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% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Algorithmen}
\rhead{Algorithmen}

In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.

\subsection{Standard Algorithmus}

Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.

\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
	\label{multiplikation:alg:smm}
	\setlength{\lineskip}{7pt}
	\begin{algorithmic}[1]
		\Function{MM}{$\textbf{A}, \textbf{B}$}
		\State $sum \gets 0$
		\State $n \gets columns(\textbf{A}) == rows(\textbf{B})$
		\State $m \gets rows(\textbf{A})$
		\State $p \gets columns(\textbf{B})$
		\State $\textbf{C} \gets zeros(m,p)$
		\For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$}
		\For{$j = 0,1,2 \dots,p-1$}
		\State $sum \gets 0$
		\For{$k = 0,1,2 \dots,n-1$}
		\State $sum \gets  sum + \textbf{A}[i][k] \cdot \textbf{B}[k][j]$
		\EndFor
		\State $\textbf{C}[i][j] \gets  sum $
		\EndFor
		\EndFor
		\State \textbf{return} $\textbf{C}$
		\EndFunction
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$

\subsubsection{Divide and Conquer Methode}

F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O} (n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.

Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
Das Matrizen Produkt
\begin{equation}
\mathbf{A}\mathbf{B}=
\begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12}\\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12}\\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
\mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
\end{bmatrix},
\end{equation}
\begin{equation}
\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
\label{multiplikation:eq:MM_block}
\end{equation}
ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.

Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation}
	\setlength{\lineskip}{7pt}
	\label{multiplikation:alg:devide_mm}
	\begin{algorithmic}
		\Function{MM}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$}
		\If{$n = 2$}
		\State  $ \mathbf{C} \gets zeros(n, n)$
		\State  $C[0, 0] \gets  A[0][0]\cdot B[0][0]+A[0][1]\cdot B[1][0]$
		\State  $C[0, 1] \gets  A[0][0]\cdot B[0][1]+A[0][1]\cdot B[1][1]$
		\State  $C[1, 0] \gets  A[1][0]\cdot B[0][0]+A[1][1]\cdot B[1][0]$
		\State  $C[1, 1] \gets  A[1][0]\cdot B[0][1]+A[1][1]\cdot B[1][1]$
		\Else
		\State  $ m \gets n/2$
		\State $\mathbf{A11}, \mathbf{A12}, \mathbf{A21}, \mathbf{A22} \gets \mathbf{A}[:m][:m], \mathbf{A}[:m][m:], \mathbf{A}[m:][:m], \mathbf{A}[m:][m:]$
		\State $\mathbf{B11}, \mathbf{B12}, \mathbf{B21}, \mathbf{B22} \gets \mathbf{B}[:m][:m], \mathbf{B}[:m][m:], \mathbf{B}[m:][:m], \mathbf{B}[m:][m:]$

		\State $\mathbf{C11} \gets \text{MM}(\mathbf{A11}, \mathbf{B11},n) + \text{MM}(\mathbf{A12}, \mathbf{B21},n)$
		\State $\mathbf{C12} \gets \text{MM}(\mathbf{A11},\mathbf{B12},n) + \text{MM}(\mathbf{A12}, \mathbf{B22},n)$
		\State $\mathbf{C21} \gets \text{MM}(\mathbf{A21}, \mathbf{B11},n) + \text{MM}(\mathbf{A22}, \mathbf{B21},n)$
		\State $\mathbf{C22} \gets \text{MM}(\mathbf{A21}, \mathbf{B12},n) + \text{MM}(\mathbf{A22}, \mathbf{B22},n)$
		\State $  C \gets vstack(hstack(C11, C12), hstack(C21, C22))$

		\EndIf
		\State \textbf{return} $\textbf{C}$

		\EndFunction
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen.
Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
\begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} )
\end{equation}
zu einer kubischen Laufzeit.
Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt.


