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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Laufzeiten von Algorithmen}
\rhead{Problemstellung}
Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente Ausführung dieser Operation von grosser Bedeutung.
Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standardalgorithmus l\"osen.

\label{muliplikation:sec:bigo}
Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Abhängigkeit zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}.
$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
Dies ist gegeben, wenn es für $f \in \mathcal{O}(n^k)$ eine Konstante $C$ gibt, mit $f(n) \leq Cn^k$.
% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$.
Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Sprechweise verwendet:
\begin{itemize}
	\item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt
	\item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear
	\item $f \in \mathcal{O}  (n^2   ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch
	\item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch
	\item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum
	\item $f \in \mathcal{O}  (e^n   ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell
	\item usw.
\end{itemize}

Konstanten werden nicht beachtet, eine Laufzeit von  $4n^2$ führt, falls $n \rightarrow \infty$ zu $\mathcal{O}(n^2)$.
In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden.
Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven abbgebildet.



\subsubsection{Beispiel Algorithmen}

Es folgen einige Beispiele von Algorithmen, welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen.


\begin{table}[t]
	\begin{tabular}{ll}
		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
				\label{multiplikation:alg:b1}
				\setlength{\lineskip}{7pt}
				\begin{algorithmic}
					\Function{B1}{$a, b$}
					\State \textbf{return} $a+b$
					\EndFunction
					\State
					\State
				\end{algorithmic}
			\end{algorithm}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
				\label{multiplikation:alg:b2}
				\setlength{\lineskip}{7pt}
				\begin{algorithmic}
					\Function{B2}{$a, b$}
					\State $ x \gets a+b $
					\State $ y \gets a \cdot b $
					\State \textbf{return} $x+y$
					\EndFunction
				\end{algorithmic}
			\end{algorithm}

		\end{minipage}
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\begin{tabular}[t]{ll}
		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
				\setlength{\lineskip}{7pt}
				\begin{algorithmic}
					\label{multiplikation:alg:linear}
					\Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n}
					\State $ sum \gets 0$
					\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
					\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $
					\EndFor

					\State \textbf{return} $sum$

					\EndFunction
					\State
					\State
				\end{algorithmic}
			\end{algorithm}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{0.48\textwidth}
			\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{}
				\label{multiplikation:alg:q1}
				\setlength{\lineskip}{7pt}
				\begin{algorithmic}
					\Function{Q}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n}
					\State $ sum \gets 0$
					\For{$i = 0,1,2 \dots,n$}
					\For{$j = 0,1,2 \dots,n$}
					\State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[j] $
					\EndFor
					\EndFor
					\State \textbf{return} $sum$
					\EndFunction
				\end{algorithmic}
			\end{algorithm}
		\end{minipage}
	\end{tabular}
\end{table}

\paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus}
Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} ist ein Beispiel mit beschränkter Laufzeit $\mathcal{O}(1)$
Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit.

Wie erwähnt, werden konstanten nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.


\paragraph{Linearer Algorithmus}

Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:linear} hat ein lineares Verhalten.
Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$.

\paragraph{Quadratischer Algorithmus}

Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten.
Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O} (n^2 )$.


\begin{figure}
	\center
	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo}
	\caption{Laufzeiten von verschiedensten Zeitkomplexitäten. Bei einer logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.}
	\label{multiplikation:fig:bigo}
\end{figure}