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% chapter.tex -- Anwendungen von wahrscheinlichkeitsmatrizen
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Wahrscheinlichkeitsmatrizen
\label{buch:chapter:wahrscheinlichkeit}}
\lhead{Wahrscheinlichkeitsmatrizen}
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Matrizen beschreiben lineare Abbildungen, also einen Prozess, der
jedem Vektor einen neuen Vektor zuordnet.
Es ist daher nicht abwegig zu erwarten, dass sich 
die Zeitentwicklung eines vom Zufall beeinflussten Systems, welches sich
in mehreren verschiedenen Zuständen befinden kann, ebenfalls mit Hilfe
von Matrizen modellieren lässt.
Eine solche Beschreibung ermöglicht Verteilungen,
Erwartungswerte und stationäre Zustände zu ermitteln.

Im Abschnitt~\ref{buch:section:google-matrix} wird an Hand der Google
Matrix bezeigt, wie ein anschauliches Beispiel in natürlicher Weise
auf eine Matrix führt.
Abschnitt~\ref{buch:section:diskrete-markov-ketten} stellt dann die abstrakte
mathematische Theorie der Markov-Ketten dar und behandelt einige wichtige
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmatrizen.
Sie folgen aus den Eigenschaften positiver Matrizen und Vektoren, 
die die Theorie von Perron und Frobenius in
Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen}
beweist.
Es stellt sich heraus, dass thermodynamische Quantensysteme sehr gut
mit solchen Matrizen beschrieben werden können, zum Beispiel kann man
einfache Formen von Laser auf diese Art behandeln.
Aus einem solchen System hat Parrondo ein System abgeleitet, welches 
ziemlich unerwartetes Verhalten an den Tag gelegt hat, welches mit
Hilfe von Matrizen leicht zu analysieren ist. 
Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:paradoxon-von-parrondo}
dargestellt.

\input{chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex}
\input{chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex}
\input{chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex}
\input{chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex}

\section*{Übungsaufgaben}
\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/80-wahrscheinlichkeit/uebungsaufgaben}
\begin{uebungsaufgaben}
\uebungsaufgabe{8001}
\end{uebungsaufgaben}