\section{Symmetrie}
Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
ursprünglichen griechischen Wort
\(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
präzise Bedeutung.
\begin{definition}[Symmetrie]
	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
	bestimmten Operation invariant ist.
\end{definition}
Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
	\caption{
		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
	}
\end{figure}

\subsection{Geometrische Symmetrien}

In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an
deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.

% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
\subsubsection{Symetriegruppe}
\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.

\begin{definition}[Symmetriegruppe]
	Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
	unverändert lässt.  Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die
	Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle
	Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt
	wird.
\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen

% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\)
	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
\end{definition}

Damit können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
\[
	C_n = \langle r \rangle
		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
\]
der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die
mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
komplexere Strukturen aufbauen.

\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
	% please fix this unreadable mess
	Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert
	werden.  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
\end{definition}

\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\

Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
\[
	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
		= \left\{
				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
		\right\}.
\]

Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
Punktsymmetrie.
\begin{definition}[Punktgruppe]
	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
	Punktgruppe ist.
\end{definition}

\subsection{Algebraische Symmetrien}
Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
\begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
\end{definition}
\begin{beispiel}
	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
\end{beispiel}

\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
	\[
		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
	\]
	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
\end{definition}
\begin{beispiel}
	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
	\[
		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
		\end{pmatrix}
	\]
	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
\end{beispiel}

\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
%% TODO: title / fix continuity
% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
% hat, wenn es die Gleichung 
% \[
% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
% \]
% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).

% \subsection{Sch\"onflies notation} 

% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
