From 9aa06203d62e6d9092597fc7f89a0a8e3a6636c9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 3 Jun 2021 08:28:20 +0200
Subject: new slides
---
vorlesungen/14_msehilbertraum/Makefile | 33 ++++++++++
.../MathSemMSE-14-hilbertraum.tex | 14 ++++
vorlesungen/14_msehilbertraum/common.tex | 16 +++++
.../14_msehilbertraum/hilbertraum-handout.tex | 11 ++++
vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex | 43 +++++++++++++
vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 5 ++
vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 5 ++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex | 61 ++++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex | 59 +++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 57 ++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 29 +++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 75 ++++++++++++++++++++++
12 files changed, 408 insertions(+)
create mode 100644 vorlesungen/14_msehilbertraum/Makefile
create mode 100644 vorlesungen/14_msehilbertraum/MathSemMSE-14-hilbertraum.tex
create mode 100644 vorlesungen/14_msehilbertraum/common.tex
create mode 100644 vorlesungen/14_msehilbertraum/hilbertraum-handout.tex
create mode 100644 vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
(limited to 'vorlesungen')
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/Makefile b/vorlesungen/14_msehilbertraum/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..e5de69c
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/Makefile
@@ -0,0 +1,33 @@
+#
+# Makefile -- hilbertraum
+#
+# (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+#
+all: hilbertraum-handout.pdf MathSemMSE-14-hilbertraum.pdf
+
+include ../slides/Makefile.inc
+
+SOURCES = common.tex slides.tex $(slides)
+
+MathSemMSE-14-hilbertraum.pdf: MathSemMSE-14-hilbertraum.tex $(SOURCES)
+ pdflatex MathSemMSE-14-hilbertraum.tex
+
+hilbertraum-handout.pdf: hilbertraum-handout.tex $(SOURCES)
+ pdflatex hilbertraum-handout.tex
+
+thumbnail: thumbnail.jpg # fix1.jpg
+
+thumbnail.pdf: MathSemMSE-14-hilbertraum.pdf
+ pdfjam --outfile thumbnail.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \
+ MathSemMSE-14-hilbertraum.pdf 1
+thumbnail.jpg: thumbnail.pdf
+ convert -density 300 thumbnail.pdf \
+ -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch thumbnail.jpg
+
+fix1.pdf: MathSemMSE-14-hilbertraum.pdf
+ pdfjam --outfile fix1.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \
+ MathSemMSE-14-hilbertraum.pdf 1
+fix1.jpg: fix1.pdf
+ convert -density 300 fix1.pdf \
+ -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch fix1.jpg
+
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/MathSemMSE-14-hilbertraum.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/MathSemMSE-14-hilbertraum.tex
new file mode 100644
index 0000000..b06500c
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/MathSemMSE-14-hilbertraum.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+%
+% MathSem-14-msehilbertraum.tex -- Präsentation
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[aspectratio=169]{beamer}
+\input{common.tex}
+\setboolean{presentation}{true}
+\begin{document}
+\begin{frame}
+\titlepage
+\end{frame}
+\input{slides.tex}
+\end{document}
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/common.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/common.tex
new file mode 100644
index 0000000..a9089bf
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/common.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+%
+% common.tex -- gemeinsame definition
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\input{../common/packages.tex}
+\input{../common/common.tex}
+\mode<beamer>{%
+\usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover}
+}
+\beamertemplatenavigationsymbolsempty
+\title[Hilbertraum]{Hilbertraum}
+\author[A.~Müller]{Prof.~Dr.~Andreas Müller}
+\date[]{}
+\newboolean{presentation}
+
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/hilbertraum-handout.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/hilbertraum-handout.tex
new file mode 100644
index 0000000..3dc7abf
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/hilbertraum-handout.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%
+% msehilbertraum-handout.tex -- Handout XXX
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[handout,aspectratio=169]{beamer}
+\input{common.tex}
+\setboolean{presentation}{false}
+\begin{document}
+\input{slides.tex}
+\end{document}
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
new file mode 100644
index 0000000..78f9cfb
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
@@ -0,0 +1,43 @@
+%
+% slides.tex -- XXX
+%
+% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\section{Hilbertraum}
+% XXX Definition
+\folie{2/hilbertraum/definition.tex}
+% XXX Norm und Konvergenz
+% XXX \folie{2/hilbertraum/norm.tex}
+% XXX Hilbert-Basis
+\folie{2/hilbertraum/l2beispiel.tex}
+\folie{2/hilbertraum/basis.tex}
+\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex}
+
+\section{Beispiele}
+% XXX Endlichdimensionale euklidische Räume
+% XXX \folie{2/hilbertraum/endlichdimensional.tex}
+% XXX Fourier-Theorie und L^2
+\folie{2/hilbertraum/l2.tex}
+
+\section{Riesz-Darstellungssatz}
+% XXX Was sagt der Satz
+% XXX \folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
+% XXX Warum ist das ein Problem für unendlichdimensionale Vektorräume
+% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszproblem.tex}
+% XXX Beweisidee
+% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszbeweis.tex}
+
+\section{$A^*$}
+% XXX Definition als Awnendung des Satzes von Riesz
+% XXX \folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
+% XXX Spektraltheorie
+% XXX \folie{2/hilbertraum/spektraltheorie.tex}
+
+\section{PDE und Hilbertraum}
+% XXX Der Operator D^2 + p(x) auf [0,1]
+% XXX \folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
+% XXX Laplace-Operator und L^2
+% XXX \folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+
+
diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
index c857fec..b2af216 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
@@ -17,5 +17,10 @@ chapter2 = \
../slides/2/frobeniusanwendung.tex \
../slides/2/quotient.tex \
../slides/2/quotientv.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/definition.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/basis.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/l2.tex \
../slides/2/chapter.tex
diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
index 49e656a..2fe48c1 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
@@ -15,3 +15,8 @@
\folie{2/frobeniusanwendung.tex}
\folie{2/quotient.tex}
\folie{2/quotientv.tex}
+\folie{2/hilbertraum/definition.tex}
+\folie{2/hilbertraum/l2beispiel.tex}
+\folie{2/hilbertraum/basis.tex}
+\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex}
+\folie{2/hilbertraum/l2.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
new file mode 100644
index 0000000..46c2320
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+%
+% basis.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Hilbert-Basis}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn
+\begin{itemize}
+\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$
+\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist
+dicht:
+Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$
+approximiert werden.
+\end{itemize}
+Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}
+\end{block}
+\begin{block}{Endlichdimensional}
+Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab.
