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% spektralradius.tex
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswi
%
\section{Analytische Funktionen einer Matrix
\label{buch:section:analytische-funktionen-einer-matrix}}
\rhead{Analytische Funktionen einer Matrix}
Eine zentrale Motivation in der Entwicklung der Eigenwerttheorie
war das Bestreben, Potenzen $A^k$ auch für grosse $k$ effizient
zu berechnen.
Mit der Jordan-Normalform ist dies auch gelungen, wenigstens über
einem Körper, in dem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren
zerfällt.
Die Berechnung von Potenzen war aber nur der erste Schritt, das Ziel
in diesem Abschnitt ist, $f(A)$ für eine genügend grosse Klasse von
Funktionen $f$ berechnen zu können.

%
% Polynom-Funktionen von Matrizen
%
\subsection{Polynom-Funktionen
\label{buch:subsection:polynom-funktionen}}
Die einfachsten Funktionen $f(x)$, für die der Wert $f(A)$ 
auf offensichtliche Weise berechnet werden kann, sind Polynome.
Die Jordan-Normalform kann dabei helfen, die Potenzen von $A$
zu berechnen.

In diesem Abschnitt ist $B\in M_n(\Bbbk)$ und $\Bbbk'\supset\Bbbk$ ein
Körper, über dem das charakteristische Polynome $\chi_A(X)$ in
Linearfaktoren
\[
\chi_A(X)
=
(\lambda_1-X)^{m_1}(\lambda_2-X)^{m_2}\cdots(\lambda_p-X)^{m_p}
\]
zerfällt.

Für jedes beliebige Polynom $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form
\[
p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1x + a_0
\]
kann man auch
\[
p(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1A + a_0I
\]
berechnen.
In der Jordan-Normalform können die Potenzen $A^k$ leicht zusammengestellt
werden, sobald man die Potenzen von Jordan-Blöcken berechnet hat.

\begin{satz}
Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ ist die Matrix mit
\begin{equation}
J_n(\lambda)^k
=
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{pmatrix}
\lambda^k
	& \binom{k}{1}\lambda^{k-1}
		& \binom{k}{2} \lambda^{k-2}
			& \binom{k}{3} \lambda^{k-3}
				& \dots
					&\binom{k}{n-1}\lambda^{k-n+1}
\\
0
	& \lambda^k
		& \binom{k}{1}\lambda^{k-1}
			& \binom{k}{2} \lambda^{k-2}
				& \dots
					&\binom{k}{n-2}\lambda^{k-n+2}
\\
0
	& 0
		& \lambda^k
			& \binom{k}{1}\lambda^{k-1}
				& \dots
					&\binom{k}{n-3}\lambda^{k-n+3}
\\
0
	& 0
		& 0
			& \lambda^k
				& \dots
					&\binom{k}{n-4}\lambda^{k-n+4}
\\
\vdots  &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots
\\
0	& 0	& 0	& 0	& \dots	& \lambda^k
\end{pmatrix}
\label{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz}
\end{equation}
mit den Matrixelementen
\[
(J_n(\lambda)^k)_{i\!j}
=
\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}.
\]
Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $j<i$ und $j>i+k$.
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Die Herkunft der Binomialkoeffizienten wird klar, wenn man
\[
J_n(\lambda) = \lambda I + N_n
\]
schreibt, wobei $N_n$ die Matrix \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent}
von Definition~\ref{buch:eigenwerte:def:Nn} von
Seite~\pageref{buch:eigenwerte:def:Nn} ist.
Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente
\[
(N_n^l)_{i\!j}
=
\delta_{i,j-l}
=
\begin{cases}
1&\qquad j-i=l\\
0&\qquad\text{sonst,}
\end{cases}
\]
sie haben also Einsen genau dort, wo in der
Matrix 
\eqref{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz} die Potenz $\lambda^{k-l}$ steht.
Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ kann daraus mit dem binomischen
Satz berechnet werden:
\[
J_n(\lambda)^k
=
(N_n+\lambda I)^k
=
\sum_{l=0}^k \binom{k}{l} N_n^{l} \lambda^{k-l},
\]
dies ist genau die Form \eqref{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz}.
\end{proof}

Wir haben bereits gesehen, dass $\chi_A(A)=0$.
Ersetzt man also das
Polynom $p(X)$ durch $p(X)+\chi_A(X)$, dann ändert sich am Wert 
\[
(p+\chi_A)(A)
=
p(A) + \chi_A(A)
=
p(A)
\]
nichts.
Man kann also nicht erwarten, dass verschiedene Polynome 
$p(X)$ zu verschiedenen Matrizen $p(A)$ führen.
Doch genau welche Unterschiede zwischen Polynomen wirken sich
auf den Wert $p(A)$ aus?

