From 550545408c41de6ab543e31dde6edfad3d5bd70c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Sat, 8 May 2021 23:15:07 +0200 Subject: Work on script --- vorlesungen/punktgruppen/script.pdf | Bin 30104 -> 41494 bytes vorlesungen/punktgruppen/script.tex | 203 ++++++++++++++++++------------------ 2 files changed, 101 insertions(+), 102 deletions(-) (limited to 'vorlesungen') diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf b/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf index f56d2f3..5374af4 100644 Binary files a/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf and b/vorlesungen/punktgruppen/script.pdf differ diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/script.tex b/vorlesungen/punktgruppen/script.tex index 1cd7393..ef16338 100644 --- a/vorlesungen/punktgruppen/script.tex +++ b/vorlesungen/punktgruppen/script.tex @@ -11,70 +11,64 @@ \begin{document} \section{Das sind wir} -\scene{Tim} -Willkommen zu unserer Präsentation über Punktgruppen und deren Anwendung in der -Kristallographie. Ich bin Tim Tönz habe vor dem Studium die Lehre als -Elektroinstallateur abgeschlossen und studiere jetzt Elektrotechnik im Vierten -Semester mit Herrn Naoki Pross. -\scene{Naoki} - Das bin ich \ldots Nun zum Inhalt +\scene{Camera} \section{Ablauf} -Wir möchten Euch zeigen, was eine Punktgruppe ausmacht, Konkret an Bespielen in 2D zeigen mit Gemainsamkeiten zu Algebraischen Symmetrien. -Da wir Menschen jedoch 3 Räumliche Dimensionen Wahrnehmen möchten wir euch die 3D Symetrien natürlcih nicht vorenthalten. -Um dem Thema des Mathematikseminars gerecht zu werden, Werden wir die einfache Verbindung zwischen Matrizen und Punktsymetrien zeigen. -Dammit die Praxis nicht ganz vergessen geht, Kristalle Mathematisch beschreiben und dessen Limitationen in hinsicht Symmetrien. -Als Abschluss Zeigen wir euch einen zusammenhan zwischen Piezoelektrizität und Symmetrien. +Zuerst werden wir Symmetrien in 2 Dimensionen anschauen, dann \"uberlegen wir +kurz was es heisst f\"ur eine Symmetrie ``algebraisch'' zu sein. Von da aus +kommt die dritte Dimension hinzu, die man besser mit Matrizen verstehen kann. +Mit der aufgebauten Theorie werden wir versuchen Kristalle zu klassifizieren. +Und zum Schluss kommen wir zu Anwendungen, welche f\"ur Ingenieure von +Interesse sind. \section{intro} -Ich hoffe wir konnten schon mit der Einleitung ein wenig Neugirde wecken. -fals dies noch nicht der Fall ist, sind hier noch die wichtigsten fragen, welche wir euch beantworten wollen, oder zumindest überzeugen, wieso dies spannende Fragen sind. -Als erstes, was eine Symetrie ist oder in unserem Fall eine Punktsymetrie. -Was macht ein Kristall aus, also wie kann man seine Wichtigsten eigenschaften mathematisch beschreiben. -Als letztes noch zu der Piezoelektrizität, welche ein Effekt beschreibt, dass bestimmte Krisstalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn sie unter mechanischen Druck gesetzt werden. -welche kristalle diese fähigkeit haben, hat ganz konkret mit ihrer Symmetrie zu tun. - -\section{Geometrie} -\begin{totranslate} -We'll start with geometric symmetries as they are the simplest to grasp. +\scene{Spontan} +\section{2D Geometrie} \scene{Intro} - To mathematically formulate the concept, we will think of symmetries as - actions to perform on an object, like this square. The simplest action, is