<4-> Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert \end{enumerate} -Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum} +\uncover<5->{% +Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum}} \end{block} +\uncover<6->{% \begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum} Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \begin{itemize} -\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: +\item<8-> $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge: Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass \[ \| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N \] -\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle +\item<9-> Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle $\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass \[ \|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N \] \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} \[ |\langle x,y\rangle| \le \|x\| \cdot \|y\| \] Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex index 7868cb4..202a7c5 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex @@ -11,6 +11,7 @@ \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.30\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Totale Energie} Hamilton-Funktion \begin{align*} @@ -21,7 +22,8 @@ H &= \frac{p^2}{2m} + V(x) \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Quantisierungsregel} \begin{align*} \text{Variable}&\to \text{Operator} @@ -30,22 +32,25 @@ x_k & \to x_k \\ p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.66\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Energie-Operator} \[ H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x) \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<5->{% \begin{block}{Eigenwertgleichung} \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t) \] Zeitunabhängige Schrödingergleichung -\end{block} +\end{block}} +\uncover<6->{% \begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung} \[ -\frac{\hbar}{i} @@ -54,8 +59,8 @@ Zeitunabhängige Schrödingergleichung = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) \] -Eigenwertgleichung durch Separation von $t$ -\end{block} +\uncover<7->{Eigenwertgleichung durch Separation von $t$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex index e2f2262..bd744ab 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex @@ -13,46 +13,48 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item +\item<2-> Vektorraum: Funktionen \[ f\colon [a,b] \to \mathbb{C} \] -\item +\item<3-> Sesquilineares Skalarprodukt \[ \langle f,g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx \] -\item +\item<4-> Norm: \[ \|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx \] -\item Vollständigkeit? -$\rightarrow$ -Lebesgue Konvergenz-Satz +\item<5-> +Vollständigkeit? +\uncover<6->{$\rightarrow$ +Lebesgue Konvergenz-Satz} \end{itemize} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<7->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \begin{itemize} \item Funktioniert nicht für Riemann-Integral -\item +\item<8-> Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach Henri Lebesgue) -\item +\item<9-> Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen -\item +\item<10-> Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge unterscheiden -\item +\item<11-> Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex index c030eb7..3ae44af 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex @@ -13,7 +13,7 @@ \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Definition} \begin{itemize} -\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen +\item<2-> Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen \[ l^2 = @@ -21,15 +21,15 @@ l^2 (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty \biggr\} \] -\item Skalarprodukt: +\item<3-> Skalarprodukt: \begin{align*} \langle x,y\rangle &= \sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k, & -\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 +\uncover<4->{\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2} \end{align*} -\item Vollständigkeit, +\item<5-> Vollständigkeit, Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung \[ \biggl| @@ -43,37 +43,39 @@ Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Standardbasisvektoren} \begin{align*} e_i &= (0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots) \\ -(e_i)_k &= \delta_{ik} +\uncover<7->{(e_i)_k &= \delta_{ik}} \end{align*} -sind orthonormiert: +\uncover<8->{sind orthonormiert: \begin{align*} \langle e_i,e_j\rangle &= \sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk} -= -\delta_{ij} -\end{align*} -\end{block} +\uncover<9->{= +\delta_{ij}} +\end{align*}} +\end{block}} \vspace{-16pt} +\uncover<10->{% \begin{block}{Analyse} $x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden: \begin{align*} \hat{x}_i = \langle e_i,x\rangle -&= -\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k -= -x_i +&\uncover<11->{= +\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k} +\uncover<12->{= +x_i} \end{align*} -(Fourier-Koeffizienten) -\end{block} +\uncover<13->{(Fourier-Koeffizienten)} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex index 5e0bba9..8f6b196 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex @@ -16,46 +16,50 @@ Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet \\ Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Funktionen} Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$ mit $f_{|\partial\Omega}=0$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Skalarprodukt} \[ \langle f,g\rangle = \int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x) \] -\end{block} +\end{block}} +\uncover<4->{% \begin{block}{Laplace-Operator} \[ \Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<5->{% \begin{block}{Selbstadjungiert} \begin{align*} \langle f,\Delta g\rangle -&= -\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<6->{= +\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x)} \\ -&= +&\uncover<7->{= \int_{\partial\Omega} -\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x) +\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x)} \\ -&\qquad +&\uncover<7->{\qquad - \int_{\Omega} \operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x) -\,d\mu(x) +\,d\mu(x)} \\ -&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<8->{=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x)} \\ -&= -\langle \Delta f,g\rangle +&\uncover<9->{= +\langle \Delta f,g\rangle} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex