\section{Die geotechnischen Invarianten\label{spannung:section:Die geotechnischen Invarianten}}
\rhead{Die geotechnischen Invarianten}
In vielen Fällen in der Geotechnik und auch in Versuchen hat man gleichmässige Belastungen über eine grössere Fläche.
Durch eine solche Belastung auf den Boden, entstehen gleichermassen Spannungen in Richtung $2$ und $3$,
wenn man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
Folglich gilt:

\[
\sigma_{22}
=
\sigma_{33}
.
\]
Dadurch wird der Spannungszustand vereinfacht.
Diesen vereinfachten Spannungszustand kann man mit den zwei geotechnischen Invarianten abbilden.
Die erste Invariante ist die volumetrische Spannung
\[
p
=
\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
,
\]
welche als arithmetisches Mittel aller Normalspannungen im infinitesimalen Würfel definiert ist.
Die zweite Invariante ist die deviatorische Spannung
\[
q
=
\sqrt{\frac{(\sigma_{11}-\sigma_{22})^{2}+(\sigma_{11}-\sigma_{33})^{2}+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^{2}}{2}}
.
\]
Diese Zusammenhänge werden im Skript [\cite{spannung:Stoffgesetze und numerische Modellierung in der Geotechnik}] aufgezeigt.
Die hydrostatische Spannung $p$ kann gemäss Gleichung (Nr) als
\[
p
=
\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
\]
vereinfacht werden.
Die deviatorische Spannung $q$ wird gemäss Gleichung (Nr) als
\[
q
=
\sigma_{11}-\sigma_{33}
\]
vereinfacht. Man kann $p$ als Isotrop und $q$ als Schub betrachten.

Die Invarianten können mit der Spannungsformel (Nr..xxx) berechnet werden.
Durch geschickte Umformung dieser Gleichung, lassen sich die Module als Faktor separieren.
Dabei entstehen spezielle Faktoren mit den Dehnungskomponenten.
So ergibt sich
\[
\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
=
\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{v}}
\]
und
\[
\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
=
\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
.
\]
Die Faktoren mit den Dehnungskomponenten können so mit
\[
\varepsilon_{v}
=
(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})
\qquad
\text{und}
\qquad
\varepsilon_{s}
=
\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})
\]
eingeführt werden, mit
\begin{align*}
	\varepsilon_{v} &= \text{Hydrostatische Dehnung [-]} \\
	\varepsilon_{s} &= \text{Deviatorische Dehnung [-].}
\end{align*}
Die hydrostatische Dehnung $\varepsilon_{v}$ kann mit einer Kompression verglichen werden.
Die deviatorische Dehnung $\varepsilon_{s}$  kann mit einer Verzerrung verglichen werden.

Diese zwei Gleichungen kann man durch die Matrixschreibweise
\[
\begin{pmatrix}
	q\\
	p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
	\frac{3E}{2(1+\nu)} &                   0 \\
	                  0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
	\varepsilon_{s}\\
	\varepsilon_{v}
\end{pmatrix}
\]
(sollte nummeriert sein) vereinfachen.
Man hat so eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
Änderungen des Spannungszustandes können mit dieser Gleichung vollumfänglich erfasst werden.

Mit dieser Formel lassen sich verschieden Ergebnisse von Versuchen analysieren und berechnen.
Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird, ist der Oedometer-Versuch.
Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.