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% funktionenalgebra.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Funktionenalgebra}
\vspace{-17pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Algebra $C([0,1])$}
Funktionenraum
\[
C([0,1])
=
\{f\colon[0,1]\to\mathbb{C}\;|\;\text{$f$ stetig}\}
\]
mit Supremum-Norm\uncover<2->{ und punktweisem Produkt
\[
(f\cdot g)(x)
=
f(x)\cdot g(x)
\]}
\end{block}
\vspace{-8pt}
\uncover<3->{%
\begin{block}{Algebranorm}
\vspace{-12pt}
\begin{align*}
\|f\cdot g\|_\infty
&=
\sup_{x\in[0,1]} |f(x)g(x)|
\\
\uncover<4->{
&\le
\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|
\sup_{y\in[0,1]}|g(y)|
}
\\
\uncover<5->{
&=
\|f\|_\infty \cdot \|g\|_\infty
}
\end{align*}
\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<6->{%
\begin{block}{Faltungs-Algebra $L^2([0,1])$}
Funktionenraum
\[
L^2=\{f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}\;|\;\text{$f$ $1$-periodisch}\}
\]
mit $L^2$-Skalarprodukt\uncover<7->{ und Faltungsprodukt
\[
f*g(x)
=
\int_0^1
\underbrace{f(x-t)}_{(=\gamma_x\check{f})(t)} g(t)\,dx
\]}
\end{block}}
\vspace{-21pt}
\uncover<8->{%
\begin{block}{Norm}
\vspace{-12pt}
\begin{align*}
\|f*g\|_2^2
&\uncover<9->{=\int_0^1 |
\langle \gamma_x\check{f},g\rangle
|^2\,dx}
\\
\uncover<10->{
&\le
\int_0^1
\|\gamma_t\check{f}\|_2^2
\|g\|_2^2
\,dx}
\\
\uncover<11->{
&=\|f\|_2^2\cdot \|g\|_2^2
}
\end{align*}
\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}