to - take this square, do nothing and put it back down. Another action could be to - flip it along an axis, or to rotate it around its center by 90 degrees. - -\scene{Cyclic Groups} - Let's focus our attention on the simplest class of symmetries: those - generated by a single rotation. We will gather the symmetries in a group - \(G\), and denote that it is generated by a rotation \(r\) with these angle - brackets. - - Take this pentagon as an example. By applying the rotation \emph{action} 5 - times, it is the same as if we had not done anything, furthermore, if we - \emph{act} a sixth time with \(r\), it will be the same as if we had just - acted with \(r\) once. Thus the group only contain the identity and the - powers of \(r\) up to 4. - - In general, groups with this structure are known as the ``Cyclic Groups'' of - order \(n\), where the action \(r\) can be applied \(n-1\) times before - wrapping around. - - % You can think of them as the rotational symmetries of an \(n\)-gon. - -\scene{Dihedral Groups} - Okay that was not difficult, now let's spice this up a bit. Consider this - group for a square, generated by two actions: a rotation \(r\) and a - reflection \(\sigma\). Because we have two actions we have to write in the - generator how they relate to each other. - - Let's analyze this expression. Two reflections are the same as the identity. - Four rotations are the same as the identity, and a rotation followed by a - reflection, twice, is the same as the identity. - - This forms a group with 8 possible unique actions. This too can be generalized - to an \(n\)-gon, and is known as the ``Dihedral Group'' of order \(n\). -\end{totranslate} +Wir fangen mit den 2 dimensionalen Symmetrien an, da man sie sich am +einfachsten vorstellen kann. Eine Symmetrie eines Objektes beschreibt eine +Aktion, welche nachdem sie auf das Objekt wirkt, das Objekt wieder gleich +aussehen l\"asst. + +\scene{Viereck} +Die einfachste Aktion, ist das Viereck zu nehmen, und wieder hinzulegen. +Eine andere Aktion k\"onnte sein, das Objekt um eine Achse zu spiegeln, +oder eine Rotation um 90 Grad. + +\scene{Zyklische Gruppe} +Fokussieren wir uns auf die einfachste Klassen von Symmetrien: diejenigen die +von einer reinen Drehung generiert werden. Wir sammeln diese in einer Gruppe +\(G\), und notieren das sie von eine Rotation \(r\) generiert worden sind, mit +diesen spitzen Klammern. + +Nehmen wir als Beispiel dieses Pentagon. Wenn wir \(r\) 5-mal anwenden, ist es +dasselbe als wenn wir nichts gemacht h\"atten. Wenn wir es noch ein 6. mal +drehen, entspricht dies dasselbe wie \(r\) nur 1 mal zu nutzen. + +\scene{Notation} +So, die Gruppe setzt sich zusammen aus dem neutralen Element, und den Potenzen +1 bis 4 von \(r\). Oder im allgemein Gruppen mit dieser Struktur, in welcher die +Aktion \(n-1\) mal angewendet werden kann, heissen ``Zyklische Gruppe''. + +\scene{Diedergruppe} +Nehmen wir nun auch noch die Spiegeloperation \(\sigma\) dazu. Weil wir jetzt 2 +Operationen haben, m\"ussen wir auch im Generator schreiben wie sie +zusammenh\"angen. Schauen wir dann uns genauer diesen Ausdr\"uck an. Zweimal +Spielegeln ist \"aquivalent zum neutralen Element, sowie 4 mal um 90 Grad +drehen und 2 Drehspiegelungen, welche man auch Inversion nennt. + +\scene{Notation} +Daraus k\"onnen wir wieder die ganze Gruppe erzeugen, die