\subsection{Strassens Algorithmus}

Strassens Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
Die sieben grundlegenden Terme
\begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
\begin{split}
\text{\textbf{P}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\
\text{\textbf{Q}}  &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\
\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\
\text{\textbf{T}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
\text{\textbf{U}}  &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\
\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
\end{split}
\end{equation}
aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
\begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
\begin{split}
\mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
\mathbf{C}_{21} &= \text{\textbf{R}} + \text{\textbf{T}} \\
\mathbf{C}_{12} &= \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{S}}\\
\mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}}
\end{split}
\end{equation}
der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrizenmultiplikation}
	\label{multiplikation:alg:strassen}
	\setlength{\lineskip}{7pt}
	\begin{algorithmic}
		\Function{strassen}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$}
		\If{$n = 2$}
		\State  $ \mathbf{C} \gets zeros((n, n))$
		\State $P  \gets (A[0][0]+A[1][1])\cdot( B[0][0]+B[1][1])$
		\State   $Q  \gets (A[1][0]+A[1][1])\cdot B[0][0]$
		\State   $R  \gets A[0][0]\cdot (B[0][1]-B[1][1])$
		\State   $S  \gets A[1][1]\cdot (B[1][0]-B[0][0])$
		\State   $T  \gets (A[0][0]+A[0][1])\cdot B[1][1]$
		\State   $U  \gets (A[1][0]-A[0][0])\cdot (B[0][0]+B[0][1])$
		\State   $V  \gets (A[0][1]-A[1][1])\cdot (B[1][0]+B[1][1])$
		\State   $C[0][0]  \gets P+S-T+V$
		\State   $C[0][1]  \gets R+T$
		\State   $C[1][0]  \gets Q+S$
		\State   $C[1][1]  \gets P+R-Q+U$
		\Else
		\State  $ m \gets n/2$
		\State $\mathbf{A11}, \mathbf{A12}, \mathbf{A21}, \mathbf{A22} \gets \mathbf{A}[:m][:m], \mathbf{A}[:m][m:], \mathbf{A}[m:][:m], \mathbf{A}[m:][m:]$
		\State $\mathbf{B11}, \mathbf{B12}, \mathbf{B21}, \mathbf{B22} \gets \mathbf{B}[:m][:m], \mathbf{B}[:m][m:], \mathbf{B}[m:][:m], \mathbf{B}[m:][m:]$

		\State $ \mathbf{P} \gets \text{strassen}((\mathbf{A11}+ \mathbf{A22}),(\mathbf{B11}+\mathbf{B22}), m)$
		\State $ \mathbf{Q} \gets \text{strassen}((\mathbf{A21}+ \mathbf{A22}), \mathbf{B11},m)$
		\State $ \mathbf{R} \gets \text{strassen}( \mathbf{A11},(\mathbf{B12}-  \mathbf{B22}),m)$
		\State $ \mathbf{S} \gets \text{strassen}( \mathbf{A22},(\mathbf{B21}-  \mathbf{B11}),m)$
		\State $ \mathbf{T} \gets \text{strassen}((\mathbf{A11}+ \mathbf{A12}), \mathbf{B22},m)$
		\State $ \mathbf{U} \gets \text{strassen}((\mathbf{A21}- \mathbf{A11}),(\mathbf{B11}+\mathbf{B12}),m)$
		\State $ \mathbf{V} \gets \text{strassen}((\mathbf{A12}- \mathbf{A22}),(\mathbf{B21}+\mathbf{B22}),m)$



		\State   $\mathbf{C11}  \gets \mathbf{P+S-T+V}$
		\State   $\mathbf{C12}  \gets \mathbf{R+T}$
		\State   $\mathbf{C21}  \gets \mathbf{Q+S}$
		\State   $\mathbf{C22}  \gets \mathbf{P+R-Q+U}$
		\State $  C \gets vstack(hstack(C11, C12), hstack(C21, C22))$

		\EndIf
		\State \textbf{return} $\textbf{C}$

		\EndFunction
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}
Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
\begin{figure}
	\center
	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
	\caption{Strassens Algorithmus}
	\label{multiplikation:fig:strassen}
\end{figure}

Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von
\begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
\mathcal{T}(n) =
7 \cdot \mathcal{T}\left(\frac{n}{2}\right) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 7} ) = \mathcal{O}(n^{2.8074}  )
\end{equation}
und ist somit schneller als die Standardmethode.
Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.