index eaf8aaa..73dd46b 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex @@ -15,24 +15,27 @@ $H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten} \begin{align*} a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle \\ -\hat{x}&=\mathcal{F}x +\uncover<3->{\hat{x}&=\mathcal{F}x} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe} \begin{align*} \tilde{x} &= \sum_k a_k b_k -= -\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k +\uncover<5->{= +\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-6pt} +\uncover<6->{% \begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$} \begin{align*} \langle b_l,\tilde{x}\rangle @@ -40,18 +43,19 @@ a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle \biggl\langle b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \biggr\rangle -= -\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle -= -\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl} -= -\langle b_l,x\rangle -= -\hat{x}_l +\uncover<7->{= +\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle} +\uncover<8->{= +\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl}} +\uncover<9->{= +\langle b_l,x\rangle} +\uncover<10->{= +\hat{x}_l} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<11->{% \begin{block}{Plancherel-Gleichung} \begin{align*} \|\tilde{x}\|^2 @@ -63,21 +67,23 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k \sum_l \hat{x}_lb_l \biggr\rangle \\ -&= -\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle -= -\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl} +&\uncover<12->{= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle} +\uncover<13->{= +\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl}} \\ +\uncover<14->{ \|\tilde{x}\|^2 &= -\sum_k |\hat{x}_k|^2 -= -\|\hat{x}\|_{l^2}^2 -= -\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2 +\sum_k |\hat{x}_k|^2} +\uncover<15->{= +\|\hat{x}\|_{l^2}^2} +\uncover<16->{= +\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-12pt} +\uncover<17->{% \begin{block}{Isometrie} \begin{align*} \mathcal{F} @@ -86,10 +92,10 @@ H \to l^2 \colon x\mapsto \hat{x} \end{align*} -Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via +\uncover<18->{Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via %Fourier-Transformation -$\mathcal{F}$ -\end{block} +$\mathcal{F}$} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex index 1a2bbbc..a108121 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex @@ -18,6 +18,7 @@ $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ \] \end{block} \vspace{-6pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation} \[ |\psi(x)|^2 = \left\{ @@ -25,24 +26,27 @@ $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$ Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens \end{minipage}\right. \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-6pt} +\uncover<3->{% \begin{block}{Skalarprodukt} \[ \langle\psi,\psi\rangle = \int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1 \] -\end{block} +\end{block}} \vspace{-6pt} +\uncover<4->{% \begin{block}{Messgrösse $A$} Selbstadjungierter Operator $A$ \\ -$\rightarrow$ -Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ -\end{block} +\uncover<5->{$\rightarrow$ +Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Überlagerung} \begin{align*} |\psi\rangle @@ -50,32 +54,36 @@ Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$ \sum_i w_i|i\rangle \\ -\langle \psi|\psi\rangle +\uncover<7->{\langle \psi|\psi\rangle &= -\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)} +\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)}} \end{align*} +\uncover<8->{% $|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$ -\end{block} +} +\end{block}} +\uncover<9->{% \begin{block}{Erwartungswert} \begin{align*} E(A) -&= -\sum_i |w_i|^2 \alpha_i -= -\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i +&\uncover<10->{= +\sum_i |w_i|^2 \alpha_i} +\uncover<11->{= +\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i } +\hspace{5cm} \\ -&= -\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle -= -\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle +&\only<12>{= +\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle} +\uncover<13->{= +\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle} \\ -&= +&\uncover<14->{= \sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j| -A|i\rangle -= -\langle \psi| A |\psi\rangle +A|i\rangle} +\uncover<15->{= +\langle \psi| A |\psi\rangle} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex index 88c456c..437fb3c 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex @@ -17,36 +17,44 @@ $V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen f\colon V\to \mathbb{C} \] \end{block} +\uncover<3->{% \begin{block}{Beispiel: $l^\infty$} $l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$, Linearformen: \begin{align*} +\uncover<4->{ f(x) &= -\sum_{i=0}^\infty f_ix_i +\sum_{i=0}^\infty f_ix_i} \\ +\uncover<5->{ \|f\| &= \sup_{\|x\|_{\infty}\le 1} -|f(x)| -= -\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k| +|f(x)|} +\uncover<6->{= +\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|} \\ +\uncover<7->{ \Rightarrow l^{\infty*} &= -l^1 -\qquad(\ne l^2) +l^1} +\uncover<9->{\qquad(\ne l^2)} \\ +\uncover<8->{ &=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\} +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$} ${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$ -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{theorem}[Riesz] Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit \[ @@ -54,12 +62,14 @@ f(x) = \langle v,x\rangle \quad\forall x\in H \] und $\|f\| = \|v\|$ -\end{theorem} +\end{theorem}} +\uncover<11->{% \begin{block}{Dualraum von $H$} $H^*=H$ -\end{block} +\end{block}}% +\uncover<12->{% Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale'' -Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$ +Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex index e2c26f5..de9383f 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex @@ -19,30 +19,33 @@ f({\color{blue}x}) &= \begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x} \\ +\uncover<2->{ {\color{red}v}&= \rlap{$ \begin{pmatrix} \overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n \end{pmatrix}^t -\;\Rightarrow\; -f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle -$} +\uncover<3->{\;\Rightarrow\; +f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle} +$}} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$} \begin{align*} {\color{red}x}&\in