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% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren
\label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}
\lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}
\rhead{}
Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der
Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden.
Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,
es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.
Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente
potenziert.
Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente
von $A^k$ einfach.
Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in
eine solche besonders einfache Form zu bringen.

In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden
Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen.
Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}
gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht
werden können.
Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen
Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius}
und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird.
Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter
geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius.
Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.


\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}

\section*{Übungsaufgaben}
\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}
\begin{uebungsaufgaben}
\uebungsaufgabe{4001}
\uebungsaufgabe{4002}
\uebungsaufgabe{4003}
\uebungsaufgabe{4004}
\uebungsaufgabe{4005}
\end{uebungsaufgaben}