\begin{satz}
Für zwei Polynome $p(X)$ und $q(X)$ ist genau dann $p(A)=q(A)$, wenn
das Minimalpolynom von $A$ die Differenz $p-q$ teilt.
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Wenn $p(A)=q(A)$, dann ist $h(X)=p(X)-q(X)$ ein Polynom mit $h(A)=0$,
daher muss $h(X)$ vom Minimalpolynom geteilt werden.
Ist andererseits $p(X)-q(X)=m(X)t(X)$, dann ist
$p(A)-q(A)=m(A)t(A)=0\cdot t(A) = 0$, also $p(A)=q(A)$.
\end{proof}

Über einem Körper $\Bbbk'\supset\Bbbk$, in dem das charakteristische
Polynom in Linearfaktoren zerfällt, kann man das Minimalpolynom aus
der Jordanschen Normalform ableiten.
Es ist
\[
m(X)
=
(\lambda_1-X)^{q_1}
(\lambda_2-X)^{q_2}
\cdots
(\lambda_p-X)^{q_p},
\]
wobei $q_i$ die Dimension des grössten Jordan-Blocks ist, der in der
Jordan-Normalform vorkommt.
Zwei Polynome $p_1(X)$ und $p_2(X)$ ergeben genau dann den gleichen Wert
auf $A$,
wenn die Differenz $p_1(X)-p_2(X)$ genau die Nullstellen
$\lambda_1,\dots,\lambda_p$ mit Vielfachheiten $q_1,\dots,q_p$ hat.

\begin{beispiel}
Wir betrachten die Matrix
\[
A
=
\begin{pmatrix}
   1&  9& -4\\
  -1&  3&  0\\
  -2&  0&  3
\end{pmatrix}
\]
mit dem charakteristischen Polynom
\[
\chi_A(X)
=
-X^3+7X^2-16 X+12
=
-(X-3)(X-2)^2.
\]
Daraus kann man bereits ablesen, dass das Minimalpolynom $m(X)$ von $A$ 
entweder $(X-2)(X-3)$ oder $(X-2)^2(X-3)$ ist.
Es genügt also nachzuprüfen, ob $p(A)=0$ für das Polynom
$p(X)=(X-2)(X-3) = X^2-5X+6$ ist.
Tatsächlich sind die Potenzen von $A$:
\begin{equation}
A^2=
\begin{pmatrix}
  0&  36& -16 \\
 -4&   0&   4 \\
 -8& -18&  17 
\end{pmatrix}
,\qquad
A^3=
\begin{pmatrix}
 -4& 108& -48\\
-12& -36&  28\\
-24&-126&  83
\end{pmatrix},
\label{buch:eigenwerte:eqn:A2A3}
\end{equation}
und daraus kann man jetzt $p(A)$ berechnen:
\begin{equation}
p(A)
=
\begin{pmatrix}
  0&  36& -16 \\
 -4&   0&   4 \\
 -8& -18&  17 
\end{pmatrix}
-5
\begin{pmatrix}
   1&  9& -4\\
  -1&  3&  0\\
  -2&  0&  3
\end{pmatrix}
+
6
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
   1& -9&  4\\
   1& -9&  4\\
   2&-18&  8
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
\ne 0.
\label{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom}
\end{equation}
Daher kann $p(X)$ nicht das Minimalpolynom $A$
sein, daher muss $(X-2)^2(X-3)$ das Minimalpolynom sein.

Das Quadrat des Polynoms $p(X)$ ist $p(X)^2 = (X-2)^2(X-3)^2$, es hat
das Minimalpolynom als Teiler, also muss $p(A)^2=0$ sein.
Die Gleichung \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom} ermöglicht,
das Quaddrat $p(A)^2$ leichter zu berechnen:
\[
p(A)^2
=
\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}
}_{\displaystyle = 0}
\begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix}
=
0
,
\]
wie zu erwarten war.