\subsection{Winograds Algorithmus}

Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das Skalarprodukt
\begin{equation} \label{multiplikation:eq:skalar}
	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i.
\end{equation}
F\"ur jeden Vektor berechne
\begin{equation}
	\xi = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} x_{2j-1} \cdot x_{2j}
\end{equation}
und
\begin{equation}
	\eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j},
\end{equation}
die jeweils nur von $x$ und $y$ abhängen.
Dazu werden $2 \cdot  \lfloor n/2 \rfloor \leq n$ Multiplikationen benötigt.
Das Skalarprodukt ist nun geben mit
\begin{equation}
	\langle x,y \rangle =
	\begin{cases}
	 \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{wenn  $n$ gerade}\\
	\displaystyle  \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{wenn  $n$ ungerade}.
	\end{cases}
\end{equation}
Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden.
Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
Im Vergleich mit der neuen Methode
\begin{equation}
	\begin{split}\label{multiplikation:eq:eff}
		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\
		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\
		\frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\
		N \leq T
\end{split}
\end{equation}
spart man etwas, falls $N\leq T$.
Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
Dies f\"uhrt zu
\begin{equation}
		(m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2}
\end{equation}
Multiplikationen.
Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
\begin{equation}
	\begin{split}
N=2n, \quad T = n^2 \\
	2n \leq n^2 \\
	2 \leq n
\end{split}
\end{equation}
sein, damit man etwas einspart.
Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
 somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
	\setlength{\lineskip}{7pt}
	\label{multiplikation:alg:winograd}
	\begin{algorithmic}
		\Function{Winograd}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$}
		\State  $ m \gets rows(\mathbf{A})$
		\State  $ n \gets columns(\mathbf{A}) == rows(\mathbf{B})$
		\State  $ p \gets columns(\mathbf{B})$
		\State  $ \mathbf{\xi} \gets zeros(m)$
		\State  $ \mathbf{\eta} \gets zeros(p)$


		\For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$}
		\For{$j = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
		\State $\xi[i] \gets \xi[i]+A[i,2 j]A[i,2 j+1]$
		\EndFor
		\EndFor

		\For{$i = 0,1,2 \dots,p-1$}
		\For{$j = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
		\State $\eta[i] \gets   \eta[i]+B[2 j,i]B[2 j+1,i]$
		\EndFor
		\EndFor

		\If{$n \% 2 == 0$}
		\For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$}
		\For{$j = 0,1,2 \dots,p-1$}
		\State $ab \gets 0$
		\For{$k = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
		\State $ab \gets ab + (A[i,2k]+B[2k+1,j])(A[i,2k+1]+B[2k,j])$
		\EndFor
		\State $C[i,j] \gets ab-\eta[j]-\xi[i]$
		\EndFor
		\EndFor
    \Else
		\For{$i = 0,1,2 \dots,n-1$}
		\For{$j = 0,1,2 \dots,n-1$}
		\State $ab \gets 0$
		\For{$k = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
		\State $ab \gets ab + (A[i,2k]+B[2k+1,j])(A[i,2k+1]+B[2k,j])$
		\EndFor
		\State $C[i,j] \gets ab-\eta[j]-\xi[i]+A[i,-1]B[-1,j]$
		\EndFor
		\EndFor
		\EndIf
		\State \textbf{return} $\textbf{C}$

		\EndFunction
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}


\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}

Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.