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Konstruktion}
+Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$
+\begin{enumerate}
+\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$
+\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor
+\begin{align*}
+x\in V_k^{\perp}
+&=
+\{
+x\in H\;|\; x\perp V_k
+\}
+\\
+&=
+\{x\in H\;|\;
+x\perp y\;\forall y\in V_k
+\}
+\end{align*}
+\item $b_{k+1} = x/\|x\|$
+\[
+\mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\}
+\]
+\end{enumerate}
+Wenn $H$ separabel ist, dann ist
+\[
+\mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k
+\]
+eine Hilbertbasis für $H$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex
new file mode 100644
index 0000000..ed0ab13
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% definition.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Hilbertraum --- Definition}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$}
+\begin{enumerate}
+\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein
+\item Sesquilineares Skalarprodukt
+\[
+\langle \cdot,\cdot\rangle
+\colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle
+\]
+Dazugehörige Norm:
+\[
+\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}
+\]
+\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert
+\end{enumerate}
+Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum}
+\end{block}
+\begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum}
+Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Vollständigkeit}
+\begin{itemize}
+\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge:
+Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass
+\[
+\| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N
+\]
+\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle
+$\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass
+\[
+\|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N
+\]
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
+\[
+|\langle x,y\rangle|
+\le \|x\| \cdot \|y\|
+\]
+Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
new file mode 100644
index 0000000..2991aca
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% l2.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{$L^2$-Hilbertraum}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+\begin{itemize}
+\item
+Vektorraum: Funktionen
+\[
+f\colon [a,b] \to \mathbb{C}
+\]
+\item
+Sesquilineares Skalarprodukt
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx
+\]
+\item
+Norm:
+\[
+\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx
+\]
+\item Vollständigkeit?
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Vollständigkeit}
+\begin{itemize}
+\item
+Funktioniert nicht für Riemann-Integral
+\item
+Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach
+Henri Lebesgue)
+\item
+Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen
+\item
+Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge
+unterscheiden
+\item
+Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..29a1822
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+%
+% l2beispiel.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Beispiel: $l^2$}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+\begin{itemize}
+\item Folgen von komplexen Zahlen
+\[
+l^2
+=
+\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\}
+\]
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
new file mode 100644
index 0000000..3caa54d
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+%
+% plancherel.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Plancherel-Gleichung}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Hilbertraum mit Hilbert-Basis}
+$H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis
+$\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$
+\end{block}
+\begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten}
+\begin{align*}
+a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe}
+\begin{align*}
+\tilde{x}
+&=
+\sum_k a_k b_k
+=
+\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k
+\end{align*}
+\end{block}
+\begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$}
+\begin{align*}
+\langle b_l,\tilde{x}\rangle
+&=
+\biggl\langle
+b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k
+\biggr\rangle
+=
+\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle
+=
+\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl}
+=
+\langle b_l,x\rangle
+=
+\hat{x}_l
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Plancherel-Gleichung}
+\begin{align*}
+\|\tilde{x}\|^2
+&=
+\langle \tilde{x},\tilde{x}\rangle
+=
+\biggl\langle
+\sum_k \hat{x}_kb_k,
+\sum_l \hat{x}_lb_l
+\biggr\rangle
+\\
+&=
+\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle
+=
+\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl}
+\\
+\|\tilde{x}\|^2
+&=
+\sum_k |\hat{x}_k|^2
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
--
cgit v1.2.1
From 9e7524c25a0ba5a643fbb7555d01311f69aa603e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 3 Jun 2021 17:18:58 +0200
Subject: add slides
---
vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex | 18 ++--
vorlesungen/slides/2/Makefile.inc | 9 ++
vorlesungen/slides/2/chapter.tex | 9 ++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex | 79 ++++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex | 62 ++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 2 +
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 57 ++++++++++++-
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex | 62 ++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 23 +++++-
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex | 82 ++++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 66 +++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex | 96 ++++++++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex | 48 +++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 87 ++++++++++++++++++++
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex | 56 +++++++++++++
15 files changed, 744 insertions(+), 12 deletions(-)
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
create mode 100644 vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
(limited to 'vorlesungen')
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
index 78f9cfb..e27c42e 100644
--- a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
@@ -22,22 +22,24 @@
\section{Riesz-Darstellungssatz}
% XXX Was sagt der Satz
-% XXX \folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
-% XXX Warum ist das ein Problem für unendlichdimensionale Vektorräume
-% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszproblem.tex}
+\folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
+\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex}
% XXX Beweisidee
% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszbeweis.tex}
\section{$A^*$}
-% XXX Definition als Awnendung des Satzes von Riesz
-% XXX \folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
+% XXX Definition als Anwendung des Satzes von Riesz
+\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
% XXX Spektraltheorie
-% XXX \folie{2/hilbertraum/spektraltheorie.tex}
+\folie{2/hilbertraum/spektral.tex}
\section{PDE und Hilbertraum}
% XXX Der Operator D^2 + p(x) auf [0,1]
-% XXX \folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
% XXX Laplace-Operator und L^2
-% XXX \folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+\folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+\folie{2/hilbertraum/qm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/energie.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
index b2af216..cbd4dfe 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
+++ b/vorlesungen/slides/2/Makefile.inc
@@ -22,5 +22,14 @@ chapter2 = \
../slides/2/hilbertraum/basis.tex \
../slides/2/hilbertraum/plancherel.tex \
../slides/2/hilbertraum/l2.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/riesz.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/spektral.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/sturm.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/laplace.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/qm.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/energie.tex \
+ ../slides/2/hilbertraum/sobolev.tex \
../slides/2/chapter.tex
diff --git a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
index 2fe48c1..d3714c3 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/chapter.tex
@@ -20,3 +20,12 @@
\folie{2/hilbertraum/basis.tex}
\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex}
\folie{2/hilbertraum/l2.tex}
+\folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
+\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex}
+\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
+\folie{2/hilbertraum/spektral.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
+\folie{2/hilbertraum/qm.tex}
+\folie{2/hilbertraum/energie.tex}
+\folie{2/hilbertraum/sobolev.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
new file mode 100644
index 0000000..afafab8
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% adjungiert.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Adjungierter Operator}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Definition}
+\begin{itemize}
+\item
+$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$
+\item
+\[
+H\to\mathbb{C}
+:
+x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L
+\]
+ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$
+\item
+Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit
+\[
+\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H
+\quad
+\forall x\in H
+\]
+\end{itemize}
+Die Abbildung
+\[
+L\to H
+:
+y\mapsto v =: A^*y
+\]
+heisst {\em adjungierte Abbildung}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)}
+\[
+A^* = \overline{A}^t
+\]
+\end{block}
+\vspace{-8pt}
+\begin{block}{Selbstabbildungen}
+Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$
+\[
+\langle x,Ay\rangle
+=
+\langle A^*x, y\rangle
+\quad
+\forall x,y\in H
+\]
+\end{block}
+\vspace{-8pt}
+\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren}
+\[
+A=A^*
+\;\Leftrightarrow\;
+\langle x,Ay \rangle
+=
+\langle A^*x,y \rangle
+=
+\langle Ax,y \rangle
+\]
+Matrizen:
+\begin{itemize}
+\item hermitesch
+\item für reelle Hilberträume: symmetrisch
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
new file mode 100644
index 0000000..7868cb4
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% energie.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Energie --- Zeitentwicklung --- Schrödinger}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.30\textwidth}
+\begin{block}{Totale Energie}
+Hamilton-Funktion
+\begin{align*}
+H
+&=
+\frac12mv^2 + V(x)
+\\
+&=
+\frac{p^2}{2m} + V(x)
+\end{align*}
+\end{block}
+\begin{block}{Quantisierungsregel}
+\begin{align*}
+\text{Variable}&\to \text{Operator}
+\\
+x_k & \to x_k
+\\
+p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.66\textwidth}
+\begin{block}{Energie-Operator}
+\[
+H
+=
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x)
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Eigenwertgleichung}
+\[
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t)
+\]
+Zeitunabhängige Schrödingergleichung
+\end{block}
+\begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung}
+\[
+-\frac{\hbar}{i}
+\frac{\partial}{\partial t}
+\psi(x,t)
+=
+-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t)
+\]
+Eigenwertgleichung durch Separation von $t$
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
index 2991aca..e2f2262 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
@@ -31,6 +31,8 @@ Norm:
\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx
\]
\item Vollständigkeit?