im allgemeinen den +Symmetrien eines \(n\)-gons entsprechen. + +\scene{Kreisgruppe} +Bis jetzt hatten wir nur diskrete Symmetrien, was nicht zwingend der Fall sein +muss. Ein Ring kann man kontinuierlich drehen, und sieht dabei immer gleich +aus. + +Diese Symmetrie ist auch als Kreisgruppe bekannt, die man sch\"on mit dem +komplexen Einheitskreis definieren kann. \section{Algebra} \scene{Produkt mit \(i\)} @@ -86,28 +80,52 @@ bekannt aus? \scene{Morphismen} Das Gefühl, dass es sich um dasselbe handelt, kann wie folgt formalisiert -werden. Sei \(\phi\) eine Funktion von \(C_4\) zu \(G\). Ordnen wir zu jeder -Symmetrieoperation ein Element aus \(G\). Wenn man die Zuordnung richtig +werden. Sei \(\phi\) eine Funktion von \(C_4\) zu \(G\) und ordnen wir zu +jeder Symmetrieoperation ein Element aus \(G\). Wenn man die Zuordnung richtig definiert, dann sieht man die folgende Eigenschaft: Eine Operation nach eine andere zu nutzen, und dann die Funktion des Resultats zu nehmen, ist gleich wie -die Funktion der einzelnen Operazionen zu nehmen und das Resultat zu +die Funktion der einzelnen Operazionen zu nehmen und die Resultate zu multiplizieren. Dieses Ergebnis ist so bemerkenswert, dass es in der Mathematik einen Namen bekommen hat: Homorphismus, von griechisch "homos" dasselbe und -"morphe" Form. Manchmal wird es auch so geschrieben. Ausserdem, wenn \(\phi\) -eins zu eins ist, heisst es \emph{Iso}morphismus: "iso" gleiche Form. Was -man typischerweise mit diesem Symbol schreibt. +"morphe" Form. Manchmal auch so geschrieben. Ausserdem, wenn \(\phi\) eins zu +eins ist, heisst es \emph{Iso}morphismus: "iso" gleiche Form. Was man +typischerweise mit diesem Symbol schreibt. \scene{Animation} -Sie haben wahrscheinlich schon gesehen, worauf das hinausläuft. Dass die -zyklische Gruppe \(C_4\) und \(G\) die gleiche Form haben, ist im wahrste Sinne -des Wortes. %% Ask Tim: literally true +Sie haben wahrscheinlich schon gesehen, worauf das hinausläuft. Dass die +zyklische Gruppe \(C_4\) und \(G\) isomorph sind ist nicht nur Fachjargon der +mathematik, sondern sie haben wirklich die selbe Struktur. \scene{Modulo} -Der Beispiel mit der komplexen Einheit, war wahrscheinlich nicht so -\"uberraschend. Aber was merkw\"urdig ist, ist das diese geometrische Struktur, -kann man auch in anderen Sachen finden, die erst nicht geometrisch aussehen. -Ein Beispiel für Neugierige: Summe in der Modulo-Arithmetik. Um die Geometrie -zu finden denken Sie an einer Uhr. +Das Beispiel mit der komplexen Einheit, war wahrscheinlich nicht so +\"uberraschend. Aber was merkw\"urdig ist, ist das Beziehungen zwischen +Symmetrien und Algebra auch in Bereichen gefunden werden, welche auf den ersten +Blick, nicht geomerisch erscheinen. Ein R\"atsel für die Neugierigen: die Summe +in der Modulo-Arithmetik. Als Hinweis: Um die Geometrie zu finden denken Sie +an einer Uhr. + +\section{3D Geometrie} +2 Dimensionen sind einfacher zu zeichnen, aber leider leben wir im 3 +dimensionalen Raum. + +\scene{Zyklische Gruppe} +Wenn wir unser bekanntes Viereck mit seiner zyklischer Symmetrie in 3 +Dimensionen betrachten, k\"onnen wir seine Drehachse sehen. + +\scene{Diedergruppe} +Um auch noch die andere Symmetrie des Rechteckes zu sehen, ben\"otigen wir eine +Spiegelachse \(\sigma\), die hier eine Spiegelebene ist. + +\scene{Transition} +Um die