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% matrix-vektor-dgl.tex -- DGL mit Matrix-Koeffizienten und Vektor-Variablen
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
%\begin{frame}[t]
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%\frametitle{Matrix-Vektor-DGL}
%\vspace{-20pt}
%\begin{columns}[t,onlytextwidth]
%\begin{column}{0.48\textwidth}
%  \begin{block}{Bekannt}
%    Vorgehen für DGL 1.~Ordnung mit Skalaren.
%    Aufgabe: Sei $a, x, x_0 \in \mathbb R$, 
%    \[
%      \dot x = ax,
%      \quad 
%      x(0) = x_0
%    \]
%    Lösung: $x(t) = \exp(at) x_0$, wobei
%    \begin{align*}
%      \exp(at)
%      &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2!} + \ldots\\
%      &= e^{at}
%    \end{align*}
%  \end{block}
%\end{column}
%\begin{column}{0.48\textwidth}
%  \begin{block}{Mit Matrizen}
%    Wir können:
%    \begin{itemize}
%      \item Matrizen potenzieren: $A$, $A^2$, $A^3$
%      \item Matrizen skalieren: $At$
%      \item Matrizen addieren: $A_1 + A_2$
%    \end{itemize}
%    Also ist auch
%    \[
%    \exp(At) = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \ldots
%    \]
%    wohldefiniert.
%  \end{block}
%\end{column}
%\end{columns}
%Folglich, sei $A \in M_n$ und $x \in \mathbb R^n$,
%\[ \dot x = Ax, \quad x(0) = x_0, \]
%dann ist
%\[ x = \exp(At)x_0. \]
%\end{frame}

\begin{frame}[t]
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  \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
  \frametitle{1.~Ordnung mit Skalaren}
  \vspace{-20pt}
  \begin{columns}[t,onlytextwidth]
  \begin{column}{0.48\textwidth}
    \begin{block}{Aufgabe}
      Sei $a, x(t), x_0 \in \mathbb R$,
      \[
      \dot x(t) = ax(t),
      \quad
      x(0) = x_0
      \]
    \end{block}
    \begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
      Sei $a_k \in \mathbb R$,
      \[
      x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \ldots
      \]
    \end{block}
  \end{column}
  \begin{column}{0.48\textwidth}
    \begin{block}{Lösung}
      Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
      \[ x(t) = \exp(at) \, x_0, \]
      wobei
      \begin{align*}
      \exp(at)
      &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2} + \frac{a^3t^3}{3!} + \ldots \\
      &{\color{gray}(= e^{at}.)}
      \end{align*}
    \end{block}
  \end{column}
  \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
  \setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
  \frametitle{1.~Ordnung mit Matrizen}
  \vspace{-20pt}
  \begin{columns}[t,onlytextwidth]
    \begin{column}{0.48\textwidth}
      \begin{block}{Aufgabe}
        Sei $A \in M_n$, $x(t), x_0 \in \mathbb R^n$,
        \[
        \dot x(t) = Ax(t),
        \quad
        x(0) = x_0
        \]
      \end{block}
      \begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
        Sei $A_k \in \mathbb M_n$,
        \[
        x(t) = A_0 + A_1t + A_2t^2 + A_3t^3 \ldots
        \]
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{0.48\textwidth}
      \begin{block}{Lösung}
        Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
        \[ x(t) = \exp(At) \, x_0, \]
        wobei
        \[
        \exp(At)
        = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2} + \frac{A^3t^3}{3!} + \ldots
        \]
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
\end{frame}

\egroup