+$\rightarrow$
+Lebesgue Konvergenz-Satz
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
index 29a1822..c030eb7 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
@@ -7,22 +7,73 @@
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
-\frametitle{Beispiel: $l^2$}
+\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
\begin{itemize}
-\item Folgen von komplexen Zahlen
+\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen
\[
l^2
=
-\{(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,|\, x_k \in\mathbb{C}\}
+\biggl\{
+(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty
+\biggr\}
+\]
+\item Skalarprodukt:
+\begin{align*}
+\langle x,y\rangle
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k,
+&
+\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
+\end{align*}
+\item Vollständigkeit,
+Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
+\[
+\biggl|
+\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k
+\biggr|
+\le
+\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
+\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2
\]
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Standardbasisvektoren}
+\begin{align*}
+e_i
+&=
+(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots)
+\\
+(e_i)_k &= \delta_{ik}
+\end{align*}
+sind orthonormiert:
+\begin{align*}
+\langle e_i,e_j\rangle
+&=
+\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk}
+=
+\delta_{ij}
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-16pt}
+\begin{block}{Analyse}
+$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden:
+\begin{align*}
+\hat{x}_i
+=
+\langle e_i,x\rangle
+&=
+\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k
+=
+x_i
+\end{align*}
+(Fourier-Koeffizienten)
+\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
new file mode 100644
index 0000000..5e0bba9
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%
+% laplace.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Höhere Dimension}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.44\textwidth}
+\begin{block}{Problem}
+Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet
+\\
+Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$
+\end{block}
+\begin{block}{Funktionen}
+Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$
+mit $f_{|\partial\Omega}=0$
+\end{block}
+\begin{block}{Skalarprodukt}
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x)
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Laplace-Operator}
+\[
+\Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.52\textwidth}
+\begin{block}{Selbstadjungiert}
+\begin{align*}
+\langle f,\Delta g\rangle
+&=
+\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&=
+\int_{\partial\Omega}
+\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x)
+\\
+&\qquad
+-
+\int_{\Omega}
+\operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x)
+\,d\mu(x)
+\\
+&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&=
+\langle \Delta f,g\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
index 3caa54d..eaf8aaa 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
@@ -17,9 +17,12 @@ $\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$
\end{block}
\begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten}
\begin{align*}
-a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle
+a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle
+\\
+\hat{x}&=\mathcal{F}x
\end{align*}
\end{block}
+\vspace{-10pt}
\begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe}
\begin{align*}
\tilde{x}
@@ -29,6 +32,7 @@ a_k &= \hat{x}_k=\langle b_k, x\rangle
\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k
\end{align*}
\end{block}
+\vspace{-6pt}
\begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$}
\begin{align*}
\langle b_l,\tilde{x}\rangle
@@ -67,7 +71,24 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k
\|\tilde{x}\|^2
&=
\sum_k |\hat{x}_k|^2
+=
+\|\hat{x}\|_{l^2}^2
+=
+\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2
+\end{align*}
+\end{block}
+\vspace{-12pt}
+\begin{block}{Isometrie}
+\begin{align*}
+\mathcal{F}
+\colon
+H \to l^2
+\colon
+x\mapsto \hat{x}
\end{align*}
+Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via
+%Fourier-Transformation
+$\mathcal{F}$
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
new file mode 100644
index 0000000..1a2bbbc
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+%
+% qm.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Anwendung: Quantenmechanik}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Zustände (Wellenfunktion)}
+$L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$
+\[
+\psi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{C}
+\]
+\end{block}
+\vspace{-6pt}
+\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation}
+\[
+|\psi(x)|^2 = \left\{
+\begin{minipage}{4.6cm}\raggedright
+Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens
+\end{minipage}\right.
+\]
+\end{block}
+\vspace{-6pt}
+\begin{block}{Skalarprodukt}
+\[
+\langle\psi,\psi\rangle
+=
+\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1
+\]
+\end{block}
+\vspace{-6pt}
+\begin{block}{Messgrösse $A$}
+Selbstadjungierter Operator $A$
+\\
+$\rightarrow$
+Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Überlagerung}
+\begin{align*}
+|\psi\rangle
+&=
+\sum_i
+w_i|i\rangle
+\\
+\langle \psi|\psi\rangle
+&=
+\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)}
+\end{align*}
+$|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$
+\end{block}
+\begin{block}{Erwartungswert}
+\begin{align*}
+E(A)
+&=
+\sum_i |w_i|^2 \alpha_i
+=
+\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i
+\\
+&=
+\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle
+=
+\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle
+\\
+&=
+\sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j|
+A|i\rangle
+=
+\langle \psi| A |\psi\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
new file mode 100644
index 0000000..88c456c
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% riesz.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Darstellungssatz von Riesz}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Dualraum}
+$V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen
+\[
+f\colon V\to \mathbb{C}
+\]
+\end{block}
+\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$}
+$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$,
+Linearformen:
+\begin{align*}
+f(x)
+&=
+\sum_{i=0}^\infty f_ix_i
+\\
+\|f\|
+&=
+\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1}
+|f(x)|
+=
+\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|
+\\
+\Rightarrow
+l^{\infty*}
+&=
+l^1
+\qquad(\ne l^2)
+\\
+&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\}
+\end{align*}
+
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$}
+${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$
+\end{block}
+\begin{theorem}[Riesz]
+Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit
+\[
+f(x) = \langle v,x\rangle
+\quad\forall x\in H
+\]
+und $\|f\| = \|v\|$
+\end{theorem}
+\begin{block}{Dualraum von $H$}
+$H^*=H$
+\end{block}
+Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale''
+Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
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index 0000000..e2c26f5
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
@@ -0,0 +1,96 @@
+%
+% rieszbeispiel.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Linearform auf $L^2$-Funktionen}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Linearform auf $\mathbb{C}^n$}
+\begin{align*}
+{\color{blue}x}&=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},
+&
+f({\color{blue}x})
+&=
+\begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x}
+\\
+{\color{red}v}&=
+\rlap{$
+\begin{pmatrix}
+\overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n
+\end{pmatrix}^t
+\;\Rightarrow\;
