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% teilbarkeit.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\begin{frame}[t]
\frametitle{Teilen}
\vspace{-15pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Teilen in $\mathbb{Z}$}
Zu zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{Z}$, $a>b$ gibt es
immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Z}$ derart, dass
\begin{align*}
a&=bq+r
\\
r&< b
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Teilen in $\mathbb{Q}[X]$}
Zu zwei Polynomen $a,b\in\mathbb{Q}[X]$, $\deg a > \deg b$
gibt es 
immer genau ein Paar $q,r\in\mathbb{Q}[X]$ derart, dass
\begin{align*}
a&=bq+r
\\
\deg r&< \deg b
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\begin{block}{Allgmein: euklidischer Ring}
Nullteilerfreier Ring $R$ mit einer Funktion
$d\colon R\setminus{0}\to\mathbb{N}$ mit
\begin{itemize}
\item Für $x,y\in R$ gilt $d(xy) \ge d(x)$.
\item Für $x,y\in R$ gibt es $q,r\in R$ derart
$x=qy +r$ mit $d(y)>d(r)$
\end{itemize}
Euklidische Ringe haben ähnliche Eigenschaften wie Polynomringe
\end{block}
\end{frame}