Wenn sich zwei Polynome nur um das charakteristische Polynom unterscheiden,
dann haben sie den gleichen Wert auf $A$.
Das Polynom $p_1(X)=X^3$ unterscheidet sich vom Polynom
$p_2(X)=7X^2-16X+12=\chi_A(X)+X^3=p_1(X)+\chi_A(X)$ 
um das charakteristische Polynom, welches wir bereits als das Minimalpolynom
von $A$ erkannt haben.
Die dritte Potenz $A^3=p_1(A)$ von $A$ muss sich daher auch als $p_2(A)$
berechnen lassen:
\[
7
\begin{pmatrix}
  0&  36& -16 \\
 -4&   0&   4 \\
 -8& -18&  17 
\end{pmatrix}
-16
\begin{pmatrix}
   1&  9& -4\\
  -1&  3&  0\\
  -2&  0&  3
\end{pmatrix}
+12
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 -4& 108&  -48\\
-12& -36&   28\\
-24&-126&   83
\end{pmatrix}
=
A^3,
\]
wie in \eqref{buch:eigenwerte:eqn:A2A3} vorsorglich berechnet worden ist.
\end{beispiel}

\begin{satz}
Wenn $A$ diagonalisierbar ist über einem geeignet erweiterten Körper $\Bbbk'$,
dann haben zwei Polynome $p(X)$ und $q(X)$ in $\Bbbk[X]$ genau dann
den gleichen Wert auf $A$, also $p(A)=q(A)$, wenn $p(\lambda) = q(\lambda)$
für alle Eigenwerte $\lambda$ von $A$.
\end{satz}

Über dem Körper der komplexen Zahlen ist die Bedingung, dass die Differenz
$d(X)=p_1(X)-p_2(X)$ vom Minimalpolynom geteilt werden muss, gleichbedeutend
damit, dass $p_1(X)-p_2(X)$ mindestens alle Nullstellen des Minimalpolynoms
mit mindestens so grossen Vielfachheiten haben muss.
Eine andere Art, dies auszudrücken, ist, dass $p_1(x)$ und $p_2(X)$
die gleichen Werte und Ableitungen bis zur Ordnung $q_i-1$ haben, wenn
$q_i$ der Exponente von $\lambda_I-X$ im Minimalpolynom von $A$ ist.

Das Beispiel illustriert auch noch ein weiteres wichtiges Prinzip.
Schreiben wir das Minimalpolynom von $A$ in der Form
\[
m(X)
=
X^k + a_{k-1}X^{k-1} + \dots + a_1X + a_0,
\]
dann kann man wegen $m(A)=0$ die Potenzen $A^i$ mit $i\ge k$ mit der
Rekursionsformel
\[
A^i
=
A^{i-k}A^k
=
A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0I)
\]
auf eine Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren.
Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduziert werden in
ein Polynom vom Grad $<k$ mit dem gleichen Wert auf $A$.

\begin{satz}
\label{buch:eigenwerte:satz:reduktion}
Sei $A$ eine Matrix über $\Bbbk$ mit Minimalpolynom $m(X)$.
Zu jedem $p(X)\in\Bbbk[X]$ gibt es ein Polynom $q(X)\in\Bbbk[X]$
vom Grad $\deg q<\deg m$ mit $p(A)=q(A)$.
\end{satz}

%
% Approximationen für Funktionswerte f(A)
%
\subsection{Approximation von $f(A)$
\label{buch:subsection:approximation}}
Die Quadratwurzelfunktion $x\mapsto\sqrt{x}$ lässt sich nicht durch ein
\index{Quadratwurzelfunktion}%
Polynom darstellen, es gibt also keine direkte Möglichkeit, $\sqrt{A}$
für eine beliebige Matrix zu definieren.
Wir können versuchen, die Funktion durch ein Polynom zu approximieren.
Damit dies geht, müssen wir folgende zwei Fragen klären:
\begin{enumerate}
\item
Wie misst man, ob ein Polynom eine Funktion gut approximiert?
\item
Was bedeutet es genau, dass zwei Matrizen ``nahe beeinander'' sind?
\item
In welchem Sinne müssen Polynome ``nahe'' beeinander sein, damit
auch die Werte auf $A$ nahe beeinander sind?
\end{enumerate}

Wir wissen bereits, dass nur die Werte und gewisse Ableitungen des
Polynoms $p(X)$ in den Eigenwerten einen Einfluss auf $p(A)$ haben.
Es genügt also, Approximationspolynome zu verwenden, welche in der Nähe
der Eigenwerte ``gut genug'' approximieren.
Solche Polynome gibt es dank dem Satz von Stone-Weierstrass immer:

\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
Ist $I\subset\mathbb{R}$ kompakt, dann lässt sich jede stetige Funktion
$f(x)$
durch eine Folge von reellen Polynomen
$p_n(x)$ beliebig genau approximieren.
\end{satz}

Die Hoffnung ist, $f(A)$ als Grenzwert der Approximationen $p_n(A)$
zu definieren.
Dazu muss sichergestellt sein, dass verschiedene Approximationen
der Funktion $f$ den gleichen Grenzwert $\lim_{n\to\infty}p_n(A)$ 
ergeben.
Im Folgenden soll genauer untersucht werden, ob von der
Konvergenz einer Folge $p_n(x)$ auf die Konvergenz von $p_n(A)$
geschlossen werden kann.