+f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle
+$}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$}
+\begin{align*}
+{\color{red}x}&\in L^2([a,b])
+\\
+f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C}
+: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x})
+\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$}
+f({\color{red}x})
+&=
+\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
+\def\s{0.058}
+\foreach \n in {0,...,5}{
+ \draw[color=red,line width=3pt]
+ ({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0);
+ \node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)})
+ [above right] {$v_\n\mathstrut$};
+ \draw[color=blue,line width=3pt]
+ ({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0);
+ \node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n})
+ [above left] {$x_\n\mathstrut$};
+}
+\draw[->] (-0.6,0) -- (6,0) coordinate[label={$n$}];
+\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}];
+\foreach \n in {0,...,5}{
+ \fill (\n,0) circle[radius=0.08];
+ \node at (\n,0) [below] {$\n$\strut};
+}
+\node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut};
+\end{scope}
+\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+ plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)})
+ --
+ (5,0) -- (0,0) -- cycle;
+\fill[color=blue!40,opacity=0.5]
+ plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x})
+ -- (5,0) -- (0,0) -- cycle;
+\draw[color=red,line width=1.4pt]
+ plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)});
+\node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$};
+
+\draw[color=blue,line width=1.4pt]
+ plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x});
+\node[color=blue] at (4.5,2) [right]{$v(t)$};
+
+\draw[->] (-0.6,0) -- (6.0,0) coordinate[label={$t$}];
+\draw[->] (-0.5,-0.1) -- (-0.5,2.5) coordinate[label={right:$x$}];
+\draw (0.0,-0.1) -- (0.0,0.1);
+\node at (0.0,0) [below] {$a$\strut};
+\draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1);
+\node at (5.0,0) [below] {$b$\strut};
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
new file mode 100644
index 0000000..425c263
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+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% sobolev.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Sobolev-Raum}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Vektorrraum $W$}
+Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$
+\begin{itemize}
+\item
+$f\in L^2(\Omega)$
+\item
+$\nabla f\in L^2(\Omega)$
+\item
+homogene Randbedingungen:
+$f_{|\partial \Omega}=0$
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Skalarprodukt}
+\begin{align*}
+\langle f,g\rangle_W
+&=
+\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)
+\\
+&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Vollständigkeit}
+\dots
+\end{block}
+\begin{block}{Anwendung}
+``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem''
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
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+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
@@ -0,0 +1,87 @@
+%
+% spektral.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Voraussetzungen}
+\begin{itemize}
+\item
+Hilbertraum $H$
+\item
+$A\colon H\to H$ linear
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Eigenwerte}
+$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$
+\begin{align*}
+\langle x,x\rangle
+&=
+\frac1{\lambda}
+\langle x,\lambda x\rangle
+=
+\frac1{\lambda}
+\langle x,Ax\rangle
+\\
+&=
+\frac1{\lambda}
+\langle Ax,x\rangle
+=
+\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}
+\langle x,x\rangle
+\\
+\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1
+\quad\Rightarrow\quad
+\overline{\lambda} = \lambda
+\quad\Rightarrow\quad
+\lambda\in\mathbb{R}
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Orthogonalität}
+$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$
+\begin{align*}
+\langle u,v\rangle
+&=
+\frac{1}{\mu}
+\langle \mu u,v\rangle
+=
+\frac{1}{\mu}
+\langle Au,v\rangle
+\\
+&=
+\frac{1}{\mu}
+\langle u,Av\rangle
+=
+\frac{1}{\mu}
+\langle u,\lambda v\rangle
+=
+\frac{\lambda}{\mu}
+\langle u,v\rangle
+\\
+\Rightarrow
+\;
+0
+&=
+\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0}
+\langle u,v\rangle
+\;\Rightarrow\;
+\langle u,v\rangle = 0
+\end{align*}
+EV zu verschiedenen EW sind orthogonal
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Spektralsatz}
+Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$
+\end{block}
+\end{frame}
+\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
new file mode 100644
index 0000000..1d772d6
--- /dev/null
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
@@ -0,0 +1,56 @@
+%
+% sturm.tex -- slide template
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\bgroup
+\begin{frame}[t]
+\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
+\frametitle{Sturm-Liouville-Problem}
+\vspace{-20pt}
+\begin{columns}[t,onlytextwidth]
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Wellengleichung}
+Saite mit variabler Massedichte führt auf die DGL
+\[
+-y''(t) + q(t) y(t) = \lambda y(t),
+\quad
+q(t) > 0
+\]
+mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$
+\end{block}
+\end{column}
+\begin{column}{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Sturm-Liouville-Operator}
+\[
+A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p
+\]
+auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten
+\[
+f(0)=f(1)=0
+\]
+\end{block}
+\end{column}
+\end{columns}
+\begin{block}{Selbstadjungiert}
+\begin{align*}
+\langle f,Ag \rangle
+&=
+\langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle
+=
+-
+\int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt
++\langle f,qg\rangle
+\\
+&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0}
++\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt
++\langle f,qg\rangle
+=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt
++\langle qf,g\rangle
+\\
+&=\langle Af,g\rangle
+\end{align*}
+\end{block}
+\end{frame}
+\egroup
--
cgit v1.2.1
From 680e1e763b8d899b3601b5ab0cf6f1fc2a114e1d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 3 Jun 2021 18:51:36 +0200
Subject: phases
---
vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex | 12 -----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex | 34 ++++++------
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex | 22 ++++----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex | 22 ++++----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex | 17 +++---
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex | 24 +++++----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex | 34 ++++++------
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex | 30 ++++++-----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex | 60 +++++++++++----------
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex | 50 +++++++++--------
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex | 32 +++++++----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex | 27 +++++++---
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex | 23 ++++----
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex | 62 ++++++++++++----------
vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex | 20 +++----
15 files changed, 263 insertions(+), 206 deletions(-)
(limited to 'vorlesungen')
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
index e27c42e..22da2de 100644
--- a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
@@ -5,38 +5,26 @@
%
\section{Hilbertraum}
-% XXX Definition
\folie{2/hilbertraum/definition.tex}
-% XXX Norm und Konvergenz
-% XXX \folie{2/hilbertraum/norm.tex}
-% XXX Hilbert-Basis
\folie{2/hilbertraum/l2beispiel.tex}
\folie{2/hilbertraum/basis.tex}
\folie{2/hilbertraum/plancherel.tex}
\section{Beispiele}