L^2([a,b]) \\ +\uncover<5->{ f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C} -: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x}) -\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$} -f({\color{red}x}) +: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x})} +\intertext{\uncover<6->{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$}} +\uncover<7->{f({\color{red}x}) &= -\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt +\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \begin{center} @@ -50,10 +53,12 @@ f({\color{red}x}) \begin{scope}[xshift=-3.5cm] \def\s{0.058} \foreach \n in {0,...,5}{ +\uncover<3->{ \draw[color=red,line width=3pt] ({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0); \node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)}) [above right] {$v_\n\mathstrut$}; +} \draw[color=blue,line width=3pt] ({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0); \node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) @@ -67,17 +72,22 @@ f({\color{red}x}) } \node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut}; \end{scope} +\uncover<4->{ \begin{scope}[xshift=3.5cm] +\uncover<7->{ \fill[color=red!40,opacity=0.5] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}) -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +} \fill[color=blue!40,opacity=0.5] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}) -- (5,0) -- (0,0) -- cycle; +\uncover<7->{ \draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)}); \node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$}; +} \draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x}); @@ -90,6 +100,7 @@ f({\color{red}x}) \draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1); \node at (5.0,0) [below] {$b$\strut}; \end{scope} +} \end{tikzpicture} \end{center} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex index 425c263..828d34d 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex @@ -14,34 +14,37 @@ \begin{block}{Vektorrraum $W$} Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$ \begin{itemize} -\item +\item<2-> $f\in L^2(\Omega)$ -\item +\item<3-> $\nabla f\in L^2(\Omega)$ -\item +\item<4-> homogene Randbedingungen: $f_{|\partial \Omega}=0$ \end{itemize} \end{block} +\uncover<5->{% \begin{block}{Skalarprodukt} \begin{align*} \langle f,g\rangle_W -&= -\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<6->{= +\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)} \\ -&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x) +&\uncover<7->{\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)} \\ -&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)} +&\uncover<8->{=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<9->{% \begin{block}{Vollständigkeit} \dots -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{block}{Anwendung} ``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem'' -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex index b7a44f8..b561b69 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex @@ -19,69 +19,73 @@ Hilbertraum $H$ $A\colon H\to H$ linear \end{itemize} \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{Eigenwerte} $x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$ \begin{align*} -\langle x,x\rangle +\uncover<3->{\langle x,x\rangle &= \frac1{\lambda} -\langle x,\lambda x\rangle -= +\langle x,\lambda x\rangle} +\uncover<3->{= \frac1{\lambda} -\langle x,Ax\rangle +\langle x,Ax\rangle} \\ -&= +&\uncover<4->{= \frac1{\lambda} -\langle Ax,x\rangle -= +\langle Ax,x\rangle} +\uncover<5->{= \frac{\overline{\lambda}}{\lambda} -\langle x,x\rangle +\langle x,x\rangle} \\ -\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 -\quad\Rightarrow\quad -\overline{\lambda} = \lambda +\uncover<6->{\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1 \quad\Rightarrow\quad -\lambda\in\mathbb{R} +\overline{\lambda} = \lambda} +\uncover<7->{\quad\Rightarrow\quad +\lambda\in\mathbb{R}} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<8->{% \begin{block}{Orthogonalität} $u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$ \begin{align*} +\uncover<9->{ \langle u,v\rangle &= \frac{1}{\mu} -\langle \mu u,v\rangle -= +\langle \mu u,v\rangle} +\uncover<10->{= \frac{1}{\mu} -\langle Au,v\rangle +\langle Au,v\rangle} \\ -&= +&\uncover<11->{= \frac{1}{\mu} -\langle u,Av\rangle -= +\langle u,Av\rangle} +\uncover<12->{= \frac{1}{\mu} -\langle u,\lambda v\rangle -= +\langle u,\lambda v\rangle} +\uncover<13->{= \frac{\lambda}{\mu} -\langle u,v\rangle +\langle u,v\rangle} \\ -\Rightarrow +\uncover<14->{\Rightarrow \; 0 &= \underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0} -\langle u,v\rangle -\;\Rightarrow\; -\langle u,v\rangle = 0 +\langle u,v\rangle} +\uncover<15->{\;\Rightarrow\; +\langle u,v\rangle = 0} \end{align*} -EV zu verschiedenen EW sind orthogonal -\end{block} +\uncover<16->{EV zu verschiedenen EW sind orthogonal} +\end{block}} \end{column} \end{columns} +\uncover<17->{% \begin{block}{Spektralsatz} Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$ -\end{block} +\end{block}} \end{frame} \egroup diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex index 1d772d6..a6865ab 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex @@ -22,6 +22,7 @@ mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$ \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Sturm-Liouville-Operator} \[ A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p @@ -30,27 +31,28 @@ auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten \[ f(0)=f(1)=0 \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} +\uncover<3->{% \begin{block}{Selbstadjungiert} \begin{align*} \langle f,Ag \rangle -&= +&\uncover<4->{= \langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle = - \int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt -+\langle f,qg\rangle ++\langle f,qg\rangle} \\ -&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} +&\uncover<5->{=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0} +\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt -+\langle f,qg\rangle -=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt -+\langle qf,g\rangle ++\langle f,qg\rangle} +\uncover<6->{=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt ++\langle qf,g\rangle} \\ -&=\langle Af,g\rangle +&\uncover<7->{=\langle Af,g\rangle} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{frame} \egroup -- cgit v1.2.1