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% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Aufbau\label{mceliece:section:Aufbau}}
\rhead{Aufbau}
Das McEliece-Kryptosystem besteht aus folgenden Elementen:
Nachfolgend sind alle Bestandteile für das McEliece-Kryptosystem aufgelistet,
wobei alle Vektoren und Matrizen sowie die Rechenoperationen damit
im binären Raum $\mathbb{F}_2$ stattfinden.
\index{F2@$\mathbb{F}_2$}%

\subsection{Datenvektor $d_k$
\label{mceliece:subsection:d_k}}
In diesem Vektor der Länge $k$ sind die zu verschlüsselnden Daten enthalten.

\subsection{Binäre Zufallsmatrix $S_k$
\label{mceliece:subsection:s_k}}
$S_k$ ist eine binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$.
Auch muss diese Matrix in $\mathbb{F}_2$ invertierbar sein.
Für kleine Matrizen kann durchaus jedes Matrizenelement zufällig generiert werden,
wobei danach mithilfe des Gauss-Algorithmus deren Inverse bestimmt werden kann.
\index{Gauss-Algorithmus}%
\index{inverse Matrix}%
Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine neue Zufallsmatrix erzeugt werden.
\index{Zufallsmatrix}%
Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}.

\subsection{Linear-Code-Generatormatrix $G_{n,k}$
\label{mceliece:subsection:g_nk}}
\index{Generator-Matrix}%
\index{Linear-Code}%
Das wichtigste Element des McEliece-Systems ist ein fehlerkorrigierender Code,
der in der Lage ist, $t$ Fehler zu korrigieren.
\index{fehlerkorrigierender Code}%
Im Zusammenhang mit McEliece werden dabei meist binäre Goppa-Codes \cite{mceliece:goppa} verwendet,
\index{Goppa-Code}%
es können prinzipiell auch andere Codes wie beispielsweise Reed-Solomon (Kapitel~\ref{chapter:reedsolomon}) verwendet werden,
\index{Reed-Solomon-Code}%
jedoch besitzen einige (unter anderem auch Reed-Solomon) Codes Schwachstellen \cite{mceliece:lorenz}.
Das Codieren mit diesem linearen Code kann mithilfe seiner Generatormatrix $G_{n,k}$ erfolgen.
Da es sich um einen fehlerkorrigierenden Code handelt,
wird das Codewort länger als das Datenwort,
es wird also Redundanz hinzugefügt,
\index{Redundanz}%
um die Fehlerkorrektur möglich zu machen.

\subsection{Permutations-Matrix $P_n$
\label{mceliece:subsection:p_n}}
Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ (Abschnitt~\ref{buch:section:permutationsmatrizen}) wird die Reihenfolge der Bits geändert.
\index{Permutationsmatrix}
Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden.

\subsection{Public-Key $K_{n,k}$
\label{mceliece:subsection:k_nk}}
Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird,
berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wie folgt:
\[
    K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}.
\]

\subsection{Fehler-Vektor $e_n$
\label{mceliece:subsection:e_n}}
Dieser Vektor der Länge $n$ besteht aus $t$ Einsen, welche zufällig innerhalb des Vektors angeordnet sind,
alle anderen Einträge sind Null.
Dieser Fehlervektor besitzt also gleich viele Einsen
wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode der Generatormatrix $G_{n,k}$ zu korrigieren vermag.

\subsection{Daten-Vektor $d_k$
\label{mceliece:subsection:d_k}}
In diesem Vektor der Länge $k$ ist die Nachricht oder ein Teil davon enthalten.

\subsection{Code-Vektor $c_n$
\label{mceliece:subsection:c_n}}
In diesem Vektor der Länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht oder ein Teil davon enthalten.