\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.

\begin{itemize}
	\item Level 1
	\begin{itemize}
		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$
		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ Charakteristik
	\end{itemize}
	\item Level 2
	\begin{itemize}
		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^2)$ Charakteristik
		\end{itemize}
		\item Level 3
		\begin{itemize}
			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^3)$ Charakteristik
			\end{itemize}
\end{itemize}

Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.


%\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
%
%Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
%
%\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
%$$
% C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
% $$
% \textit{where  op( X ) is one of}
%$$
%op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
%$$
% \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
% an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
% }

%Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
%\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
%cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
%      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
%\end{lstlisting}
%definiert.



\section{Implementation}\label{multiplikation:section:Implementation}
\rhead{Implementation}

Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
\begin{itemize}
	\item Standard Matrizenmultiplikation
	\item \textit{Divide and Conquer} Matrizenmultiplikation
	\item Strassens Matrizenmultiplikation
	\item Winograds Matrizenmultiplikation
	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
\end{itemize}

Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden.
Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.

In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
den.
Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrize nicht an einer Cache Speicherstelle platzt.
Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen.
Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall.

Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.


\begin{table}
			 \begin{center}
					 \begin{tabular}{l l l l l l}
							 \hline
							 \hline
							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
							 \hline
							 \multicolumn{6}{c}{} \\
							 \textbf{32}   & 0.000089 & 0.000594 & 0.0005 & 0.00008 & 0.000021  \\
							 \textbf{64}   & 0.00069  & 0.0044   & 0.0036  & 0.00064 & 0.00018   \\
							 \textbf{128}  & 0.0057   & 0.035    & 0.025   & 0.0052  & 0.0012    \\
							 \textbf{256}  & 0.052    & 0.29     & 0.178    & 0.053   & 0.0096     \\
							 \textbf{512}  & 0.51     & 2.22     & 1.25    & 0.55    & 0.077     \\
							 \textbf{1024} & 4.50     & 17.65    & 8.83    & 4.67    & 0.764     \\
							 \textbf{2048} & 129.28   & 141.61   & 61.901   & 136.67  & 7.63      \\
							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10  & 414.64  & 1179.26 & 55.84     \\
							 \textbf{8192} & 9376.17  & 9606.40  & 3014.23  & 10071.51& 478.42     \\
							 \multicolumn{6}{c}{} \\
							 \hline
							 \hline
					 \end{tabular}
			 \end{center}
			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
	 \end{table}



	 \begin{table}
	 			 \begin{center}
	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
	 							 \hline
	 							 \hline
	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
	 							 \hline
	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
								 \textbf{2048} & 6154.18     & 7375.93& 3860.57  & 4884.61 & 0.215 \\
								 \textbf{4096} & 46813.3     & 58466 & 22904.3  & 43597.1 & 1.49 \\
	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
	 							 \hline
	 							 \hline
	 					 \end{tabular}
	 			 \end{center}
	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
	 	 \end{table}

		 \begin{table}
		 			 \begin{center}
		 					 \begin{tabular}{c c c c}
		 							 \hline
		 							 \hline
		 							 \textbf{CPU} & \textbf{OS} &  \textbf{GPU } & \textbf{Memory }  \\
		 							 \hline
		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
		 							   Intel® Core™ i7-4770K CPU  & Ubuntu 20.04.2 LTS & Radeon RX 570 &  32 GB 1600 MHz   \\
										 @ 3.50GHz × 8  & 64-bit & &    \\
		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
		 							 \hline
		 							 \hline
		 					 \end{tabular}
		 			 \end{center}
		 			 \caption{Messsystem}
		 			 \label{multiplikation:tab:pc_config}
		 	 \end{table}

\begin{figure}
	\center
	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
\end{figure}


\begin{figure}
	\center
	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
	\label{multiplikation:fig:python}
\end{figure}

\section{Fazit}
\rhead{Fazit}

Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.

Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