-% XXX Endlichdimensionale euklidische Räume
-% XXX \folie{2/hilbertraum/endlichdimensional.tex}
-% XXX Fourier-Theorie und L^2
\folie{2/hilbertraum/l2.tex}
\section{Riesz-Darstellungssatz}
-% XXX Was sagt der Satz
\folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex}
% XXX Beweisidee
% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszbeweis.tex}
\section{$A^*$}
-% XXX Definition als Anwendung des Satzes von Riesz
\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
-% XXX Spektraltheorie
\folie{2/hilbertraum/spektral.tex}
\section{PDE und Hilbertraum}
-% XXX Der Operator D^2 + p(x) auf [0,1]
\folie{2/hilbertraum/sturm.tex}
-% XXX Laplace-Operator und L^2
\folie{2/hilbertraum/laplace.tex}
\folie{2/hilbertraum/qm.tex}
\folie{2/hilbertraum/energie.tex}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
index afafab8..da41576 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/adjungiert.tex
@@ -13,16 +13,16 @@
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
\begin{itemize}
-\item
+\item<2->
$A\colon H\to L$ lineare Abbildung zwischen Hilberträumen, $y\in L$
-\item
+\item<3->
\[
H\to\mathbb{C}
:
x\mapsto \langle y, Ax\rangle_L
\]
ist eine lineare Abbildung $H\to\mathbb{C}$
-\item
+\item<4->
Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit
\[
\langle y,Ax\rangle_L = \langle v,x\rangle_H
@@ -30,22 +30,25 @@ Nach dem Darstellungssatz gibt es $v\in H$ mit
\forall x\in H
\]
\end{itemize}
+\uncover<5->{%
Die Abbildung
\[
L\to H
:
y\mapsto v =: A^*y
\]
-heisst {\em adjungierte Abbildung}
+heisst {\em adjungierte Abbildung}}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Endlichdimensional (Matrizen)}
\[
A^* = \overline{A}^t
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-8pt}
+\uncover<7->{%
\begin{block}{Selbstabbildungen}
Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$
\[
@@ -55,24 +58,25 @@ Für Operatoren $A\colon H\to H$ ist $A^*\colon H\to H$
\quad
\forall x,y\in H
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-8pt}
+\uncover<9->{%
\begin{block}{Selbstadjungierte Operatoren}
\[
A=A^*
-\;\Leftrightarrow\;
+\uncover<10->{\;\Leftrightarrow\;
\langle x,Ay \rangle
=
-\langle A^*x,y \rangle
-=
-\langle Ax,y \rangle
+\langle A^*x,y \rangle}
+\uncover<11->{=
+\langle Ax,y \rangle}
\]
-Matrizen:
+\uncover<12->{Matrizen:
\begin{itemize}
-\item hermitesch
-\item für reelle Hilberträume: symmetrisch
-\end{itemize}
-\end{block}
+\item<13-> hermitesch
+\item<14-> für reelle Hilberträume: symmetrisch
+\end{itemize}}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
index 46c2320..022fa07 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/basis.tex
@@ -14,24 +14,27 @@
\begin{block}{Definition}
Eine Menge $\mathcal{B}=\{b_k|k>0\}$ ist eine Hilbertbasis, wenn
\begin{itemize}
-\item $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$
-\item Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist
+\item<2-> $\mathcal{B}$ ist orthonormiert: $\langle b_k,b_l\rangle=\delta_{kl}$
+\item<3-> Der Unterraum $\langle b_k|k>0\rangle\subset H$ ist
dicht:
Jeder Vektor von $H$ kann beliebig genau durch Linearkombinationen von $b_k$
approximiert werden.
\end{itemize}
-Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}
+\uncover<4->{%
+Ein Hilbertraum mit einer Hilbertbasis heisst {\em separabel}}
\end{block}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Endlichdimensional}
Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab.
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Konstruktion}
Iterativ: $\mathcal{B}_0=\emptyset$
\begin{enumerate}
-\item $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$
-\item Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor
+\item<7-> $V_k = \langle \mathcal{B}_k \rangle$
+\item<8-> Wenn $V_k\ne H$, wähle einen Vektor
\begin{align*}
x\in V_k^{\perp}
&=
@@ -44,17 +47,18 @@ x\in H\;|\; x\perp V_k
x\perp y\;\forall y\in V_k
\}
\end{align*}
-\item $b_{k+1} = x/\|x\|$
+\item<9-> $b_{k+1} = x/\|x\|$
\[
\mathcal{B}_{k+1} = \mathcal{B}_k\cup \{b_{k+1}\}
\]
\end{enumerate}
+\uncover<10->{%
Wenn $H$ separabel ist, dann ist
\[
\mathcal{B} = \bigcup_{k} \mathcal{B}_k
\]
-eine Hilbertbasis für $H$
-\end{block}
+eine Hilbertbasis für $H$}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex
index ed0ab13..d101637 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/definition.tex
@@ -13,8 +13,8 @@
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{$\mathbb{C}$-Hilbertraum $H$}
\begin{enumerate}
-\item $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein
-\item Sesquilineares Skalarprodukt
+\item<2-> $\mathbb{C}$-Vektorraum, muss nicht endlichdimensional sein
+\item<3-> Sesquilineares Skalarprodukt
\[
\langle \cdot,\cdot\rangle
\colon H \to \mathbb{C}: (x,y) \mapsto \langle x,y\rangle
@@ -23,36 +23,40 @@ Dazugehörige Norm:
\[
\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}
\]
-\item Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert
+\item<4-> Vollständigkeit: jede Cauchy-Folge konvergiert
\end{enumerate}
-Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum}
+\uncover<5->{%
+Ohne Vollständigkeit: {\em Prähilbertraum}}
\end{block}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{$\mathbb{R}$-Hilbertraum}
Vollständiger $\mathbb{R}$-Vektorraum mit bilinearem Skalarprodukt
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<7->{%
\begin{block}{Vollständigkeit}
\begin{itemize}
-\item $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge:
+\item<8-> $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge:
Für alle $\varepsilon>0$ gibt es $N>0$ derart, dass
\[
\| x_n-x_m\| < \varepsilon\quad\forall n,m>N
\]
-\item Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle
+\item<9-> Grenzwert existiert: $\exists x\in H$ derart, dass es für alle
$\varepsilon >0$ ein $N>0$ gibt derart, dass
\[
\|x_n-x\|<\varepsilon\quad\forall n>N
\]
\end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{block}{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
\[
|\langle x,y\rangle|
\le \|x\| \cdot \|y\|
\]
Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
index 7868cb4..202a7c5 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/energie.tex
@@ -11,6 +11,7 @@
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.30\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Totale Energie}
Hamilton-Funktion
\begin{align*}
@@ -21,7 +22,8 @@ H
&=
\frac{p^2}{2m} + V(x)
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Quantisierungsregel}
\begin{align*}
\text{Variable}&\to \text{Operator}
@@ -30,22 +32,25 @@ x_k & \to x_k
\\
p_k & \to \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_k}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.66\textwidth}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Energie-Operator}
\[
H
=
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x)
\]
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Eigenwertgleichung}
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t) = E\psi(x,t)
\]
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Zeitabhängigkeit = Schrödingergleichung}
\[
-\frac{\hbar}{i}
@@ -54,8 +59,8 @@ Zeitunabhängige Schrödingergleichung
=
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(x,t) + V(x)\psi(x,t)
\]
-Eigenwertgleichung durch Separation von $t$
-\end{block}
+\uncover<7->{Eigenwertgleichung durch Separation von $t$}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
index e2f2262..bd744ab 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2.tex
@@ -13,46 +13,48 @@
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
\begin{itemize}
-\item
+\item<2->
Vektorraum: Funktionen
\[
f\colon [a,b] \to \mathbb{C}
\]
-\item
+\item<3->
Sesquilineares Skalarprodukt
\[
\langle f,g\rangle
=
\int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx
\]
-\item
+\item<4->
Norm:
\[
\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx
\]
-\item Vollständigkeit?
