From bd913de11450cc6294e874f2c38a838b0c1e6cd5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Roy Seitz <roy.seitz@ost.ch>
Date: Thu, 15 Apr 2021 17:46:09 +0200
Subject: Skalar-zu-Matrix DGL Folie.
---
vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex | 127 ++++++++++++++++++++++++++++
vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex | 5 +-
vorlesungen/slides/10/taylor.tex | 3 +-
vorlesungen/slides/10/template.tex | 21 +++++
4 files changed, 154 insertions(+), 2 deletions(-)
create mode 100644 vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/10/template.tex
(limited to 'vorlesungen/slides')
diff --git a/vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex b/vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex
new file mode 100644
index 0000000..d9bd97c
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/10/matrix-vektor-dgl.tex
@@ -0,0 +1,127 @@
+%
+% matrix-vektor-dgl.tex -- DGL mit Matrix-Koeffizienten und Vektor-Variablen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+% Erstellt durch Roy Seitz
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\bgroup
+%\begin{frame}[t]
+%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+%\frametitle{Matrix-Vektor-DGL}
+%\vspace{-20pt}
+%\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+%\begin{column}{0.48\textwidth}
+% \begin{block}{Bekannt}
+% Vorgehen für DGL 1.~Ordnung mit Skalaren.
+% Aufgabe: Sei $a, x, x_0 \in \mathbb R$,
+% \[
+% \dot x = ax,
+% \quad
+% x(0) = x_0
+% \]
+% Lösung: $x(t) = \exp(at) x_0$, wobei
+% \begin{align*}
+% \exp(at)
+% &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2!} + \ldots\\
+% &= e^{at}
+% \end{align*}
+% \end{block}
+%\end{column}
+%\begin{column}{0.48\textwidth}
+% \begin{block}{Mit Matrizen}
+% Wir können:
+% \begin{itemize}
+% \item Matrizen potenzieren: $A$, $A^2$, $A^3$
+% \item Matrizen skalieren: $At$
+% \item Matrizen addieren: $A_1 + A_2$
+% \end{itemize}
+% Also ist auch
+% \[
+% \exp(At) = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \ldots
+% \]
+% wohldefiniert.
+% \end{block}
+%\end{column}
+%\end{columns}
+%Folglich, sei $A \in M_n$ und $x \in \mathbb R^n$,
+%\[ \dot x = Ax, \quad x(0) = x_0, \]
+%dann ist
+%\[ x = \exp(At)x_0. \]
+%\end{frame}
+
+\begin{frame}[t]
+ \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+ \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+ \frametitle{1.~Ordnung mit Skalaren}
+ \vspace{-20pt}
+ \begin{columns}[t,onlytextwidth]
+ \begin{column}{0.48\textwidth}
+ \begin{block}{Aufgabe}
+ Sei $a, x(t), x_0 \in \mathbb R$,
+ \[
+ \dot x(t) = ax(t),
+ \quad
+ x(0) = x_0
+ \]
+ \end{block}
+ \begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
+ Sei $a_k \in \mathbb R$,
+ \[
+ x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \ldots
+ \]
+ \end{block}
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.48\textwidth}
+ \begin{block}{Lösung}
+ Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
+ \[ x(t) = \exp(at) \, x_0, \]
+ wobei
+ \begin{align*}
+ \exp(at)
+ &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2} + \frac{a^3t^3}{3!} + \ldots \\
+ &{\color{gray}(= e^{at}.)}
+ \end{align*}
+ \end{block}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[t]
+ \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+ \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+ \frametitle{1.~Ordnung mit Matrizen}
+ \vspace{-20pt}
+ \begin{columns}[t,onlytextwidth]
+ \begin{column}{0.48\textwidth}
+ \begin{block}{Aufgabe}
+ Sei $A \in M_n$, $x(t), x_0 \in \mathbb R^n$,
+ \[
+ \dot x(t) = Ax(t),
+ \quad
+ x(0) = x_0
+ \]
+ \end{block}
+ \begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
+ Sei $A_k \in \mathbb M_n$,
+ \[
+ x(t) = A_0 + A_1t + A_2t^2 + A_3t^3 \ldots
+ \]
+ \end{block}
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.48\textwidth}
+ \begin{block}{Lösung}
+ Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
+ \[ x(t) = \exp(At) \, x_0, \]
+ wobei
+ \[
+ \exp(At)
+ = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2} + \frac{A^3t^3}{3!} + \ldots
+ \]
+ \end{block}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+\end{frame}
+
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex b/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex
index e3fffe9..737df03 100644
--- a/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex
+++ b/vorlesungen/slides/10/n-zu-1.tex
@@ -2,7 +2,7 @@
% n-zu-1.tex -- Umwandlend einer DGL n-ter Ordnung in ein System 1. Ordnung
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-% Erstellt: 2021-04-14, Roy Seitz
+% Erstellt durch Roy Seitz
%
% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
@@ -47,6 +47,9 @@ System von Gleichungen 1.~Ordnung
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\end{align*}
+
+ Geht für jede lineare Differentialgleichung!
+
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
diff --git a/vorlesungen/slides/10/taylor.tex b/vorlesungen/slides/10/taylor.tex
index 8912cb7..bbd1126 100644
--- a/vorlesungen/slides/10/taylor.tex
+++ b/vorlesungen/slides/10/taylor.tex
@@ -1,7 +1,8 @@
%
% eindiomensional.tex -- Lösung der eindimensionalen DGL
%
-% (c) 2021 Roy Seitz, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+% Erstellt durch Roy Seitz
%
% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
diff --git a/vorlesungen/slides/10/template.tex b/vorlesungen/slides/10/template.tex
new file mode 100644
index 0000000..50f0a3b
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/10/template.tex
@@ -0,0 +1,21 @@
+%
+% template.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+% Erstellt durch Roy Seitz
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Template}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
--
cgit v1.2.1