From bd913de11450cc6294e874f2c38a838b0c1e6cd5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Thu, 15 Apr 2021 17:46:09 +0200 Subject: Skalar-zu-Matrix DGL Folie. --- vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex | 127 ++++++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex | 5 +- vorlesungen/slides/10/taylor.tex | 3 +- vorlesungen/slides/10/template.tex | 21 +++++ 4 files changed, 154 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/10/template.tex (limited to 'vorlesungen/slides') diff --git a/vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex b/vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex new file mode 100644 index 0000000..d9bd97c --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex @@ -0,0 +1,127 @@ +% +% matrix-vektor-dgl.tex -- DGL mit Matrix-Koeffizienten und Vektor-Variablen +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% Erstellt durch Roy Seitz +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\bgroup +%\begin{frame}[t] +%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +%\frametitle{Matrix-Vektor-DGL} +%\vspace{-20pt} +%\begin{columns}[t,onlytextwidth] +%\begin{column}{0.48\textwidth} +% \begin{block}{Bekannt} +% Vorgehen für DGL 1.~Ordnung mit Skalaren. +% Aufgabe: Sei $a, x, x_0 \in \mathbb R$, +% \[ +% \dot x = ax, +% \quad +% x(0) = x_0 +% \] +% Lösung: $x(t) = \exp(at) x_0$, wobei +% \begin{align*} +% \exp(at) +% &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2!} + \ldots\\ +% &= e^{at} +% \end{align*} +% \end{block} +%\end{column} +%\begin{column}{0.48\textwidth} +% \begin{block}{Mit Matrizen} +% Wir können: +% \begin{itemize} +% \item Matrizen potenzieren: $A$, $A^2$, $A^3$ +% \item Matrizen skalieren: $At$ +% \item Matrizen addieren: $A_1 + A_2$ +% \end{itemize} +% Also ist auch +% \[ +% \exp(At) = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \ldots +% \] +% wohldefiniert. +% \end{block} +%\end{column} +%\end{columns} +%Folglich, sei $A \in M_n$ und $x \in \mathbb R^n$, +%\[ \dot x = Ax, \quad x(0) = x_0, \] +%dann ist +%\[ x = \exp(At)x_0. \] +%\end{frame} + +\begin{frame}[t] + \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} + \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} + \frametitle{1.~Ordnung mit Skalaren} + \vspace{-20pt} + \begin{columns}[t,onlytextwidth] + \begin{column}{0.48\textwidth} + \begin{block}{Aufgabe} + Sei $a, x(t), x_0 \in \mathbb R$, + \[ + \dot x(t) = ax(t), + \quad + x(0) = x_0 + \] + \end{block} + \begin{block}{Potenzreihen-Ansatz} + Sei $a_k \in \mathbb R$, + \[ + x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \ldots + \] + \end{block} + \end{column} + \begin{column}{0.48\textwidth} + \begin{block}{Lösung} + Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert + \[ x(t) = \exp(at) \, x_0, \] + wobei + \begin{align*} + \exp(at) + &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2} + \frac{a^3t^3}{3!} + \ldots \\ + &{\color{gray}(= e^{at}.)} + \end{align*} + \end{block} + \end{column} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame}[t] + \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} + \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} + \frametitle{1.~Ordnung mit Matrizen} + \vspace{-20pt} + \begin{columns}[t,onlytextwidth] + \begin{column}{0.48\textwidth} + \begin{block}{Aufgabe} + Sei $A \in M_n$, $x(t), x_0 \in \mathbb R^n$, + \[ + \dot x(t) = Ax(t), + \quad + x(0) = x_0 + \] + \end{block} + \begin{block}{Potenzreihen-Ansatz} + Sei $A_k \in \mathbb M_n$, + \[ + x(t) = A_0 + A_1t + A_2t^2 + A_3t^3 \ldots + \] + \end{block} + \end{column} + \begin{column}{0.48\textwidth} + \begin{block}{Lösung} + Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert + \[ x(t) = \exp(At) \, x_0, \] + wobei + \[ + \exp(At) + = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2} + \frac{A^3t^3}{3!} + \ldots + \] + \end{block} + \end{column} + \end{columns} +\end{frame} + +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex b/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex index e3fffe9..737df03 100644 --- a/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex +++ b/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex @@ -2,7 +2,7 @@ % n-zu-1.tex -- Umwandlend einer DGL n-ter Ordnung in ein System 1. Ordnung % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -% Erstellt: 2021-04-14, Roy Seitz +% Erstellt durch Roy Seitz % % !TeX spellcheck = de_CH \bgroup @@ -47,6 +47,9 @@ System von Gleichungen 1.~Ordnung \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{align*} + + Geht für jede lineare Differentialgleichung! + \end{block} \end{column} \end{columns} diff --git a/vorlesungen/slides/10/taylor.tex b/vorlesungen/slides/10/taylor.tex index 8912cb7..bbd1126 100644 --- a/vorlesungen/slides/10/taylor.tex +++ b/vorlesungen/slides/10/taylor.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % eindiomensional.tex -- Lösung der eindimensionalen DGL % -% (c) 2021 Roy Seitz, Hochschule Rapperswil +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% Erstellt durch Roy Seitz % % !TeX spellcheck = de_CH \bgroup diff --git a/vorlesungen/slides/10/template.tex b/vorlesungen/slides/10/template.tex new file mode 100644 index 0000000..50f0a3b --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/10/template.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +% +% template.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% Erstellt durch Roy Seitz +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Template} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1