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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Beschrieb des Zuordnungsproblems
\label{munkres:section:teil1}}
\rhead{Problemstellung}

Das spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen
Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben.
Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels.

\subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel
\label{munkres:subsection:bonorum}}
Man hat der Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne
soll möglichst klein werden. 
Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte angenommen werden.$\mathbb{R}$. 
Beim Beispiel mit den Kräne gib es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf  nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden.$\mathbb{Z}$. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0.
Doch das Problem bleibt, mit ganzzahligen Punkten kann kein Optimum erzielt werden und ist eine träge, langsame Angelegenheit.

\subsection{Zuordnungsproblem abstrakt
\label{munkres:subsection:bonorum}}

In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 
\begin{equation}
a_{i}=b_{j}=1
\end{equation}

Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann dann auch der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. 

In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Kosten dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Arbeiter $i$ die Aufgabe $j$ zuordnet.

\subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems
\label{munkres:subsection:bonorum}}
\begin{equation}
Netzwerk
\end{equation}
\begin{equation}
Matrix
\end{equation}
\begin{equation}
Bitpartiter Graph
\end{equation}
Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen
zwischen den Elementen zweier Mengen.
Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. 
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung}
\caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
\label{munkres:Vr2}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Matrixdarstellung}
\caption{Typische 4x4 Matrixdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
\label{munkres:Vr2}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph}
\caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.}
\label{munkres:Vr2}
\end{figure}