%Wir haben schon gezeigt, dass es dabei auf die höheren Potenzen gar nicht
%ankommt, nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:reduktion} kann man ein
%approximierendes Polynom immer durch ein Polynom von kleinerem Grad
%als das Minimalpolynom ersetzen.

Wir erinnern in diesem Zusammenhang an die Definition
\ref{buch:vektoren-matrizen:def:operatornorm}
der Operatornorm.
Die Norm einer Matrix $M$ ist
\[
\|M\|
=
\sup\{|Mx|\,|\, x\in\mathbb R^n\wedge |x|=1\}.
\]
Für einen Vektor $x\in\mathbb R^n$ gilt $|Mx| \le \|M\|\cdot |x|$.

\begin{beispiel}
Die Matrix
\[
M=\begin{pmatrix}
0&2\\
\frac13&0
\end{pmatrix}
\]
hat Norm
\[
\|M\|
=
\max_{|x|=1} |Mx| 
=
\max_{t\in\mathbb R} \sqrt{2^2\cos^2 t +\frac1{3^2}\sin^2t} = 2.
\]
Da aber
\[
M^2 = \begin{pmatrix}
\frac{2}{3}&0\\
0&\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\qquad\Rightarrow\qquad \|M^2\|=\frac23
\]
ist, wird eine Iteration mit Ableitungsmatrix $M$ trotzdem
konvergieren, weil der Fehler nach jedem zweiten Schritt um den
Faktor $\frac23$ kleiner geworden ist.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir berechnen die Norm eines $2\times2$-Jordan-Blocks.
Ein $2$-dimensionaler Einheitsvektor kann als
\[
v\colon
t\mapsto v(t)=
\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}
\]
parametrisiert werden.
Für die Zahl $\lambda=a+bi$ bildet der
Jordanblock $J_2(\lambda)$ den Vektor $v(t)$ auf den Vektor
\[
J_2(\lambda)v(t)
=
\begin{pmatrix}
\lambda&1\\
0&\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\lambda\cos t + \sin t\\
\lambda\sin t
\end{pmatrix}
\]
ab
mit der Länge
\begin{align*}
|J_2(\lambda)v(t)|^2
&=
|\lambda\cos t + \sin t|^2 + |\lambda\sin t|^2
=
(\Re\lambda \cos t + \sin t)^2
+
(\Im\lambda \cos t)^2
+
|\lambda|^2 \sin^2t
\\
&=
a^2\cos^2 t
+
2a\cos t\sin t + \sin^2 t + b^2\cos^2t + (a^2+b^2) \sin^2 t
\\
&=
(a^2+b^2)(\cos^2t + \sin^2t) + \sin^2t + 2a\cos t\sin t
=
|\lambda|^2+2a\cos t\sin t + \sin^2 t
\\
&=
|\lambda|^2 + a\sin 2t + \frac12(1-\cos 2t).
\end{align*}
Um den maximalen Wert zu finden, leiten wir nach $t$ ab und finden
\begin{align*}
\frac{d}{dt}
|J_2(\lambda)v(t)|^2
&=
2a\cos 2t
+
\sin 2t
=
0.
\end{align*}
Dividieren wir durch $\cos t$, ergibt sich die Gleichung
\[
\tan 2t = -2a
\quad\Rightarrow\quad
2t
=
\arctan(-2a)
\quad\Rightarrow\quad
\left\{
\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{ccc}
\cos 2t &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+4a^2}}\phantom{.}\\
\sin 2t &=& \displaystyle\frac{-2a}{\sqrt{1+4a^2}}.
\end{array}
\right.
\]
Setzt man dies in die ursprüngliche Formel für die Länge des
Bildvektors ein, erhält man
\begin{align*}
\|J_2\|^2
=
|J_2(\lambda)v(t)|^2
&=
|\lambda|^2 + \frac{-2a}{\sqrt{1+4a^2}} + \frac12\biggl(1-\frac{1}{\sqrt{1+4a^2}}\biggr)
\\
&=
|\lambda|^2
+ \frac12
-\frac{1+4a}{2\sqrt{1+4a^2}}.
\end{align*}
Für $a\to\infty$ wächst dies asymptotisch wie $a^2-1$.
\end{beispiel}