-$\rightarrow$
-Lebesgue Konvergenz-Satz
+\item<5->
+Vollständigkeit?
+\uncover<6->{$\rightarrow$
+Lebesgue Konvergenz-Satz}
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<7->{%
\begin{block}{Vollständigkeit}
\begin{itemize}
\item
Funktioniert nicht für Riemann-Integral
-\item
+\item<8->
Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach
Henri Lebesgue)
-\item
+\item<9->
Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen
-\item
+\item<10->
Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge
unterscheiden
-\item
+\item<11->
Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert
\end{itemize}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
index c030eb7..3ae44af 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/l2beispiel.tex
@@ -13,7 +13,7 @@
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
\begin{itemize}
-\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen
+\item<2-> Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen
\[
l^2
=
@@ -21,15 +21,15 @@ l^2
(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty
\biggr\}
\]
-\item Skalarprodukt:
+\item<3-> Skalarprodukt:
\begin{align*}
\langle x,y\rangle
&=
\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k,
&
-\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
+\uncover<4->{\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2}
\end{align*}
-\item Vollständigkeit,
+\item<5-> Vollständigkeit,
Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
\[
\biggl|
@@ -43,37 +43,39 @@ Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Standardbasisvektoren}
\begin{align*}
e_i
&=
(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots)
\\
-(e_i)_k &= \delta_{ik}
+\uncover<7->{(e_i)_k &= \delta_{ik}}
\end{align*}
-sind orthonormiert:
+\uncover<8->{sind orthonormiert:
\begin{align*}
\langle e_i,e_j\rangle
&=
\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk}
-=
-\delta_{ij}
-\end{align*}
-\end{block}
+\uncover<9->{=
+\delta_{ij}}
+\end{align*}}
+\end{block}}
\vspace{-16pt}
+\uncover<10->{%
\begin{block}{Analyse}
$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden:
\begin{align*}
\hat{x}_i
=
\langle e_i,x\rangle
-&=
-\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k
-=
-x_i
+&\uncover<11->{=
+\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k}
+\uncover<12->{=
+x_i}
\end{align*}
-(Fourier-Koeffizienten)
-\end{block}
+\uncover<13->{(Fourier-Koeffizienten)}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
index 5e0bba9..8f6b196 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/laplace.tex
@@ -16,46 +16,50 @@ Gegeben: $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ein Gebiet
\\
Gesucht: Lösungen von $\Delta u=0$ mit $u_{|\partial\Omega}=0$
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Funktionen}
Hilbertraum $H$ der Funktionen $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{C}$
mit $f_{|\partial\Omega}=0$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Skalarprodukt}
\[
\langle f,g\rangle
=
\int_{\Omega} \overline{f}(x) g(x)\,d\mu(x)
\]
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Laplace-Operator}
\[
\Delta \psi = \operatorname{div}\operatorname{grad}\psi
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.52\textwidth}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Selbstadjungiert}
\begin{align*}
\langle f,\Delta g\rangle
-&=
-\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x)
+&\uncover<6->{=
+\int_{\Omega} \overline{f}(x)\operatorname{div}\operatorname{grad}g(x)\,d\mu(x)}
\\
-&=
+&\uncover<7->{=
\int_{\partial\Omega}
-\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x)
+\underbrace{\overline{f}(x)}_{\displaystyle=0}\operatorname{grad}g(x)\,d\nu(x)}
\\
-&\qquad
+&\uncover<7->{\qquad
-
\int_{\Omega}
\operatorname{grad}\overline{f}(x)\cdot \operatorname{grad}g(x)
-\,d\mu(x)
+\,d\mu(x)}
\\
-&=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x)
+&\uncover<8->{=\int_{\Omega}\operatorname{div}\operatorname{grad}\overline{f}(x)g(x)\,d\mu(x)}
\\
-&=
-\langle \Delta f,g\rangle
+&\uncover<9->{=
+\langle \Delta f,g\rangle}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
index eaf8aaa..73dd46b 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/plancherel.tex
@@ -15,24 +15,27 @@
$H$ Hilbertraum mit Hilbert-Basis
$\mathcal{B}=\{b_k\;|\; k>0\}$, $x\in H$
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Analyse: Fourier-Koeffizienten}
\begin{align*}
a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle
\\
-\hat{x}&=\mathcal{F}x
+\uncover<3->{\hat{x}&=\mathcal{F}x}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-10pt}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Synthese: Fourier-Reihe}
\begin{align*}
\tilde{x}
&=
\sum_k a_k b_k
-=
-\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k
+\uncover<5->{=
+\sum_k \langle x,b_k\rangle b_k}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-6pt}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Analyse von $\tilde{x}$}
\begin{align*}
\langle b_l,\tilde{x}\rangle
@@ -40,18 +43,19 @@ a_k = \hat{x}_k &=\langle b_k, x\rangle
\biggl\langle
b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k
\biggr\rangle
-=
-\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle
-=
-\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl}
-=
-\langle b_l,x\rangle
-=
-\hat{x}_l
+\uncover<7->{=
+\sum_k \langle b_k,x\rangle\langle b_l,b_k\rangle}
+\uncover<8->{=
+\sum_k \langle b_k,x\rangle\delta_{kl}}
+\uncover<9->{=
+\langle b_l,x\rangle}
+\uncover<10->{=
+\hat{x}_l}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<11->{%
\begin{block}{Plancherel-Gleichung}
\begin{align*}
\|\tilde{x}\|^2
@@ -63,21 +67,23 @@ b_l,\sum_{k}\langle b_k,x\rangle b_k
\sum_l \hat{x}_lb_l
\biggr\rangle
\\
-&=
-\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle
-=
-\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl}
+&\uncover<12->{=
+\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\langle b_k,b_l\rangle}
+\uncover<13->{=
+\sum_{k,l} \overline{\hat{x}}_k\hat{x}_l\delta_{kl}}
\\
+\uncover<14->{
\|\tilde{x}\|^2
&=
-\sum_k |\hat{x}_k|^2
-=
-\|\hat{x}\|_{l^2}^2
-=
-\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2
+\sum_k |\hat{x}_k|^2}
+\uncover<15->{=
+\|\hat{x}\|_{l^2}^2}
+\uncover<16->{=
+\|\mathcal{F}x\|_{l^2}^2}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-12pt}
+\uncover<17->{%
\begin{block}{Isometrie}
\begin{align*}
\mathcal{F}
@@ -86,10 +92,10 @@ H \to l^2
\colon
x\mapsto \hat{x}
\end{align*}
-Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via
+\uncover<18->{Alle separablen Hilberträume sind isometrisch zu $l^2$ via
%Fourier-Transformation
-$\mathcal{F}$
-\end{block}
+$\mathcal{F}$}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
index 1a2bbbc..a108121 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/qm.tex
@@ -18,6 +18,7 @@ $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$
\]
\end{block}
\vspace{-6pt}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Wahrscheinlichkeitsinterpretation}
\[
|\psi(x)|^2 = \left\{
@@ -25,24 +26,27 @@ $L^2$-Funktionen auf $\mathbb{R}^3$
Wahrscheinlichkeitsdichte für Position $x$ des Teilchens
\end{minipage}\right.
