Im Rahmen der Aufgabe, die Zehntauserderstelle der Zahl $5^{5^{5^{5^5}}}$ zu berechnen muss Michael Penn im Video \url{https://youtu.be/Xg24FinMiws} bei 12:52 zwei Zahlen $x$ und $y$ finden, so dass, \[ 5^5x + 2^5y = 1 \] ist. Verwenden Sie die Matrixform des euklidischen Algorithmus. \begin{loesung} Zunächst berechnen wir die beiden Potenzen \[ 5^5 = 3125 \qquad\text{und}\qquad 2^5 = 32. \] Damit können wir jetzt den Algorithmus durchführen. Die Quotienten und Reste sind \begin{align*} a_0&=q_0\cdot b_0 + r_0& 3125 &= 97 \cdot 32 + 21& q_0&=97 & r_0&= 21\\ a_1&=q_1\cdot b_1 + r_1& 32 &= 1\cdot 21 + 10 & q_1&= 1 & r_1&= 11\\ a_2&=q_2\cdot b_2 + r_2& 21 &= 1\cdot 11 + 10 & q_2&= 1 & r_2&= 10\\ a_3&=q_3\cdot b_3 + r_3& 11 &= 1\cdot 10 + 1 & q_3&= 1 & r_3&= 1\\ a_4&=q_4\cdot b_4 + r_4& 10 &= 10\cdot 1 + 0 & q_4&=10 & r_4&= 0 \end{align*} Daraus kann man jetzt auch die Matrizen $Q(q_k)$ bestimmen und ausmultiplizieren: \begin{align*} Q &= \begin{pmatrix} 0&1\\1&-10 \end{pmatrix} \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix} }_{} \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\1&-97 \end{pmatrix} }_{} \\ &= \begin{pmatrix} 0&1\\1&-10 \end{pmatrix} \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&-1\\-1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-97\\-1&98 \end{pmatrix} }_{} \\ &= \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&1\\1&-10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&-195\\-3&293 \end{pmatrix} }_{} \\ &= \begin{pmatrix} -3&293\\32&-3125 \end{pmatrix}. \end{align*} Daras kann man jetzt ablesen, dass \[ -3\cdot 3125 + 293\cdot 32 = -9375 + 9376 = 1. \] Die gesuchten Zahlen sind also $x=-3$ und $y=293$. \end{loesung}