%
% Potenzreihen für Funktionen $f(z)$
%
\subsection{Potenzreihen
\label{buch:subsection:potenzreihen}}
Funktionen, die eine konvergente Potenzreihenentwicklung
\begin{equation}
f(z)
=
\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
\label{buch:eigenwerte:eqn:potenzreihe}
\end{equation}
\index{Potenzreihe}
haben, wie
zum Beispiel $e^x$, $\sin x$ oder $\cos x$, haben in der Folge
der Partialsummen
\[
p_n(z) = \sum_{k=0}^n a_kz^k
\]
eine Approximation mit Polynomen.
Nach dem {\em Wurzelkriterium} ist die
Reihe~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:potenzreihe}
konvergent, wenn 
\[
\limsup_{k\to\infty} \sqrt[n]{|a_kz^k|} < 1
\]
ist.
\index{Wurzelkriterium}%
Dies führt auf die Formel $1/\varrho = \limsup_{k\to\infty}|a_k|^{\frac1k}$ 
für den Konvergenzradius der Potenzreihe.

Setzt man die Matrix $M\in M_r(\Bbbk)$ in die Potenzreihe ein,
folgt, dass
\[
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|a_kM^n\|}
\le
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}
\cdot
\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^{\frac1n}
=
\frac{1}{\varrho}
\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^{\frac1n}
\]
sein muss.
Dies führt uns auf die Grösse
\begin{equation}
\pi(M)
=
\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^\frac1n,
\label{buch:eqn:gelfand-grenzwert}
\end{equation}
\index{pi(M)@$\pi(M)$}%
die
darüber entscheidet, ob die Potenzreihe $f(A)$ konvergiert.

Die Zahl $\pi(M)$ erlaubt zunächst einmal zu bestimmen, wie
sich die Potenzen $M^k$ entwickeln.
Für Zahlen ist diese Frage sehr einfach zu entscheiden: wenn $q>1$ ist,
dann geht $q^n\to\infty$, wenn $|q|<1$ ist, dann geht $q^n\to 0$.
Für Matrizen ist die Frage etwas schwieriger.
Man kann sich vorstellen, dass eine Streckung in einer Richtung
von einer Stauchung in eine andere Richtung kompensiert wird, wenn
dazwischen eine Drehung stattfindet.
Es ist also durchaus möglich, dass $\|M\|>1$ ist, die
Iterierten $M^k$ aber trotzdem gegen $0$ gehen, wie das folgende
Beispiel zeigt.

\begin{beispiel}
Die nilpotente Matrix $2N_2$ kann man sich vorstellen als eine Drehmatrix
um $-90^\circ$ gefolgt von einer Projektion und Streckung um den Faktor
$2$ auf die erste Achse:
\[
\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}
R_{-90^\circ}
=
\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&2\\0&0
\end{pmatrix}
=2N_2.
\]
Wegen $(2N_2)^2=0$ folgt $\pi(2N_2)=0$, obwohl $\|2N_2\|=2$ ist.
\end{beispiel}

Ist $\pi(M) > 1$, dann gibt es Anfangsvektoren $v$ für die Iteration,
für die $M^kv$ über alle Grenzen wächst.
Ist $\pi(M) < 1$, dann wird jeder Anfangsvektor $v$ zu einer Iterationsfolge
$M^kv$ führen, die gegen $0$ konvergiert.
Die Kennzahl $\pi(M)$ erlaubt also zu entscheiden, ob die
Iteration konvergent ist.
\index{Konvergenzbedingung}%

\begin{definition}
\label{buch:eigenwerte:def:gelfand-radius}
Der Grenzwert
\[
\pi(M)
=
\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^{\frac1n}
\]
heisst {\em Gelfand-Radius} der Matrix $M$.
\index{Gelfand-Radius}%
\end{definition}


%
% Gelfand-Radius und Eigenwerte
%
\subsection{Gelfand-Radius und Eigenwerte
\label{buch:subsection:potenzreihen}}
Die Berechnung des Gelfand-Radius als Grenzwert ist sehr unhandlich.
Viel einfacher ist der Begriff des Spektralradius.
\index{Spektralradius}%

\begin{definition}
\label{buch:definition:spektralradius}
Der {\em Spektralradius} $\varrho(M)$ der Matrix $M$ ist der Betrag des
betragsgrössten
\index{Spektralradius}%
Eigenwertes.
\index{rho(M)@$\varrho(M)$}%
\end{definition}

Wir wollen in diesem Abschnitt das als Satz von Gelfand bekannte Resultat
beweisen, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius übereinstimmt.
Dies liefert uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium.
\index{Konvergenzkriterium}%