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-6pt}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Skalarprodukt}
\[
\langle\psi,\psi\rangle
=
\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x)|^2\,dx = 1
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\vspace{-6pt}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Messgrösse $A$}
Selbstadjungierter Operator $A$
\\
-$\rightarrow$
-Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$
-\end{block}
+\uncover<5->{$\rightarrow$
+Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<6->{%
\begin{block}{Überlagerung}
\begin{align*}
|\psi\rangle
@@ -50,32 +54,36 @@ Hilbertbasis $|i\rangle$ von EV von $A$
\sum_i
w_i|i\rangle
\\
-\langle \psi|\psi\rangle
+\uncover<7->{\langle \psi|\psi\rangle
&=
-\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)}
+\sum_i |w_i|^2 \qquad\text{(Plancherel)}}
\end{align*}
+\uncover<8->{%
$|w_i|^2=|\langle \psi|i\rangle|^2$ Wahrscheinlichkeit für Zustand $|i\rangle$
-\end{block}
+}
+\end{block}}
+\uncover<9->{%
\begin{block}{Erwartungswert}
\begin{align*}
E(A)
-&=
-\sum_i |w_i|^2 \alpha_i
-=
-\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i
+&\uncover<10->{=
+\sum_i |w_i|^2 \alpha_i}
+\uncover<11->{=
+\sum_i \overline{w}_i\alpha_i w_i }
+\hspace{5cm}
\\
-&=
-\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle
-=
-\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle
+&\only<12>{=
+\sum_{i,j} \overline{w}_j\alpha_i w_i \langle j|i\rangle}
+\uncover<13->{=
+\sum_{i} \overline{w}_j\langle j| \sum_i \alpha_i w_i |i\rangle}
\\
-&=
+&\uncover<14->{=
\sum_{i,j} \overline{w}_j w_i \langle j|
-A|i\rangle
-=
-\langle \psi| A |\psi\rangle
+A|i\rangle}
+\uncover<15->{=
+\langle \psi| A |\psi\rangle}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
index 88c456c..437fb3c 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/riesz.tex
@@ -17,36 +17,44 @@ $V$ ein Vektorraum, $V^*$ der Raum aller Linearformen
f\colon V\to \mathbb{C}
\]
\end{block}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Beispiel: $l^\infty$}
$l^\infty=\text{beschränkte Folgen in $\mathbb{C}$}$,
Linearformen:
\begin{align*}
+\uncover<4->{
f(x)
&=
-\sum_{i=0}^\infty f_ix_i
+\sum_{i=0}^\infty f_ix_i}
\\
+\uncover<5->{
\|f\|
&=
\sup_{\|x\|_{\infty}\le 1}
-|f(x)|
-=
-\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|
+|f(x)|}
+\uncover<6->{=
+\sum_{k\in\mathbb{N}} |f_k|}
\\
+\uncover<7->{
\Rightarrow
l^{\infty*}
&=
-l^1
-\qquad(\ne l^2)
+l^1}
+\uncover<9->{\qquad(\ne l^2)}
\\
+\uncover<8->{
&=\{\text{summierbare Folgen in $\mathbb{C}$}\}
+}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Beispiel: $\mathbb{C}^n$}
${\mathbb{C}^n}^* = \mathbb{C}^n$
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{theorem}[Riesz]
Zu einer stetigen Linearform $f\colon H\to\mathbb{C}$ gibt es $v\in H$ mit
\[
@@ -54,12 +62,14 @@ f(x) = \langle v,x\rangle
\quad\forall x\in H
\]
und $\|f\| = \|v\|$
-\end{theorem}
+\end{theorem}}
+\uncover<11->{%
\begin{block}{Dualraum von $H$}
$H^*=H$
-\end{block}
+\end{block}}%
+\uncover<12->{%
Der Hilbertraum ist die ``intuitiv richtige, unendlichdimensionale''
-Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$
+Verallgemeinerung von $\mathbb{C}^n$}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
index e2c26f5..de9383f 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex
@@ -19,30 +19,33 @@ f({\color{blue}x})
&=
\begin{pmatrix}f_1&f_2&\dots&f_n\end{pmatrix} {\color{blue}x}
\\
+\uncover<2->{
{\color{red}v}&=
\rlap{$
\begin{pmatrix}
\overline{f}_1&\overline{f}_2&\dots&\overline{f}_n
\end{pmatrix}^t
-\;\Rightarrow\;
-f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle
-$}
+\uncover<3->{\;\Rightarrow\;
+f({\color{blue}x})=\langle {\color{red}v},{\color{blue}x}\rangle}
+$}}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<4->{%
\begin{block}{Linearform auf $L^2([a,b])$}
\begin{align*}
{\color{red}x}&\in L^2([a,b])
\\
+\uncover<5->{
f&\colon L^2([a,b]) \to \mathbb{C}
-: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x})
-\intertext{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$}
-f({\color{red}x})
+: {\color{red}x} \mapsto f({\color{red}x})}
+\intertext{\uncover<6->{Riesz-Darstellungssatz: $\exists {\color{blue}v}\in L^2([a,b])$}}
+\uncover<7->{f({\color{red}x})
&=
-\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt
+\int_a^b {\color{blue}\overline{v}(t)}{\color{red}x(t)}\,dt}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\begin{center}
@@ -50,10 +53,12 @@ f({\color{red}x})
\begin{scope}[xshift=-3.5cm]
\def\s{0.058}
\foreach \n in {0,...,5}{
+\uncover<3->{
\draw[color=red,line width=3pt]
({\n+\s},{1/(\n+0.5)}) -- ({\n+\s},0);
\node[color=red] at ({\n},{-0.2+1/(\n+0.5)})
[above right] {$v_\n\mathstrut$};
+}
\draw[color=blue,line width=3pt]
({\n-\s},{0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n}) -- ({\n-\s},0);
\node[color=blue] at ({\n},{-0.2+0.4+0.55*sin(200*\n)+0.25*\n})
@@ -67,17 +72,22 @@ f({\color{red}x})
}
\node at (5.6,0) [below] {$\cdots$\strut};
\end{scope}
+\uncover<4->{
\begin{scope}[xshift=3.5cm]
+\uncover<7->{
\fill[color=red!40,opacity=0.5]
plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)})
--
(5,0) -- (0,0) -- cycle;
+}
\fill[color=blue!40,opacity=0.5]
plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x})
-- (5,0) -- (0,0) -- cycle;
+\uncover<7->{
\draw[color=red,line width=1.4pt]
plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{1/(\x+0.5)});
\node[color=red] at (0,2) [right] {$x(t)$};
+}
\draw[color=blue,line width=1.4pt]
plot[domain=0:5,samples=100] (\x,{0.4+0.55*sin(200*\x)+0.25*\x});
@@ -90,6 +100,7 @@ f({\color{red}x})
\draw (5.0,-0.1) -- (5.0,0.1);
\node at (5.0,0) [below] {$b$\strut};
\end{scope}
+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
index 425c263..828d34d 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sobolev.tex
@@ -14,34 +14,37 @@
\begin{block}{Vektorrraum $W$}
Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$
\begin{itemize}
-\item
+\item<2->
$f\in L^2(\Omega)$
-\item
+\item<3->
$\nabla f\in L^2(\Omega)$
-\item
+\item<4->
homogene Randbedingungen:
$f_{|\partial \Omega}=0$
\end{itemize}
\end{block}
+\uncover<5->{%
\begin{block}{Skalarprodukt}
\begin{align*}
