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% drehmatrix.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\begin{frame}[t]
\frametitle{Analyse einer Drehung um $120^\circ$}
$D$ eine Drehung um $120^\circ$
\begin{enumerate}
\item
Drehwinkel = $120^\circ\quad\Rightarrow\quad D^3 = I$
\item
$m_D(X)=X^3-1$
\item 
$m_D$ ist nicht irreduzibel, weil $m_D(1)=0$:
$
m_D(X) = (X-1)(X^2+X+1)
$
\item
Welche Matrix hat $X^2+X+1$ als Minimalpolynom
\[
\arraycolsep=1.4pt
W
=
\biggl(\begin{array}{cc}
-\frac12          & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
 \frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
\end{array}\biggr)
\quad\Rightarrow\quad
W^2+W+I
=
\biggl(\begin{array}{cc}
-\frac12          & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
 \frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
\end{array}\biggr)
+
\biggl(\begin{array}{cc}
-\frac12          & \frac{\sqrt{3}}2 \\
 -\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
\end{array}\biggr)
+
\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\0&1
\end{array}\biggr)
=0
\]
\item In einer geeigneten Basis hat $D$ die Form
\[
D=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&-\frac12 & -\frac{\sqrt{3}}2 \\
0&\frac{\sqrt{3}}2 & -\frac12
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\cos 120^\circ & -\sin 120^\circ\\
0&\sin 120^\circ & \cos 120^\circ
\end{pmatrix}
\]
\end{enumerate}
\end{frame}