\subsubsection{Spezialfall: Diagonalisierbare Matrizen}
Ist eine Matrix $A$ diagonalisierbar, dann kann Sie durch eine Wahl
einer geeigneten Basis in die Diagonalform
\index{diagonalisierbar}%
\index{Diagonalform}%
\[
A'
=
\begin{pmatrix}
\lambda_1&        0&\dots &0\\
0        &\lambda_2&\dots &0\\
\vdots   &         &\ddots&\vdots\\
0        &        0&\dots &\lambda_n
\end{pmatrix}
\]
gebracht werden, wobei die Eigenwerte $\lambda_i$  möglicherweise auch
komplex sein können.
\index{komplex}%
Die Bezeichnungen sollen so gewählt sein, dass $\lambda_1$ der
betragsgrösste Eigenwert ist, dass also
\[
|\lambda_1| \ge |\lambda_2| \ge \dots \ge |\lambda_n|.
\]
Wir nehmen für die folgende, einführende Diskussion ausserdem an, dass
sogar $|\lambda_1|>|\lambda_2|$ gilt.

Unter den genannten Voraussetzungen kann man jetzt den Gelfand-Radius
von $A$ berechnen.
Dazu muss man $|A^nv|$ für einen beliebigen Vektor $v$ und für
beliebiges $n$ berechnen.
Der Vektor $v$ lässt sich in der Eigenbasis von $A$ zerlegen, also
als Summe
\index{Eigenbasis}%
\[
v = v_1+v_2+\dots+v_n
\]
schreiben, wobei $v_i$ Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_i$ sind oder
Nullvektoren.
Die Anwendung von $A^k$ ergibt dann
\[
A^k v
=
A^k v_1 + A^k v_2 + \dots + A^k v_n
=
\lambda_1^k v_1 + \lambda_2^k v_2 + \dots + \lambda_n^k v_n.
\]
Für den Grenzwert braucht man die Norm von $A^kv$, also
\begin{align}
|A^kv|
&= |\lambda_1^k v_1 + \lambda_2^k v_2 + \dots + \lambda_n^k v_n|
\notag
\\
\Rightarrow\qquad
\frac{|A^kv|}{|\lambda_1^k|}
&=
\biggl|
v_1 +
\biggl(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\biggr)^k v_2
+
\dots
+
\biggl(\frac{\lambda_n}{\lambda_1}\biggr)^k v_n
\biggr|.
\label{buch:spektralradius:eqn:eigenwerte}
\end{align}
Da alle Quotienten $|\lambda_i/\lambda_1|<1$ sind für $i\ge 2$,
konvergieren alle Terme auf der rechten Seite von
\eqref{buch:spektralradius:eqn:eigenwerte}
ausser dem ersten gegen $0$.
Folglich ist
\[
\lim_{k\to\infty} \frac{|A^kv|}{|\lambda_1|^k}
=
|v_1|
\qquad\Rightarrow\qquad
\lim_{k\to\infty} \frac{|A^kv|^\frac1k}{|\lambda_1|}
=
\lim_{k\to\infty}|v_1|^{\frac1k}
=
1.
\]
Dies gilt für alle Vektoren $v$, für die $v_1\ne 0$ ist.
Der maximale Wert dafür wird erreicht, wenn man für 
$v$ einen Eigenvektor der Länge $1$ zum Eigenwert $\lambda_1$ einsetzt,
dann ist $v=v_1$.
Es folgt dann
\[
\pi(A)
=
\lim_{k\to\infty} \| A^k\|^\frac1k
=
\lim_{k\to\infty} |A^kv|^\frac1k
=
|\lambda_1|
=
\varrho(A).
\]
Damit ist gezeigt, dass im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix der
Gelfand-Radius tatsächlich der Betrag des betragsgrössten Eigenwertes ist.
\index{Gelfand-Radius}%

\subsubsection{Blockmatrizen}
Wir betrachten jetzt eine $(n+m)\times(n+m)$-Blockmatrix der Form
\begin{equation}
A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C\end{pmatrix}
\label{buch:spektralradius:eqn:blockmatrix}
\end{equation}
mit einer $n\times n$-Matrix $B$ und einer $m\times m$-Matrix $C$.
Ihre Potenzen haben ebenfalls Blockform:
\[
A^k = \begin{pmatrix} B^k & 0 \\ 0 & C^k\end{pmatrix}.
\]
Ein Vektor $v$ kann in die zwei Summanden $v_1$ bestehend aus den
ersten $n$ Komponenten und $v_2$ bestehend aus den letzten $m$ 
Komponenten zerlegen.
Dann ist
\[
A^kv = B^kv_1 + C^kv_2.
\qquad\Rightarrow\qquad
|A^kv|
\le
|B^kv_1| + |C^kv_2|
\le 
\pi(B)^k |v_1| + \pi(C)^k |v_2|.
\]
Insbesondere haben wir das folgende Lemma gezeigt:

\begin{lemma}
\label{buch:spektralradius:lemma:diagonalbloecke}
Eine diagonale Blockmatrix $A$ \eqref{buch:spektralradius:eqn:blockmatrix}
Blöcken $B$ und $C$  hat Gelfand-Radius
\[
\pi(A) = \max ( \pi(B), \pi(C) )
\]
\end{lemma}