Punktsymmetrien zu klassifizieren orientiert man sich an einer Achse, um +welche sich die meisten Symmetrien drehen. Das geht aber nicht immer, wie beim +Tetraeder. + +\scene{Tetraedergruppe} +Diese Geometrie hat 4 gleichwertige Symmetrieachsen, die eben eine +Symmetriegruppe aufbauen, welche kreativer weise Tetraedergruppe genannt wird. +Vielleicht fallen Ihnnen weitere Polygone ein mit dieser Eigenschaft, bevor wir +zum n\"achsten Thema weitergehen. \section{Matrizen} \scene{Titelseite} @@ -133,36 +151,17 @@ Operation, dass heisst nichts zu machen, ist die Einheitsmatrix. Eine Spiegelung ist dasselbe aber mit einem Minus, und Drehungen sind uns schon dank Herrn M\"uller bekannt. -% (Beispiel zu Rotation mit video) Für die Spiegelung wie auch eine Punkt -% inversion habt ihr dank dem matheseminar bestmmt schon eine Idee wie diese -% Operationen als Matrizen aussehen. Ich weis nicht obe der Tipp etwas nützt, -% aber ih müsst nur in der Gruppe O(3) suchen. Was auch sinn macht, denn die -% Gruppe O(3) zeichnet sich aus weil ihre Matrizen distanzen konstant hallten -% wie auch einen fixpunkt haben was sehr erwünscht ist, wenn man -% Punktsymmetrien beschreiben will. - -\section{Krystalle} - Jenen welchen die Kristalle bis jetzt ein wenig zu kurz gekommen sind, Freuen sich hoffentlich zurecht an dieser Folie. - Es geht ab jetzt nähmlich um Kristalle. - Bevor wir mit ihnen arbeiten könne sollten wir jedoch klähren, was ein Kristall ist. - Per definition aus eienm Anerkanten Theoriebuch von XXXXXXXXXX Zitat:"YYYYYYYYYYYYYYY" - Was so viel heist wie, ein Idealer Kristall ist der schlimmste Ort um sich zu verlaufen. - Macht man nähmlich einen Schritt in genau in das nächste lattice feld hat siet der kristall wieser genau gleich aus. - Als Orentierungshilfe ist diese eigenschaft ein grosser Nachteil nicht jedoch wenn man versucht alle möglichen Symmetrien in einem Kristall zu finden. - Denn die Lattice Strucktur schränkt die unendlichen möglichen Punktsymmetrien im 3D Raum beträchtlich ein. - Was im Englischen bekannt is unter dem Crystallographic Restrictiontheorem. - - \scene{Crystallographic restriction Theorem} - Die Punktsymmetrien von Kristallen sind auf grund verschiedensten geometrischen überlegungen eingeschränkt. - Wir zeigen euch hier nur den beweis wieso die in einem Kristall nur Rotations symetrien um 360,180,120,90 und 60 grad haben kann. - Für den Beweis beginnen wir mit einem Punkt A in dem Gitter wir wssen das in nach einer translation um eine gitterbasis wieder ein Punkt A' existieren muss. - Wir suchen Rotationssymmetrien also drehen wir um den winkel \( \alpha \) und müssen dank der drehsymmetrie \(\alpha\) wieder einen punkt im Gitter finden hier B. - Das selbe oder hier genau die die inverse drehung um \(\alpha\) von A' aus muss uns daher den Punkt B' liefern. - Zwischen zwei punkten im Gitter muss aber die Opertation Q angewendet werden können. - Das heisst der Abstand zwischen B und B' mmuss ein ganzes vielfachen von dem Abstand B zu B' sein. - - \scene{Restriktion in Algebra} - Ausgeschrieben setzen wir klein auf die Länge der Translation, \(\alpha\) auf \(2\pi / n\) und \(n\) auf \(\mathbb{N}\). +\section{Kristalle} +\scene{Spontan} + +\section{Piezo} +\scene{Spontan} + +\section{Licht} +TODO + +\section{Outro} +\scene{Camera} \end{document} % vim:et ts=2 sw=2: -- cgit v1.2.1