From 846f9ed03605abab2219f077478e833a11c4f459 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 8 Mar 2021 22:28:57 +0100 Subject: add frobeniusnorm --- vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 1 + vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 1 + vorlesungen/slides/2/frobeniusnorm.tex | 96 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 6 +-- 4 files changed, 101 insertions(+), 3 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/2/frobeniusnorm.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc index 95fde20..37800e5 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc @@ -10,5 +10,6 @@ chapter2 = \ ../slides/2/cauchyschwarz.tex \ ../slides/2/polarformel.tex \ ../slides/2/operatornorm.tex \ + ../slides/2/frobeniusnorm.tex \ ../slides/2/chapter.tex diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex index cb141a4..f13cf74 100644 --- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex @@ -8,3 +8,4 @@ \folie{2/cauchyschwarz.tex} \folie{2/polarformel.tex} \folie{2/operatornorm.tex} +\folie{2/frobeniusnorm.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/2/frobeniusnorm.tex b/vorlesungen/slides/2/frobeniusnorm.tex new file mode 100644 index 0000000..461005a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/2/frobeniusnorm.tex @@ -0,0 +1,96 @@ +% +% frobeniusnorm.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Frobenius-Norm} +\vspace{-15pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Skalarprodukt} +$A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{C})$ +\begin{align*} +\langle A,B\rangle_F +&\uncover<2->{= +\sum_{i,j} \overline{a}_{ik}b_{ik}} +\uncover<3->{= +\operatorname{Spur} A^*B} +\\ +\uncover<4->{ +\|A\|_F^2 +&= +\langle A,A\rangle} +\uncover<5->{= +\sum_{i,k} |a_{ik}|^2} +\end{align*} +\uncover<6->{% +$\Rightarrow M_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist ein normierter Raum} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<12->{% +\begin{block}{Singulärwertzerlegung} +\vspace{-12pt} +\begin{align*} +\uncover<13->{ +A +&= +U\Sigma V^*} +\\ +\uncover<14->{ +A^*A +&= +V\Sigma^*U^*U\Sigma V^*} +\uncover<15->{= +V\Sigma^*\Sigma V^*} +\\ +\uncover<16->{% +\operatorname{Spur}{A^*A} +&= +\operatorname{Spur}V\Sigma^*\Sigma V^*} +\\ +\uncover<17->{% +&= +\operatorname{Spur}V^*V\Sigma^*\Sigma} +\\ +\uncover<18->{% +&= +\operatorname{Spur}\Sigma^*\Sigma} +\uncover<19->{= +\sum_{i} |\sigma_i|^2} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<7->{% +\begin{block}{Produkt} +\vspace{-10pt} +\begin{align*} +\|AB\|_F +\uncover<8->{= +\sum_{i,j} +\biggl| +\sum_{k} +a_{ik}b_{kj} +\biggr|^2} +&\uncover<9->{\le +\sum_{i,j} +\biggl( +\sum_k |a_{ik}|^2 +\biggr) +\biggl( +\sum_l |b_{lj}|^2 +\biggr)} +\\ +\uncover<10->{ +&= +\sum_{i,k} |a_{ik}|^2 +\sum_{l,j} |b_{lj}|^2} +\uncover<11->{= +\|A\|_F\cdot \|B\|_F} +\end{align*} +\end{block}} +\end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 8881606..ebf336e 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -78,16 +78,16 @@ \section{Matrixnormen} % XXX Vektornormen \folie{2/norm.tex} -%% XXX Skalarprodukt und L^2-Norm +% XXX Skalarprodukt und L^2-Norm %\folie{2/skalarprodukt.tex} % XXX Cauchy-Schwarz-Ungleichung %\folie{2/cauchyschwarz.tex} % XXX Polarformel %\folie{2/polarformel.tex} % XXX Normen, die sich aus der Vektornorm ableiten lassen -\folie{2/operatornorm.tex} +%\folie{2/operatornorm.tex} % XXX Frobenius-Norm und Hadamard-Algebra -% XXX \folie{2/frobeniusnorm.tex} +\folie{2/frobeniusnorm.tex} \section{Approximation mit Polynomen} % XXX Stone-Weierstrass -- cgit v1.2.1