Selbstverständlich lässt sich das Lemma auf Blockmatrizen mit beliebig
vielen diagonalen Blöcken verallgemeinern.
\index{Blockmatrix}%

Für Blockmatrizen der Art \ref{buch:spektralradius:eqn:blockmatrix}
sind aber auch die Eigenwerte leicht zu bestimmen.
\index{Diagonalmatrix}%
Hat $B$ die Eigenwerte $\lambda_i^{(B)}$ mit $1\le i\le n$ und $C$ die
Eigenwerte $\lambda_j^{(C)}$ mit $1\le j\le m$, dann ist das charakteristische
Polynom der Blockmatrix $A$ natürlich
\index{charakteristisches Polynom}%
\index{Polynom!charakteristisch}%
\[
\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)\chi_C(\lambda).
\]
Es folgt, dass die Eigenwerte von $A$ die Vereinigung der Eigenwerte
von $B$ und $C$ sind.
Daher gilt auch für den Spektralradius die Formel
\[
\varrho(A) = \max(\varrho(B) , \varrho(C)).
\]

\subsubsection{Jordan-Blöcke}
\index{Jordan-Block}%
Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, die bekanntesten Beispiele sind
die Jordan-Blöcke
\begin{equation}
J_n(\lambda)
=
\begin{pmatrix}
\lambda &      1&       &       &       &       \\
        &\lambda&      1&       &       &       \\[-5pt]
        &       &\lambda&\ddots &       &       \\[-5pt]
        &       &       &\ddots &      1&       \\
        &       &       &       &\lambda&      1\\
        &       &       &       &       &\lambda
\end{pmatrix},
\label{buch:spektralradius:eqn:jordan}
\end{equation}
wobei $\lambda\in\mathbb C$ eine beliebige komplexe Zahl ist.
Es ist klar, dass $J_n(\lambda)$ nur den $n$-fachen Eigenwert
$\lambda$ hat und dass der erste Standardbasisvektor ein
Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist.

In Abschnitt~\ref{buch:subsection:jordan-normalform}
haben wir gesehen, dass jede Matrix durch die Wahl
\index{lineare!Algebra}%
einer geeigneten Basis als Blockmatrix der Form
\[
A
=
\begin{pmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1) &        0         & \dots & 0 \\
       0         & J_{n_2}(\lambda_2) & \dots & 0 \\[-4pt]
\vdots           &\vdots            &\ddots &\vdots \\
       0         &        0         & \dots &J_{n_l}(\lambda_l)
\end{pmatrix}
\]
geschrieben werden kann.
Die früheren Beobachtungen über den Spektralradius und den
Gelfand-Radius von Blockmatrizen führen uns dazu, 
dass nur die Gleichheit des Gelfand-Radius
und des Spektral-Radius von Jordan-Blöcken gezeigt werden muss.

\subsubsection{Potenzen von Jordan-Blöcken}
\begin{satz}
\label{buch:spektralradius:satz:grenzwert}
Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Spektralradius $\varrho(A)$.
Dann ist $\varrho(A)<1$ genau dann, wenn
\[
\lim_{k\to\infty} A^k = 0.
\]
Ist andererseits $\varrho(A) > 1$, dann ist
\[
\lim_{k\to\infty} \|A^k\|=\infty.
\]
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Wie bereits angedeutet reicht es, diese Aussagen für einen einzelnen
Jordan-Block mit Eigenwert $\lambda$ zu beweisen.
Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ ist
\[
J_n(\lambda)^k
=
\renewcommand\arraystretch{1.35}
\begin{pmatrix}
\lambda^k    & \binom{k}{1} \lambda^{k-1} & \binom{k}{2}\lambda^{k-2}&\dots&
\binom{k}{n-1}\lambda^{k-n+1}\\
      0      &\lambda^k & \binom{k}{1} \lambda^{k-1} & \dots &\binom{k}{n-2}\lambda^{k-n+2}\\
      0     &      0    & \lambda^k & \dots &\binom{k}{n-k+3}\lambda^{k-n+3}\\
\vdots      & \vdots    &               &\ddots & \vdots\\
     0      &      0    &      0        &\dots  &\lambda^k
\end{pmatrix}.
\]
Falls $|\lambda| < 1$ ist, gehen alle Potenzen von $\lambda$ exponentiell
schnell gegen $0$, während die Binomialkoeffizienten nur polynomiell
schnell anwachsen. 
\index{Binomialkoeffizient}%
In diesem Fall folgt also $J_n(\lambda)\to 0$.