\langle f,g\rangle_W
-&=
-\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)
+&\uncover<6->{=
+\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)}
\\
-&\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)
+&\uncover<7->{\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)}
\\
-&=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}
+&\uncover<8->{=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<9->{%
\begin{block}{Vollständigkeit}
\dots
-\end{block}
+\end{block}}
+\uncover<10->{%
\begin{block}{Anwendung}
``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem''
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
index b7a44f8..b561b69 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/spektral.tex
@@ -19,69 +19,73 @@ Hilbertraum $H$
$A\colon H\to H$ linear
\end{itemize}
\end{block}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Eigenwerte}
$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$
\begin{align*}
-\langle x,x\rangle
+\uncover<3->{\langle x,x\rangle
&=
\frac1{\lambda}
-\langle x,\lambda x\rangle
-=
+\langle x,\lambda x\rangle}
+\uncover<3->{=
\frac1{\lambda}
-\langle x,Ax\rangle
+\langle x,Ax\rangle}
\\
-&=
+&\uncover<4->{=
\frac1{\lambda}
-\langle Ax,x\rangle
-=
+\langle Ax,x\rangle}
+\uncover<5->{=
\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}
-\langle x,x\rangle
+\langle x,x\rangle}
\\
-\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1
-\quad\Rightarrow\quad
-\overline{\lambda} = \lambda
+\uncover<6->{\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1
\quad\Rightarrow\quad
-\lambda\in\mathbb{R}
+\overline{\lambda} = \lambda}
+\uncover<7->{\quad\Rightarrow\quad
+\lambda\in\mathbb{R}}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<8->{%
\begin{block}{Orthogonalität}
$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$
\begin{align*}
+\uncover<9->{
\langle u,v\rangle
&=
\frac{1}{\mu}
-\langle \mu u,v\rangle
-=
+\langle \mu u,v\rangle}
+\uncover<10->{=
\frac{1}{\mu}
-\langle Au,v\rangle
+\langle Au,v\rangle}
\\
-&=
+&\uncover<11->{=
\frac{1}{\mu}
-\langle u,Av\rangle
-=
+\langle u,Av\rangle}
+\uncover<12->{=
\frac{1}{\mu}
-\langle u,\lambda v\rangle
-=
+\langle u,\lambda v\rangle}
+\uncover<13->{=
\frac{\lambda}{\mu}
-\langle u,v\rangle
+\langle u,v\rangle}
\\
-\Rightarrow
+\uncover<14->{\Rightarrow
\;
0
&=
\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0}
-\langle u,v\rangle
-\;\Rightarrow\;
-\langle u,v\rangle = 0
+\langle u,v\rangle}
+\uncover<15->{\;\Rightarrow\;
+\langle u,v\rangle = 0}
\end{align*}
-EV zu verschiedenen EW sind orthogonal
-\end{block}
+\uncover<16->{EV zu verschiedenen EW sind orthogonal}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
+\uncover<17->{%
\begin{block}{Spektralsatz}
Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$
-\end{block}
+\end{block}}
\end{frame}
\egroup
diff --git a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
index 1d772d6..a6865ab 100644
--- a/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
+++ b/vorlesungen/slides/2/hilbertraum/sturm.tex
@@ -22,6 +22,7 @@ mit Randbedingungen $y(0)=y(1)=0$
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
+\uncover<2->{%
\begin{block}{Sturm-Liouville-Operator}
\[
A=-\frac{d^2}{dt^2} + q(t) = -D^2 + p
@@ -30,27 +31,28 @@ auf differenzierbaren Funktionen $\Omega=[0,1]\to\mathbb{C}$ mit Randwerten
\[
f(0)=f(1)=0
\]
-\end{block}
+\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
+\uncover<3->{%
\begin{block}{Selbstadjungiert}
\begin{align*}
\langle f,Ag \rangle
-&=
+&\uncover<4->{=
\langle f,-D^2 g\rangle + \langle f,qg\rangle
=
-
\int_0^1 \overline{f}(t) \frac{d^2}{dt^2}g(t)\,dt
-+\langle f,qg\rangle
++\langle f,qg\rangle}
\\
-&=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0}
+&\uncover<5->{=-\underbrace{[\overline{f}(t)g'(t)]_0^1}_{\displaystyle=0}
+\int_0^1 \overline{f}'(t)g'(t)\,dt
-+\langle f,qg\rangle
-=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt
-+\langle qf,g\rangle
++\langle f,qg\rangle}
+\uncover<6->{=-\int_0^1 \overline{f}''(t)g(t)\,dt
++\langle qf,g\rangle}
\\
-&=\langle Af,g\rangle
+&\uncover<7->{=\langle Af,g\rangle}
\end{align*}
-\end{block}
+\end{block}}
\end{frame}
\egroup
--
cgit v1.2.1
From f377161a187418720ee40350134642ee0db01c11 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 3 Jun 2021 18:55:02 +0200
Subject: presentation complete
---
vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex | 2 --
1 file changed, 2 deletions(-)
(limited to 'vorlesungen')
diff --git a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
index 22da2de..19925db 100644
--- a/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
+++ b/vorlesungen/14_msehilbertraum/slides.tex
@@ -16,8 +16,6 @@
\section{Riesz-Darstellungssatz}
\folie{2/hilbertraum/riesz.tex}
\folie{2/hilbertraum/rieszbeispiel.tex}
-% XXX Beweisidee
-% XXX \folie{2/hilbertraum/rieszbeweis.tex}
\section{$A^*$}
\folie{2/hilbertraum/adjungiert.tex}
--
cgit v1.2.1
From f12bfc8392b2f09416fb2171a4dd0107ebe16722 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 26 Jul 2021 14:17:05 +0200
Subject: update some files too
---
vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf | Bin 790926 -> 0 bytes
1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-)
delete mode 100644 vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
(limited to 'vorlesungen')
diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf b/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
deleted file mode 100644
index e1769f8..0000000
Binary files a/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf and /dev/null differ
--
cgit v1.2.1
From 4d8e9b6051dcd25c34b6270c1fc1938668e7df6d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:05:37 +0200
Subject: fix files broken by JODBaer pull request
---
vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf | Bin 0 -> 790926 bytes
1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-)
create mode 100644 vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
(limited to 'vorlesungen')
diff --git a/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf b/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e1769f8
Binary files /dev/null and b/vorlesungen/punktgruppen/slides.pdf differ
--
cgit v1.2.1