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% n-zu-1.tex -- Umwandlend einer DGL n-ter Ordnung in ein System 1. Ordnung
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
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\frametitle{Reicht $1.$ Ordnung?}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Beispiel: DGL 3.~Ordnung} \vspace*{-1ex}
  \begin{align*}
    x^{(3)} + a_2 \ddot x + a_1 \dot x + a_0 x = 0 \\
    \Rightarrow
     x^{(3)} = -a_2 \ddot x - a_1 \dot x - a_0 x
  \end{align*}
\end{block}
\begin{block}{Ziel: Nur noch 1.~Ableitungen}
  Einführen neuer Variablen:
    \begin{align*}
    x_0 &\coloneqq x &
    x_1 &\coloneqq \dot  x &
    x_2 &\coloneqq \ddot x
  \end{align*}
System von Gleichungen 1.~Ordnung
  \begin{align*}
  \dot x_0 &= x_1 \\
  \dot x_1 &= x_2 \\
  \dot x_2 &= -a_2 x_2 - a_1 x_1 - a_0 x_0
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Als Vektor-Gleichung} \vspace*{-1ex}
  \begin{align*}
    \frac{d}{dt}
    \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix}
      0     & 1     & 0   \\
      0     & 0     & 1   \\
      -a_0  & -a_1  & -a_2 
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}    
  \end{align*}

  Geht für jede lineare Differentialgleichung!
  
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