Falls $|\lambda| >1$ divergieren bereits die Elemente auf der Diagonalen,
also ist $\|J_n(\lambda)^k\|\to\infty$ mit welcher Norm auch immer man
man die Matrix misst.
\end{proof}

Aus dem Beweis kann man noch mehr ablesen.
Für $\varrho(A)< 1$ ist die Norm $ \|A^k\| \le M \varrho(A)^k$ für eine
geeignete Konstante $M$,
für $\varrho(A) > 1$ gibt es eine Konstante $m$ mit
$\|A^k\| \ge m\varrho(A)^k$.

\subsubsection{Der Satz von Gelfand}
Der Satz von Gelfand ergibt sich jetzt als direkte Folge aus dem
Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert}.

\begin{satz}[Gelfand]
\index{Satz von Gelfand}%
\index{Gelfand!Satz von}%
\label{buch:satz:gelfand}
Für eine komplexe $n\times n$-Matrix $A$ gilt
\[
\pi(A)
=
\lim_{k\to\infty}\|A^k\|^\frac1k
=
\varrho(A).
\]
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Der Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert} zeigt, dass der
Spektralradius ein scharfes Kriterium dafür ist, ob $\|A^k\|$ 
gegen 0 oder $\infty$ konvergiert.
Andererseits ändert ein Faktor $t$ in der Matrix $A$ den Spektralradius
ebenfalls um den gleichen Faktor, also $\varrho(tA)=t\varrho(A)$.
Natürlich gilt dies wegen
\[
\pi(tA)
=
\lim_{k\to\infty} \|t^kA^k\|^\frac1k
=
\lim_{k\to\infty} t\|A^k\|^\frac1k
=
t\lim_{k\to\infty} \|A^k\|^\frac1k
=
t\pi(A)
\]
auch für den Gelfand-Radius.

Wir betrachten jetzt die Matrix
\[
A(\varepsilon) = \frac{A}{\varrho(A) + \varepsilon}.
\]
Der Spektralradius von $A(\varepsilon)$ ist
\[
\varrho(A(\varepsilon)) = \frac{\varrho(A)}{\varrho(A)+\varepsilon},
\]
er ist also $>1$ für negatives $\varepsilon$ und $<1$ für positives
$\varepsilon$.
Aus dem Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert} liest man daher ab,
dass $\|A(\varepsilon)^k\|$ genau dann gegen $0$ konvergiert, wenn
$\varepsilon > 0$ ist und divergiert genau dann, wenn $\varepsilon< 0$ ist.

Aus der Bemerkung nach dem Beweis von
Satz~\ref{buch:spektralradius:satz:grenzwert} schliesst man daher, dass 
es im Fall $\varepsilon > 0$ eine Konstante $M$ gibt mit
\begin{align*}
\|A(\varepsilon) ^k\|\le M\varrho(A(\varepsilon))^k
\quad&\Rightarrow\quad
\|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\le M^\frac1k\varrho(A(\varepsilon))
\\
&\Rightarrow\quad
\pi(A(\varepsilon)) \le  \varrho(A(\varepsilon))
\underbrace{\lim_{k\to\infty} M^\frac1k}_{\displaystyle=1}
=
\varrho(A(\varepsilon))
=
\varrho(A)+\varepsilon.
\end{align*}
Dies gilt für beliebige $\varepsilon >0$, es folgt daher
$\pi(A) \le \varrho(A)$.

Andererseits gibt es für $\varepsilon <0$ eine Konstante $m$ mit
\begin{align*}
\|A(\varepsilon) ^k\|\ge m\varrho(A(\varepsilon))^k
\quad&\Rightarrow\quad
\|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\ge m^\frac1k\varrho(A(\varepsilon))
\\
&\Rightarrow\quad
\pi(A(\varepsilon)) \ge  \varrho(A(\varepsilon))
\underbrace{\lim_{k\to\infty} m^\frac1k}_{\displaystyle=1}
=
\varrho(A(\varepsilon))
=
\varrho(A)+\varepsilon.
\end{align*}
Dies gilt für beliebige $\varepsilon> 0$, es folgt daher
$\pi(A) \ge \varrho(A)$.
Zusammen mit $\pi(A) \le \varrho(A)$ folgt $\pi(A)=\varrho(A)$.
\end{proof}

